Trong mục này chúng ta sẽ xem xét vấn đề thay đổi cận trong trường hợp thế năng thuộc R.
Bổ đề 3.2.1. (Schwinger, [12], tr. 86 ) Cho N(V;E < −κ2) là số các trạng thái tới hạn của H0 + V với năng lượng E bị chặn bởi −κ2. Cho
V ∈ L và κ >0. Khi đó:
N(V;E < −κ2) ≤(4π)−2
Z
|V(x)|e−2κ|x−y||x−y|−2|V(y)|d3xd3y. Chứng minh. Đầu tiên xét trường hợp V ≤ 0. Theo Schwinger, chúng ta chú ý tới tính liên tục trong tương tác hằng (xem [12], Định lý II.33) và sự kiện nói rằng, giá trị riêng đơn điệu giảm, N(V;E < −κ) là số các giá trị riêng không âm λ < 1 mà với chúng (H0 + λV)ψ = −κ2ψ có nghiệm. Theo định lý 3.1.2, nó đồng nhất với số nghiệm của
φ(x) =λ
Z
Rκ(x, y)φ(y)d3y, (3.8)
với λ <1, trong đó R được cho bởi (3.4). Nhưng (với V < 0, Rκ tự liên hợp) T r(R+κRκ) =X n (λ−n2) ≥ X λn<1 λ−n2 ≥N(V;E < −κ2)
trong đó λn là tập tất cả các giá trị riêng của (3.8) với không thỏa mãn
V ≤0, chúng ta chỉ cẩn sử dụng:
N(V;E < −κ2) ≤N(−|V|;E < −κ2).
Định lý 3.2.2. [Cận Schwinger] Cho V ∈ R. Khi đó
N(V;E ≤0) ≤ (4π)−2 Z |V(x)||x−y|−2d3xd3y. Chứng minh. Từ bổ đề và nếu N(V;E < 0) = lim κ↑0 N(V;E < −κ2)
thì ta có điều phải chứng minh. Để bao gồm trạng thái năng lượng không, chúng ta phải tiếp tục xem xét. Giả sử V ≤ 0. Vì Rκ là hạt nhân của
V1/2(H0 + κ2)−1V1/2, chúng ta thấy Rκ ≤ R0 (theo nghĩa toán tử), vì vậy với mỗi nghiệm của φ = Rκφ, phải có một nghiệm λ−1ψ = R0ψ với
λ−1 > 1. Hơn thế theo định lý3.1.6. Trạng thái tới hạn năng lượng không thỏa mãn ψ = R0ψ. Vì vậy N(V;E ≤ 0) ≤ T r(RT0R0). Nếu V ≤ 0 thì không thỏa mãn, chúng ta sử dụng N(V;E ≤ 0)≤ N(−|V|;E ≤ 0).
Nhận xét 3.2.3. 1. Như chúng ta đã biết, sự bao hàm của trạng thái
E = 0 là một kết quả mới thậm chí so với V thỏa mãn điều kiện Kato.
2. Chúng ta có thể đếm sự cộng hưởng năng lượng không, các năng lượng không tương ứng với hàm riêng bình phương khả tích trong
N(V;E ≤ 0).
3. Tất nhiên |V(−)(x)| = |min(V(x),0)| có thể thay thế V(x) trong bất đẳng thức tích phân tương đương.
4. Trong bất đẳng thức có thể thay thế ” ≤ ” bằng ”< ” vì Rκ có giá trị riêng λ >1.
Như hai ví dụ của phương pháp xấp xỉ, chúng ta sẽ chứng minh Định lý 3.2.4. Cho V ∈ R. Khi đó N(V;E < 0) ≤(4π)−2 Z V(x)V(y)|x−y|−2d3xd3y. Chứng minh. Cho VN(x) = ( V(x) nếu |V(x) < N| 0 |V(x) > N| Thì VN → V
trong chuẩn Rollnik và do từ hệ quả (2.15)
PN(−∞, E) → P(−∞, E)
trong kk khi E < 0 không là giá trị riêng của H0 +V. Do vậy
N(VN, E <−κ2) → N(V;E < −κ2)
Vì VN là Kato, tới hạn Ghirardi-Rimini suy ra (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
N(VN;E < −κ2) ≤N(VN;E < 0) ≤(4π)−2 Z |x−y|−2VN(x)VN(y)d3xd3y. Từ định lý hội tụ và V εR N(V;E < −κ2) ≤ (4π)−2 Z |x−y|−2V(x)V(y)d3xd3y suy ra kết quả.
Nhận xét 3.2.5. 1. Như Ghirardi và Rimini, trạng thái tới hạn này luôn luôn tốt hơn tới hạn V(x) và đôi khi tốt hơn, đôi khi xấu hơn tới hạn |V(−)(x)|
2. Có một chứng minh trực tiếp của định lý này theo Ghirardi và Rimini. Với bất kỳ nghiệm của (H −E)ψ = 0(E < 0) có
[(H0 −E)−1/2V(H0 −E)−1/2]φ = φ
Vì năng lượng liên kết là đơn điệu trong tương tác, lập luận sau tương đương với lập luận của Schwinger chỉ ra:
N ≤ lim
E↓0[T r[(H0−E)−1/2V(H0−E)−1/2]2] = (4π)−2
Z
V(x)V(y)|x−y|d3xd3y
Định lý 3.2.6. [Cận Bargmann] Cho V ∈ R. Giả sử V là trung tâm và
∞ R
0
r|V(r)|dr < ∞. Khi đó, số các trạng thái trong `-kênh thu được n`(V) thỏa mãn n`(V) ≤ (2`+ 1)−1 ∞ Z 0 r|V(r)|dr.
Chứng minh. Giả sử VN được xác định như trong chứng minh định lý
3.2.4. Gọi P` là phép chiếu lên không gian con động lượng `; P` giao hoán với H0 +V và H0 +VN và các phép chiếu phổ của chúng. Vì vậy
PN(−∞, E)P` → P(−∞, E)P`.
(Hội tụ ở trên là hội tụ theo chuẩn). nếu như E < 0 không là giá trị riêng của H0 +V. Do đó n`(V) = lim E↑0dim[P(−∞), E] = lim E↑0 lim N→∞dim[PN(−∞, E)] ≤(2`+ 1)−1 ∞ Z 0 r|V|dr vì mỗi dim[PN(−∞, E)] < (2` + 1)−1 ∞ R 0
r|V|dr theo chứng minh của
Bargmann trong [3].