2.4.1 Giới thiệu
Trong phân tích số, các đa thức Taylor thường được sử dụng, tuy nhiên do nhược điểm chỉ sử dụng một điểm ảnh duy nhất trong quá trình lấy mẫu lại ảnh nên không phù hợp trong nội suy [18]. Bởi vậy, đa thức Lagrange được sử dụng để thay thế nhằm tính toán điểm nội suy từ một số điểm gốc. Với mỗi mục đích cụ thể, đa thức Lagrange được trình bày bởi một hàm khác nhau. Đối với một số giới hạn các điểm gốc, đa thức Lagrange được tiếp cận với hàm inc được cho bởi phương trình theo [5] như au:
(2.18)
2.4.2 Phương ph p
Hàm nội suy Lagrange cho N-1 điểm với ảnh kích thước NxN với
được cho bởi công thức [18]:
ườ ợ á với i =j - N/2 +1.
Trường hợp N 1 tương ứng với kỹ thuật nội uy điểm ảnh gần nhất, N=2 tương đương với kỹ thuật nội suy tuyến tính và N=4 tương ứng với kỹ thuật nội suy song khối. Cụ thể N=4 và N=5 có hàm nội suy được định nghĩa như au:
ườ ợ á
37 ườ ợ á 2.4.3 Nhận xét
Với N =4 và N = 5, trong [18] đã biểu diễn dạng đồ thị của hàm nội suy Lagrange lần lượt trong hình 2.11 và 2.12. Dựa trên đồ thị có thể thấy, hàm nội suy Lagrange với N = 4 cho thấy độ sắc nét ở vùng trung tâm (trên hình ảnh thể hiện ở điểm số 1) trong miền không gian biên độ. Hình 2.11 (b) cho thấy biên độ của các bước sóng vào khoảng 4%. Với giá trị lẻ (N = 5), hàm nhân không liên tục. Do đó, biên độ của bước óng được tăng lên vào khoảng 10%. Tuy nhiên, có thể nhận thấy trên đồ thị biểu diễn hàm nhân xuất hiện các đoạn thẳng ở dải thông rộng tạo ra các bước sóng lớn để gần hơn đến trạng thái hình chữ nhật l tưởng. Nói cách khác, các đặc trưng dải thông được cải thiện bằng cách tăng giá trị N (N càng tăng thì hàm nội suy cho kết quả càng tốt).
a. Đồ thị biểu diễn hàm nhân b. Đồ thị biến đổi Fourier Hình 2.13: Đồ thị biểu diễn hàm nội suy Lagrange với N =417
17
38
a. Đồ thị biểu diễn hàm nhân b. Đồ thị biến đổi Fourier Hình 2.14: Đồ thị biểu diễn hàm nội suy Lagrange với N = 518
Ứng dụng
Kỹ thuật nội suy Lagrange trong trường hợp thay đổi tỷ lệ kích thước của ảnh CCD được cho như trong hình 2.6 (a). ết quả ảnh nội suy bằng kỹ thuật nội suy Lagrange được so sánh với kết quả nội suy láng giềng gần nhất (kỹ thuật này được xác định là chính xác nhất trong trường hợp cụ thể này) và thể hiện trong hình 2.15. đây các điểm ảnh có lỗi >1.0 được hiển thị màu đen trên hình.
Hình 2.15: Kết quả nội suy Lagrange so sánh với kỹ thuật nội suy láng giềng gần nhất trong trường hợp thay đổi tỷ lệ ảnh CCD19
a. Nội suy Lagrange với N =4. b. Nội suy Lagrange với N =5
18Nguồn ảnh: theo [18]
19
39