Trong chương này, chúng ta đã trình bày một số nội dung về trạng thái tới hạn cho toán tử Schr¨odinger. Nói một cách khác, chúng ta đã trình bày một số ước lượng số giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger.
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày một số kiến thức liên quan đến toán tử Schr¨odinger-một toán tử quan trọng trong Vật lý. Nội dung nghiên cứu của luận văn bao gồm:
• Một số kiến thức Giải tích hàm.
• Một lớp toán tử thế năng thỏa mãn điều kiện Rollnik.
• Một số kiến thức về trạng thái tới hạn của toán tử Schr¨odinger. Trên cơ sở những kiến thức chuẩn bị, chúng tôi đã cố gắng trình bày một số nội dung rất cơ bản về toán tử thế năng V thỏa mãn điều kiện Rollnik, trong đó chỉ ra: Lớp toán tử thế năng này lập thành một không gian Banach. Đồng thời, cố gắng trình bày một số kiến thức về trạng thái tới hạn của toán tử Schr¨odinger. Những kiến thức trình bày chứa đựng một số ước lượng số giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger.
Với phạm vi luận văn và thời gian cũng như khả năng còn hạn chế, việc trình bày đầy đủ cũng như đưa ra những ví dụ minh họa chưa được thực sự hoàn thiện.Việc nghiên cứu những tính chất của toán tử Schr¨odinger chắc chắn còn đòi hỏi nhiều công sức. Rất mong được các Thầy cô chỉ bảo và các bạn đồng nghiệp góp ý để em có điều kiện nghiên cứu sâu sắc hơn nữa.
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu tiếng Việt
[1] A. N. Cônmôgôrốp, X. V. Fômin (1971), Cơ sở Lý thuyết hàm và giải tích hàm, NXB Giáo dục, Hà Nội.
[2] Hoàng Tụy (1979), Giải tích hiện đại: tập 1, tập 2, tập 3, NXB Giáo dục, Hà Nội.
[B] Tài liệu tiếng Anh
[3] V. Bargmann (1952), On the number of bound states in a central field of force, Pros. Nat. Aca. Sci. (U.S.A), 38, 961-966.
[4] M. Birman and M. Solomyak (1992), Schr¨odinger operator. Esti- mates for number of bound states as function-theoretical problem, Amer. Math. Soc. Transl.,150, 1–54.
[5] H. Brezis (2011), Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Springer, New York.
[6] G. C. Ghirardi and A. Rimini (1965), The formal theory of scatter- ing, J. Math. Phys.,6, 40–44.
[7] A.Gossman and T.T. Wu (1962), Schrodinger scattering amplitude,¨
III, J. Math. Phys.,3, 684-689.
[8] H. Kov˘arik, S. Vugalter and T. Weidl (2007), Spectral estimates for twodimensional Schr¨odinger operators with application to quantum layers,Comm. Math. Phys.,275, 827–838.
[9] E. Nelson (1970), Topic in Dymanics I : Flows, Princeton Univ. Press.
[10] M. Scadron, S. Weinberg, J. Wright (1964), Functional analysis and scattering theory Phys. Rev135, B202-B207.
[11] Barry Simon (1971),Hamiltonians defined as quadratic forms, Com- mun. Math. Phys. 21, 192-210.
[12] Barry Simon (1971), Quantum mechanics for Hamiltonians defined as quadratic forms, Princeton University Press, Princeton, New Jer- sey.