Trong các kỹ thuật nội suy nhằm tăng cường độ phân giải khi phóng to ảnh thì kỹ thuật nội uy các điểm ảnh láng giềng gần nhất được cho là kỹ thuật ra đời đầu tiên (khoảng những năm 1940) và đơn giản nhất.
5
25
Tư tưởng của kỹ thuật này chỉ đơn giản là xác định điểm ảnh láng giềng gần nhất với điểm cần nội suy và lấy giá trị cường độ của điểm ảnh gần nhất đó mà không cần phải tính toán giá trị trung bình theo một số tiêu chí hay quy tắc phức tạp nào khác. Điểm mấu chốt của kỹ thuật này là xác định điểm láng giềng gần nhất bằng khoảng cách Euclid hoặc khoảng cách Mahanttan với k = 1 hoặc khoảng cách Minskowski với k = 2.
2.1.2 Phương ph p
Kỹ thuật nội suy láng giềng gần nhất là cách đơn giản nhất để lấy xấp xỉ hàm sinc được coi là hàm đánh trọng số cho các điểm lân cận như au [18]:
ườ ợ á (2.5)
Giả sử đầu tiên áp dụng kỹ thuật này trong không gian 1 chiều như hình 2.2 dưới đây.
Hình 2.2: Ví dụ nội suy điểm trên không gian 1 chiều6
Lúc này, cần chèn thêm các giá trị ở giữa x1 = 2 và x2 = 3, giá trị gần đúng của hàm y=f(x), trong khoảng f(x1) = 4 và f(x2) = 6. Sử dụng nội suy láng giềng gần nhất được kết quả như hình dưới đây.
6
26
Hình 2.3: Kết quả nội suy láng giềng gần nhất trong không gian 1 chiều7
Có thể thấy rằng với mỗi điểm xi giữa hai điểm dữ liệu gốc ban đầu x1, x2, một giá trị f(xi) được tính dựa trên điểm gần nhất với điểm gốc trên trục Ox.
Ví dụ tiếp theo được đưa ra trong hình 2.4 với ảnh 2D kích cỡ 2x2 cần phóng to đạt được kích thước 9x9 và kỹ thuật nội suy láng giềng gần nhất được sử dụng để lấp đầy khoảng trống khi phóng to ảnh.
Hình 2.4: Phóng to ảnh kích thước 2x2 thành ảnh 9x98
Cụ thể mỗi điểm ảnh nội uy được tính toán theo kỹ thuật này được thể hiện một cách trực quan bằng hình 2.5. Trong đó, điểm cần nội uy Y(J, ) được
7Nguồn ảnh: http://www.giassa.net/?page_id=207
8
27
so sánh theo hàm đánh trọng số h(x) để lấy giá trị cường độ của điểm ảnh gần nó nhất (là điểm X(A+1,B)).
Hình 2.5: Nội suy điểm Y(J,K) dựa trên các điểm ảnh lân cận9
2.1.3 Nhận xét
Với kỹ thuật nội suy láng giềng gần nhất, theo như [18] đánh giá có một số ưu, nhược điểm và ứng dụng cụ thể trong xử lý ảnh y tế như au:
Ư điểm:
Kỹ thuật nội suy láng giềng gần nhất là kỹ thuật có tư tưởng đơn giản, không cần tính toán nhiều do đó có tốc độ nhanh.
Nhược điểm:
Kỹ thuật này có khuynh hướng để lại nhiễu hình khối trong ảnh được nội suy và xảy ra hiện tượng “răng cưa” khi phóng ảnh với kích thước lớn hơn nhiều lần ảnh gốc.
Ứng dụng:
Ví dụ trong hình 2.6 (a) cho hình ảnh kỹ thuật số mắt của con người. Vị trí của các phản xạ Purkinje của đồng tử (con ngươi) được sử dụng để chẩn đoán
9
28
hiện tượng lác. Hình ảnh được sử dụng trong chẩn đoán phải có độ sắc nét phù hợp. Tuy nhiên, để hiển thị được các phản xạ Purkinje yê cầu phải phóng to theo tỷ lệ 4/3 tức là điều chỉnh tỷ lệ theo trục x gấp 1.3 lần (như hình 2.6 (b)) nhưng những điểm ảnh nội suy phải được lấy từ dữ liệu gốc ban đầu mà không được sửa đổi.
Kỹ thuật nội suy láng giềng gần nhất được sử dụng và cho kết quả chính xác nhất trong trường hợp cụ thể này.
Hình 2.6: Ứng dụng nội suy láng giềng gần nhất trong thay đổi tỷ lệ ảnh CCD10
10
29
2.2 Kỹ thuật nội suy tuyến tính 2.2.1 Giới thiệu 2.2.1 Giới thiệu
Kỹ thuật nội suy tuyến tính được phát triển cùng giai đoạn với nội suy láng giềng gần nhất. Kỹ thuật này được sử dụng trong cả hai hướng tiếp cận trong xử lý ảnh y tế đó là ứng dụng trong thay đổi kích thước ảnh và sinh lát cắt trung gian. Nội suy tuyến tính có nhiều phương thức thực thi phụ thuộc vào bậc của hàm nội suy. Trong luận văn này chỉ trình bày nội suy dựa trên hàm bậc hai hay còn gọi là nội suy song tuyến như trong [18] đã tổng hợp.
2.2.2 Phương ph p
Nội suy song tuyến ong hay đổi kích hước ảnh
Giả sử ảnh đầu vào v có kích thước m x n. Mục tiêu của nội suy là biến đổi ảnh v trở thành ảnh có kích thước mới m’ x n’ bằng cách tính các giá trị điểm nội suy u(x,y). Tư tưởng của kỹ thuật nội suy song tuyến làm tăng độ phân giải của ảnh đó là giá trị cường độ của điểm ảnh nội uy được tính bằng trung bình cường độ của 2 điểm láng giềng lân cận với nó. Các điểm láng giềng được xác định bằng ph p đo khoảng cách cụ thể (ph p đo Euclid hoặc Mahanttan).
Với nội suy song tuyến mỗi điểm nội suy u(x,y) được tính như au:
Trong đó , ký hiệu cho biết tọa độ điểm lân cận của điểm nội suy.
Các giá trị của các láng giềng trực tiếp được tính bằng khoảng cách của chúng tới điểm nội uy. Do đó, hàm inc được tính xấp xỉ như au:
30
Hình 2.7: Mô tả kỹ thuật nội suy song tuyến trong ứng dụng làm tăng độ phân giải của ảnh11
Nội suy tuyến tính sinh lát cắt trung gian
Điểm ảnh trên lát cắt nội suy bằng kỹ thuật nội suy tuyến tính được ước tính bằng trung bình giá trị cường độ của điểm ảnh trên lát cắt tham chiếu và lát cắt mục tiêu. Giả sử kích thước của mỗi lát cắt là m x n.
Trường hợp lát cắt nội suy nằm giữa hai lát cắt đầu vào, cường độ điểm ảnh của lát cắt nội uy được ước tính theo công thức:
Trong đó: Iint, Iref, Itar lần lượt là cường độ của lát cắt nội suy, lát cắt tham chiếu và lát cắt mục tiêu; 1 ≤ i ≤ n, 1≤ j ≤ m.
Nếu muốn nội suy p lát cắt, chúng ta thực hiện như au:
11 Nguồn ảnh: http://www.vision-systems.com/articles/print/volume-12/issue-10/departments/wilsons- websites/understanding-image-interpolation-techniques.html
31
Trong đó Iq là tập giá trị điểm ảnh nội suy lát cắt thứ q với q có giá trị từ 1→ p; k là tập các công bội tính toán từ độ chênh lệch của Iref và Itar. .
2.2.3 Nhận xét
Theo như [18] và [21] đánh giá, kỹ thuật nội suy tuyến tính có một số ưu, nhược điểm và ứng dụng cụ thể trong xử lý ảnh y tế như au:
Ư điểm
- Kỹ thuật nội suy tuyến tính được coi là kỹ thuật đơn giản, thời gian thực thi nhanh, chi phí thấp.
Nhược điểm
- Kỹ thuật nội suy tuyến tính áp dụng cho việc thay đổi kích thước ảnh vẫn còn hiện tượng “răng cưa”, ảnh nội uy chưa có được sắc n t như ảnh ban đầu.
- Trong nội suy lát cắt trung gian, kỹ thuật nội suy tuyến tính sinh ra hình ảnh còn vệt mờ trên đường biên ảnh.
Ứng dụng
Hình 2.8: Ứng dụng nội suy tuyến tính trong xoay ảnh MRI12
12
32
Hình 2.9: Ứng dụng nội suy tuyến tính sinh lát cắt trung gian13 (a) lát cắt tham chiếu, (b) lát cắt mục tiêu, (c) lát cắt nội suy
2.3 Kỹ thuật nội suy song khối 2.3.1 Giới thiệu 2.3.1 Giới thiệu
Kỹ thuật nội suy song khối là kỹ thuật cho kết quả khá tốt và được sử dụng nhiều trong các phần mềm xử lý ảnh số nói chung và ảnh y tế nói riêng. Đây cũng là kỹ thuật được áp dụng cho cả hai hướng tiếp cận nội suy trong việc thay đổi kích thước ảnh và nội suy lát cắt trung gian. Phần tiếp theo sẽ trình bày phương pháp thực hiện để thay đổi kích thước ảnh bằng kỹ thuật nội suy song khối [18].
2.3.2 Phương ph p
Tư tưởng của kỹ thuật này để tính toán điểm ảnh mới được tạo ra sẽ có giá trị trung bình của 16 điểm ảnh gốc gần nhất (4 x 4).
Trong toán học, phép nội suy song khối (Bicubic Interpolation) là mở rộng của nội suy khối cho nội uy điểm dữ liệu trên lưới hai chiều. Nội suy song khối có thể sử dụng đa thức Lagrange, thuật toán cubic pline (đường bậc ba) hoặc thuật toán cubic convolution (khối cuộn).
13
33
Hình 2.10: Mô tả kỹ thuật nội suy song khối14
Nội suy song khối với ma trận vuông [0,3]x[0,3] gồm có 9 đơn vị khối vuông ghép với nhau.
Giả thiết 4 khối đa thức F(i) (i 1,2,3,4) được cho như hình 2.10. Điểm nội uy được thêm trên bề mặt có thể được tính bằng công thức:
(2.14)
Vấn đề nội suy gồm việc xác định 16 hệ số aij (xác định 16 điểm đưa vào nội suy). Để phù hợp với những giá trị của đa thức bậc 3, lần lượt chúng ta cần triển khai công thức 2.14 theo hướng x, hướng y riêng biệt. Trước hết, quy ước như sau (2.15):
1. f(0,0) = p(0,0) = a00
2. f(1,0) = p(1,0) = a00 + a10 + a20 + a30
3. f(0,1) = p(0,1) = a00 + a01 + a02 + a03
4. f(1,1) = p(1,1) =
Như vậy, 8 phương trình au cho những dẫn xuất theo hướng x và y được cho bởi các công thức dưới đây (2.16):
14
Nguồn ảnh: http://www.vision-systems.com/articles/print/volume-12/issue-10/departments/wilsons- websites/understanding-image-interpolation-techniques.html
34 1. fx(0,0) = px(0,0) = a00 2. fx (1,0) = px (1,0) = a00 + 2a20 + 3a30 3. fx (0,1) = px (0,1) = a10 + a11 + a12 + a13 4. fx (1,1) = px (1,1) = 5. fy (0,0) = py(0,0) = a01 6. fy (1,0) = py (1,0) = a01 + a11 + a21 + a31 7. fy (0,1) = py (0,1) = a01 + 2a02 + 3a03 8. fy (1,1) = py (1,1) = Và 4 phương trình tính dẫn xuất xy (2.17): 1. fxy(0,0) = pxy(0,0) = a11 2. fxy (1,0) = pxy (1,0) = a11 + 2a21 + 3a31 3. fxy (0,1) = pxy (0,1) = a11 + 2a12 + 3a13 4. fxy (1,1) = pxy (1,1) = 2.3.3 Nhận xét
Theo như [18] đánh giá, kỹ thuật nội suy song khối có một số ưu, nhược điểm và ứng dụng cụ thể trong xử lý ảnh y tế như au:
Ư điểm:
- Kỹ thuật nội suy song khối cho ảnh nội suy khá sắc nét, hạn chế hiện tượng răng cưa do ố điểm ảnh đưa vào nội suy nhiều hơn.
Nhược điểm:
- Cũng chính vì mỗi điểm ảnh nội uy được tính toán từ 16 điểm ảnh gốc lân cận nên thời gian tính toán nhiều hơn o với 2 kỹ thuật đã trình bày.
Ứng dụng
- Kỹ thuật nội suy song khối trong trường hợp thay đổi tỷ lệ kích thước của ảnh CCD được cho như trong hình 2.6 (a). ết quả ảnh nội suy bằng kỹ thuật nội suy song khối được so sánh với kết quả nội suy láng giềng gần nhất (kỹ thuật này được xác định là chính xác nhất trong
35
trường hợp cụ thể này) và thể hiện trong hình 2.11. đây các điểm ảnh có lỗi >1.0 được hiển thị màu đen trên hình.
Hình 2.11: Kết quả nội suy song khối so sánh với nội suy láng giềng gần nhất trong trường hợp biến đổi tỷ lệ ảnh CCD15
Đánh giá 3 kỹ thuật nội suy láng giềng gần nh t, nội suy song tuyến và
nội suy song khối
Hình 2.12: So sánh 3 kỹ thuật nội suy16
15
Nguồn ảnh: theo [18]
16Nguồn ảnh: http://www.vision-systems.com/articles/print/volume-12/issue-10/departments/wilsons- websites/understanding-image-interpolation-techniques.html
36
Hình trên cho thấy bề mặt đã nội suy bằng kỹ thuật song khối trơn nhẵn hơn bề mặt tương ứng đạt được của nội suy song tuyến tính (bilinear interpolation) hoặc nội uy các điểm gần nhất (Nearest Neighbor Interpolation).
2.4 Kỹ thuật nội suy Lagrange 2.4.1 Giới thiệu 2.4.1 Giới thiệu
Trong phân tích số, các đa thức Taylor thường được sử dụng, tuy nhiên do nhược điểm chỉ sử dụng một điểm ảnh duy nhất trong quá trình lấy mẫu lại ảnh nên không phù hợp trong nội suy [18]. Bởi vậy, đa thức Lagrange được sử dụng để thay thế nhằm tính toán điểm nội suy từ một số điểm gốc. Với mỗi mục đích cụ thể, đa thức Lagrange được trình bày bởi một hàm khác nhau. Đối với một số giới hạn các điểm gốc, đa thức Lagrange được tiếp cận với hàm inc được cho bởi phương trình theo [5] như au:
(2.18)
2.4.2 Phương ph p
Hàm nội suy Lagrange cho N-1 điểm với ảnh kích thước NxN với
được cho bởi công thức [18]:
ườ ợ á với i =j - N/2 +1.
Trường hợp N 1 tương ứng với kỹ thuật nội uy điểm ảnh gần nhất, N=2 tương đương với kỹ thuật nội suy tuyến tính và N=4 tương ứng với kỹ thuật nội suy song khối. Cụ thể N=4 và N=5 có hàm nội suy được định nghĩa như au:
ườ ợ á
37 ườ ợ á 2.4.3 Nhận xét
Với N =4 và N = 5, trong [18] đã biểu diễn dạng đồ thị của hàm nội suy Lagrange lần lượt trong hình 2.11 và 2.12. Dựa trên đồ thị có thể thấy, hàm nội suy Lagrange với N = 4 cho thấy độ sắc nét ở vùng trung tâm (trên hình ảnh thể hiện ở điểm số 1) trong miền không gian biên độ. Hình 2.11 (b) cho thấy biên độ của các bước sóng vào khoảng 4%. Với giá trị lẻ (N = 5), hàm nhân không liên tục. Do đó, biên độ của bước óng được tăng lên vào khoảng 10%. Tuy nhiên, có thể nhận thấy trên đồ thị biểu diễn hàm nhân xuất hiện các đoạn thẳng ở dải thông rộng tạo ra các bước sóng lớn để gần hơn đến trạng thái hình chữ nhật l tưởng. Nói cách khác, các đặc trưng dải thông được cải thiện bằng cách tăng giá trị N (N càng tăng thì hàm nội suy cho kết quả càng tốt).
a. Đồ thị biểu diễn hàm nhân b. Đồ thị biến đổi Fourier Hình 2.13: Đồ thị biểu diễn hàm nội suy Lagrange với N =417
17
38
a. Đồ thị biểu diễn hàm nhân b. Đồ thị biến đổi Fourier Hình 2.14: Đồ thị biểu diễn hàm nội suy Lagrange với N = 518
Ứng dụng
Kỹ thuật nội suy Lagrange trong trường hợp thay đổi tỷ lệ kích thước của ảnh CCD được cho như trong hình 2.6 (a). ết quả ảnh nội suy bằng kỹ thuật nội suy Lagrange được so sánh với kết quả nội suy láng giềng gần nhất (kỹ thuật này được xác định là chính xác nhất trong trường hợp cụ thể này) và thể hiện trong hình 2.15. đây các điểm ảnh có lỗi >1.0 được hiển thị màu đen trên hình.
Hình 2.15: Kết quả nội suy Lagrange so sánh với kỹ thuật nội suy láng giềng gần nhất trong trường hợp thay đổi tỷ lệ ảnh CCD19
a. Nội suy Lagrange với N =4. b. Nội suy Lagrange với N =5
18Nguồn ảnh: theo [18]
19
39
2.5 Kỹ thuật nội suy Gaussian 2.5.1 Giới thiệu 2.5.1 Giới thiệu
Kỹ thuật nội suy Gaussian được đề xuất bởi Appledorn với mục tiêu là khai thác các đặc điểm của hàm Gaussian trong miền không gian và tần số. Những điểm nội uy được tính toán bằng tổng tuyến tính của hàm Gaussian và đạo hàm bậc hai của nó.
2.5.2 Phương ph p
Trong đó, đạo hàm của phần tử thứ M với hàm Gaussian được cho bởi công thức [18]: với
Ví dụ với M = 2, 6, 10 lần lượt được cho bởi các công thức (2.25), (2.26), (2.27):
Từ đó, phương trình nội uy Gau ian được tổng quát hóa như au:
ườ ợ á
Với trọng số và phương ai được xác định theo [24].
Đặc biệt với x nhỏ nhất x = 0, kỹ thuật nội uy Gau ian tương ứng với trường hợp nội uy l tưởng:
Biến đổi Fourier của hàm nhân Gaussian cũng được cho tương ứng với trường hợp nội uy l tưởng với
40
2.5.3 Nhận xét
Theo [18] đánh giá, hàm nội suy Gaussian có một số hạn chế cần chú ý đó là điều kiện nội suy cho bởi công thức (2.30) với hằng số DC (Direct curent) được cho bởi công thức (2.31) như au:
III(f).
Trong đó:
III(x) =
Với hạn chế này, trọng số phải bằng 0 với m lẻ. Ngoài ra, với
m=4,8,12… Bởi hàm Gaussian luôn xấp xỉ bằng 0 với x lớn, để đơn giản hóa, những giá trị liên quan đến các vùng định nghĩa của hàm nhân được loại bỏ.
Ứng dụng
Hình 2.16: Kết quả nội suy Gaussian so sánh với nội suy láng giềng gần nhất