Bài 1. Kết quả thắng thua của trị chơi tung đồng xu 2 lần được cho như sau:
0 – 0: thắng 20; 0 – P: thắng 9; P – 0: thua 7; P – P: thua 16 (0 – “sấp”, P – “ngửa”). 1. Xác định giá trị kỳ vọng của trị chơi này.
2. Hàm hữu dụng của A là U = M , trong đĩ M – số tiền ban đầu A cĩ. Nếu M = 16 thì A cĩ nên tham gia trị chơi này khơng?
Bài gải:
Xác suất thắng thua của trị chơi là P = 0,25 1. Kỳ vọng của trị chơi :
E(X) = P1.X1 + P2 .X2 + P3 .X3 + P4 .X4 = 0,25.(20 + 9 – 7 – 16) = 1,5 2. Độ thỏa dụng của từng trường hợp :
U1 = M = 20+16 = 6 U2 = M = 9+16= 5 U3 = M = −7+16= 3 U4 = M = −16+16= 0 Độ thỏa dụng kỳ vọng :
E(U) = P1.U1 + P2 .U2 + P3 .U3 + P4 .U4 = 0,25.(6 + 5 + 3 + 0) = 3,5 Độ thỏa dụng ban đầu: E(U0) = 16 = 4
Ta thấy E(U) < E(U0)
Căn cứ vào hàm thỏa dụng, ta thay rằng người này khơng thích rủi ro, do đĩ khơng nên tham gia vào trị chơi này.
Đồ thị hàm hữu dụng của A
Bài 2. B hiện cĩ số tiền M = 49$, B quyết định tham gia trị tung đồng xu. Nếu kết quả là “sấp” B thắng 15$, nếu “ngửa” B thua 13$. Hàm hữu dụng của B là U = M .
1. Xác định giá trị kỳ vọng của trị chơi này
2. Tính hữu dụng kỳ vọng của B. B cĩ nên tham gia trị chơi này khơng?
3. Câu trả lời sẽ thay đổi ra sao nếu số tiền thua trong trường hợp “ngửa” là 15$?
Bài giải:
Số tiền B hiện cĩ M = 49$
Kết quả của trị chơi: sắp B thắng X1 = 15$
ngửa B thua X2 = -13$ (mất đi 13$) Hàm hữu dụng của B: U = M
Xác suất thắng thua của trị chơi là: P = 0,5 1. Kỳ vọng của trị chơi :
E(X) = P1.X1 + P2 .X2 = 0,5.(15 – 13) = 1 2. Hữu dụng của từng trường hợp :
Sấp U1 = M = 49+15 = 8 Ngửa U2 = M = 49−13 = 6
Hữu dụng kỳ vọng: E(U) = P1.U1 + P2 .U2 = 0,5.(8 + 6) = 7 Hữu dụng ban đầu của B: E(U0) = 49 = 7
Ta thấy E(U) = E(U0) và E(X) > 0, B nên tham gia trị chơi vì kỳ vọng sẽ thắng được 1$ trong trị chơi.
3. Trong trường hợp ngửa, B thua 15$ U’2 = M = 49−15 = 5,83 E(U’) = 0,5.(8 + 5,83) = 6,92
Ta thấy E(U’) < E(U0), B khơng nên tham gia trị chơi này.
Bài 3. Mai thi đậu vào cùng lúc hai trường đại học A và B. Trường A cĩ những địi hỏi khắt khe hơn về kết quả học tập nhưng lại danh tiếng hơn so với trường B. Ngồi ảnh hưởng đến việc làm trong tương lai thì Mai bàng quan trong việc lựa chọn giữa hai trường. Chọn học trường B tỏ ra hợp lý hơn đối với Mai vì cơ ta cĩ thể chịu đựng được cường độ học tập ở đây, và sau khi ra trường Mai nhất
định cĩ được việc làm khá với mức lương 69 triệu đồng/năm. Nếu Mai cĩ thể đáp ứng những điều kiện học khắt khe ở trường A thì khi tốt nghiệp cơ ta cĩ khả năng nhận được cơng việc rất tốt với
mức lương 100 triệu đồng/năm (xác suất 0,6). Tuy nhiên, khơng loại trừ rằng Mai sẽ khơng thể theo nổi cường độ học tập căng thẳng, kết quả học của cơ ta rất tồi và vì vậy sau khi tốt nghiệp cơ ta chỉ cĩ thể nhận một cơng việc kém hấp dẫn với mức lương 25 triệu đồng/năm (xác suất 0,4). Hàm hữu dụng của Mai đối với tiền lương là U = M .
1. Mai sẽ chọn học trường nào để tối đa hĩa hữu dụng của mình?
2. Cơng việc khá phải cĩ mức lương là bao nhiêu để cả hai trường cĩ sức hấp dẫn như nhau đối với Mai?
Bài giải:
1.
Sau khi tốt nghiệp trường A Mai sẽ cĩ mức lương:
Cơng việc rất tốt: A1 = 100 triệu đồng / năm với xác suất P1 = 0,6 Độ thỏa dụng U(A1) = 100 = 10
Cơng việc kém hấp dẫn: A2 = 25 triệu đồng / năm với xác suất P2 = 0,4 Độ thỏa dụng U(A2) = 25 = 5
E(UA) = 0.6*U(A1) + 0.4*U(A2) = 0.6*10 + 0.4*5 = 8 Sau khi tốt nghiệp trường B:
Cơng việc khá: B = 69 triệu đồng / năm Độ thỏa dụng U(B) = 69 = 8.3
E(UB) = 01*U(B) = 8.31 Ta thấy rằng E(UA) < E(UB)
Đồ thị hàm hữu dụng của Mai 2. Để cả hai trường cĩ sức hấp dẫn như nhau đối với Mai thì:
E(UB) = E(UA) <=> UB = UA = 8
Do đĩ, cơng việc khá phải cĩ mức lương là : M = UB2 = 64 triệu/năm
Bài 4. Cĩ hai loại cổ phiếu A và B với mức giá 1$ một cổ phiếu. Giả sử sự phân chia các cổ phiếu này phụ thuộc vào sự thiếu hụt hoặc khơng thiếu hụt dầu mỏ:
- Nếu cĩ thiếu hụt dầu mỏ thì cổ phiếu loại A sẽ được trả lãi 5xu/phiếu, cổ phiếu loại B sẽ được trả lãi 7xu/phiếu.
- Nếu khơng cĩ thiếu hụt dầu mỏ thì cổ phiếu loại A sẽ được trả lãi 10xu/phiếu, cổ phiếu loại B sẽ được trả lãi 4xu/phiếu. Chú ý: ở đây cĩ tương quan nghịch – nếu A tốt hơn thì B sẽ xấu đi.
- Khả năng thiếu hụt dầu mỏ là 1/3. Nhà đầu tư cĩ 400 cổ phiếu A và 60 cổ phiếu B. 1. Xác định lãi suất kỳ vọng, phương sai và độ sai lệch chuẩn của cơ cấu đầu tư này.
2. Bạn cĩ nhận xét gì về kết quả tính tốn? Hãy giải thích ngắn gọn vì sao lại cĩ kết quả này?
Bài giải:
1.
Cĩ thiếu hụt dầu mỏ Khơng thiếu hụt dầu mỏ
XS Tiền lãi (xu) XS Tiền lãi (xu)
A 1/3 5 2/3 10
B 1/3 7 2/3 4
Tiền lãi kỳ vọng nhận được :
Tiền lãi nhận được trong trường hợp cĩ thiếu hụt dầu mỏ: M1 = 400 x 5 + 60 x 7 = 2420 (xu) = 24,2 ($)
Tiền lãi nhận được trong trường hợp khơng thiếu hụt dầu mỏ M2 = 400 x 10 + 60 x 4 = 4240 (xu) = 42,4 ($)
Tiền vốn bỏ ra là: M = (NA + NB).1$ = 460 ($)
Lãi suất kỳ vọng:
E(R) = (P1.M1 + P2.M2)/M = 36,3/460 = 7,89%
Phương sai
D(R) = E[R – E(R)]2 = P1.[M1/M – E(R)] 2 + P2.[M2/M – E(R)] 2
= 1/3.(24,2./460 – 7,89%)2 + 2/3.(42,4/460 – 7,89%)2 = 0.035%
Độ lệch chuẩn = D(R)= 1,87%
2. Căn cứ vào kết quả trên, nhà đầu tư kỳ vọng sẽ cĩ được mức lãi suất là 7,89% cho lượng cp mình hiện cĩ. Tuy nhiên, ta nhận thấy rằng nếu nhà đầu tư chỉ chọn đầu tư vào cp A thì lãi suất kỳ vọng sẽ là :
E(RA) = 1/3.5 + 2/3.10 = 8,33% > E(R)
Vì giá của 2 lọai cp là như nhau nên sẽ cĩ lợi hơn nếu chỉ đầu tư vào cp A.