Trong mục này chúng ta sẽ dẫn ra một phương trình tích phân cho nghiệm năng lượng âm của phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian (H(ψ) = E(ψ)). Với mục đích so sánh, chúng ta sẽ xét trường hợp khi V ∈ L2. Khi đó H = H0 + V là phương trình toán tử, vì vậy
H(ψ) =E(ψ) suy ra (E −H0)ψ = V ψ hoặc
ψ = [(E−H0)−1V]ψ (3.1) Vì V ∈ L2, toán tử (E −H0)−1V có hạt nhân Hilbert-Schmidt đơn, và do đó (3.1) có dạng (κ = √ −E): ψ(x) = − Z e−κ|x−y| 4π|x−y|V(y)ψ(y)d 3 y (3.2)
Nếu V ∈ R, hệ thức quan trong H(ψ) = H0ψ +V ψ (xem như quan hệ giữa véc tơ trongH) có thể không đúng vì có thể xảy ra D(H)∩D(H0) =
{0}. Vì vậy (3.1) và do đó (3.2) sẽ sai. Chúng ta sẽ thực hiện một vài thao tác hình thức trên (3.1). Nếu φ = V||1/2ψ và bằng cách nhân (3.1)
với V||1/2, chúng ta nhận được
φ = [V||1/2ψ(E −H0)−1V1/2]φ (3.3) là phương trình tích phân được Schwinger sử dụng đầu tiên trong trường hợpL2∩L1. KhiV ∈ R,(3.3)có nghĩa và vì vậy chúng ta hy vọng rằng nó sẽ được chứng minh cho trạng thái tới hạn. Tương tự như với(3.1), (3.3)
có dạng tích phân với nhân Hilbert-Schmidt (κ = √ −E): φ(x) =− Z V||1/2(x) e −κ|x−y| 4π|x−y|V 1/2(y)φ(y)d3y. (3.4)
Với những năng lượng âm, chứng minh của (3.3) cho hàm riêng dựa vào bổ đề sau:
Bổ đề 3.1.1. Cho ψ ∈ D(H) với H = H0 + V. Khi đó với bất kỳ E
trong mặt phẳng cắt chính tắc:
V||1/2(E −H0)−1(E −H)ψ = (1−V||1/2(E−H0)−1V1/2)(V||1/2ψ) (3.5)
Chứng minh. Chúng ta chọn E âm sao cho những thực hiện trên chuỗi lũy thừa hình thức hợp lý và khi đó tiếp tục một cách giải tích. Cố định
E sao cho
k V||1/2(E −H0)−1V1/2 k< 1; thì (1−V||1/2(E −H0)V1/2)−1
tồn tại. Như trong định lý II.40 (a):
V||1/2(E −H)−1[1 −V||1/2(E −H0)V1/2]−1[V||1/2(E −H0)−1].
Do vậy,
[1 −V||1/2(E −H0)−1V1/2]V||1/2(E−H)−1 = V||1/2(E−H0)−1.
Với ψ ∈ D(H) áp dụng phương trình cuối cùng này cho (E −H)ψ. Vì vậy (3.5) thỏa mãn với E thực sự âm. Vì cả hai phía đều giải tích với E
trong mặt phẳng cắt, (3.5) thỏa mãn trong toàn bộ mặt phẳng cắt.
Hệ quả trực tiếp của bổ đề này là
Định lý 3.1.2. Cho V ∈ R + L∞, E = −κ < 0. Nếu Hψ = Eψ thì Φ = V||1/2 theo (3.3). Hơn thế, nếu V ∈ R thì Φ thỏa mãn phương trình tích phân Fredholm (3.4).
Kết quả quan trọng là định lý đảo của định lý vừa nêu. Điều đó dựa vào bổ đề sau:
Bổ đề 3.1.3. Cho ψ ∈ H+1 và cho V ∈ R+L∞. Khi đó
[1−(E −H0)−1V]ψ = (E −H0)−1(E −H)ψ (3.6)
với bất kỳE trong mặt phẳng cắt chính tắc. (Như thông thường, (E−H) được xem như ánh xạ từ H+1 vào H−1 và (E −H0)−1 từ H−1 vào H+1)
Chứng minh. Ta xem E −H = (E −H0)−V như ánh xạ: H+1 →H−1.
Định lý 3.1.4. Cho V ∈ R+ L∞. Cho φ = [V||1/2(E −H0)−1V1/2]φ với
E là mặt phẳng cắt chính tắc. Khi đó, tồn tại φ thỏa mãn: (a) ψ ∈ D(H).
(b) Hψ = Eψ. (c) φ = V||1/2ψ.
Chứng minh. Lấy ψ = [(E−H0)−1V||1/2]φ. Vì V1/2 H01/2,(E−H0)−1V
là toán tử bị chặn nên ψ ∈ Ran(E −H0)−1/2 = D(H01/2) ≡ H+1. Vì φ
thỏa mãn phương trình tích phân, (c) hiển nhiên. Do vậy
ψ = [(E−H0)−1V1/2](V1/2ψ) = [(E −H0)−1V]ψ.
Khi đó, theo (3.6) (E − H0)−1(E − H)ψ = 0. Vì (E − H0)−1 là song ánh từ H−1 lên H+1, ta có (E−H)ψ = 0 như là một phần tử của H−1. Nhưng khi đó Hψ = Eψ ∈ H+1 ⊂ H nghĩa là ψ ∈ H+1 và Hψ ∈ H, do đó ψ ∈ D(H). Vì vậy (a) và (b) đúng.
Hệ quả 3.1.5. Cho V ∈ R. Khi đó phương trình tích phân
ψ = φ+ [V||1/2(E −H0)−1V1/2]ψ
có nghiệm duy nhất với mọi φ ∈ L2, trong đó E là một siêu phẳng cắt chính tắc mà không phải là giá trị riêng của H; đặc biệt khi ImE 6= 0.
Chứng minh. Vì V||1/2(E −H0)−1V1/2 là Hilbert-Schmidt, đây là một hệ quả trực tiếp khác của định lý A.25 (Theorem A.25) trong [12].
Khi E = 0 hoặc là dương, (3.1) không còn nghĩa là một phương trình toán tử nữa, vì (E − H0)−1V không thể xác định. Tuy vậy (và điều này đã được Scadrom và cộng sự chú ý đầu tiên [...]), khi V ∈
R, V||1/2(E − H0)−1V1/2 có một giới hạn Hilbert-Schmidt khi E xấp xỉ với trục thực dương từ một phía. Vì vậy chúng ta hy vọng một phương trình tích phân kiểu (3.3) thỏa mãn khi chúng ta có một hàm riêng năng lượng không âm. Như chúng ta sẽ thấy, sự tương tự của định lý 3.1.2 là đúng, nhưng sự tương tự của định lý 3.1.4 thì không.
Định lý 3.1.6. Cho Hψ = Eψ với H = H0 +V với V ∈ R và E ≥ 0. Khi đó
lim
ε↓0(1−V||1/2(E±iε−H0)−1V1/2)(V||1/2ψ) = 0,
tức là φ = V||1/2ψ thỏa mãn cặp phương trình tích phân:
φ(x) = Z |V(x)|1/2(4π|x−y|)−1e±i √ E|x−y|V1/2(y)φ(y)d3y. (3.6a) Chứng minh. Nhờ bổ đề 3.1.1
V||1/2(E±iε−H0)−1(E±iε−H)ψ = (1−V||1/2(E±iε−H0)−1V1/2)(V||1/2ψ)
(3.7) bằng 0. Vế phải của (3.7) hội tụ tới η±, trong đó (3.6a) tương đương với
η± = 0. Cho χΩ là hàm đặc trưng của tập bị chặnΩ. Khi đó, sử dụng
(E −H)ψ = 0:
χΩη± = lim
ε↓0 ±(iε)(χΩV||1/2)(E ±iε−H0)−1ψ,
Vì V là địa phương trong L1, χΩV||1/2(E±iε−H0)−1 là Hilbert-Schmidt với chuẩn Z χΩ(x)|V(x)| e −1κ|x−y| 4π|x−y|2d3xd3y 1/2 < 1 2κ1/2 Z Ω |V(x)|d3x 1/2 trong đó κ = |Im√
E ±iε| = 0(ε). Vì vậy số hạng ở trong giới hạn cuối cùng có chuẩn ∼ ε0(ε−1) = 0(ε1/2) → 0 khi ε↓ 0. Do đó χΩη± = 0 với Ω
Lưu ý: Tuy nhiên không phải nghiệm của phương trình3.6anhất thiết phải tương ứng với trạng thái tới hạn. Ví dụ như: giếng vuông cầu với những cộng hưởng s- sóng năng lượng zero có hàm sóng thỏa mãn (3.6a)
(với E = 0) nhưng lại có ψ(r)r−1. Vì vậy V||1/2ψ ∈ L2 nhưng ψ 6∈ L2, tức là (3.6a) có một nghiệm trong L2 nhưng Hψ = 0 không có nghiệm trong L2.