Trong [10], các tác giả Scadron, Weinberg và Wright đã nghiên cứu điều kiện Rollnik và mối quan hệ của nó với tính compact của toán tử
V||1/2(E +H0)V1/2
(xem mục 2.4). Họ lưu ý rằng, chuỗi Born hội tụ tuyệt đối với những hằng số kết hợp nhỏ khi V ∈ L1 ∩ R. Trong mục này ta phát biểu lại chứng minh của họ và nghiên cứu mở rộng chúng để điều ngược lại cũng đúng. Với những thế năng bình ổn, ta sẽ đặc trưng một cách chính xác những thế năng có chuỗi Born hội tụ. Trước hết ta nhắc lại khái niệm chuỗi Born với năng lượng E = k2 (với Imk ≥ 0) được cho bởi
B(E, λ) = ∞ X n=1 Bn(E)λn (2.10) trong đó Bn(E) = (−1)n Z d3x1...d3xnV(x1) e ik|x1−x2| 4π|x1 −x2|V(x2) ... e ik|xn−1−xn| 4π|xn−1 −xn|V(xn) (2.11)
Định nghĩa 2.3.1. Chúng ta nói V thỏa mãn điều kiện (CB) khi và chỉ khi
(1) |B|n = R d3x1...d3xn |V(x1)|...|V(xn)|
|x1 −x2|...|xn−1 −xn| < ∞.
(2) Tồn tại Λ để P
λn|B|n < ∞ với mọi |λ| < Λ. Khi đó, Scadron và các cộng sự chứng minh được:
Định lý 2.3.2. Cho V ∈ L1 ∩R. Khi đó (CB) được thỏa mãn với Λ = (4π)/kVkR.
Vì vậy với bất kì E, mỗi tích phân Bn(E) là hội tụ tuyệt đối và khi
Chứng minh. Xem [12], tr. 16.
Ta nhắc lại hai kết quả cơ bản sau:
(a) NếuKi(x, y),i = 1,2là bình phương khả tích vớixvà ythìM(x, y) =
R
K1(x, z)K2(z, y)dz và kMksch ≤ kK1kschkK2ksch (trong đó kKk2sch ≡
R
kK(x, y)k2dxdy). Trong trường hợp này ta viết M = K1◦K2. (b) Nếu K(x, y) là bình phương khả tích và φ, ψ ∈ L2, khi đó
Z dxdyφ(x)K(x, y)ψ(y) ≤ kφk2kKkschkϕk2. Nếu V ∈ R, thì đặt K1(x, y) = |V(x)|1/2|x − y|−1|V(y)|1/2. Khi đó kK1ksch = kVkR. Đặt Kn = K1 ◦ ◦ ◦Kn. Do (a) ta có kKnksch ≤ kVknR. Vì vậy, nếu V ∈ L1 thì |B|n = 1 (4π)n Z dx1dxn|V(x1)|1/2Kn(x1, x2)|V(xn)|1/2 ≤ kVk1 kVkR 4π n .
Vì vậy, tích phân |B|n là hội tụ và P
λ|B|n < ∞ nếu
λkVkR(4π)−1 < 1.
Ví dụ sau đây chỉ ra rằng, đảo lại của định lý trên không còn đúng: Ví dụ 2.3.3. Cho V(r) = r−2 với r < 1, V(r) = 0 trong những trường hợp còn lại. Khi đó:
(a) V /∈ R: Điều này suy ra từ mệnh đề tổng quát trong 3.1 khi ta xem xét lại ví dụ này. Điều này cũng có thể xem là một kết quả của sự kiện: Phép biến đổi Fourier của nó ∼ p−1 với p đủ lớn:
Z
|Vˆ(p)|2
p d
3p = ∞, nghĩa là V /∈ R.
(b) V thỏa mãn diều kiện (CB): Điều này suy ra từ điều tổng quát dưới đây. Một cách tương đương, ta sẽ chỉ ra các bất đẳng thức Sobolev suy
ra |B|n hữu hạn như thế nào. Vì mục đích đó, cho f ∈ Lp với p < 32. Khi đó, theo bất đẳng thức Sobolev, với
f1(xn−1) ≡
Z
dxn f(xn)
|xn−1 −xn|,
ta có f1 ∈ Lq1, trong đó q1−1 = p−1 −2/3. Khi đó, f f1 ∈ Lp2 với p−21 =
q1−1 +p−1. Lại theo bất đẳng thức Sobolev,
f2(xn−2) ≡ Z dxndxn−1 f(xn)f(xn−1) |xn−1 −xn||xn−1 −xn−2| = Z dxn−1 f(xn−1)f1(xn−1) |xn−1 −xn−2| ∈ L q2
với q2−1 = p−21 − 2/3 = 2[p−1 − 2/3]. Vậy |B|n hội tụ tuyệt đối nếu
(n−1)(p−1 −2/3) +p−1 = 1, và V ∈ Lp. Vì V đang xét thuộc Lp với
p < 3/2, ta có tất cả |B|n hội tụ. Để chỉ ra bán kính hội tụ là hữu hạn ta cần nghiên cứu chi tiết các hằng số trong các bất đẳng thức Sobolev và của các Lp− chuẩn của V.
Ví dụ trên đây chỉ ra rằng, lớp những V ∈ R∩L1 và lớp những V với chuỗi Born hội tụ thực sự khác nhau.Tuy nhiên, định lý sau đây chỉ ra chúng không khác nhau nhiều:
Định lý 2.3.4. Cho V(x) là bình ổn. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
(1) V thỏa mãn (CB). (2) V ∈ L1 ∩(L3/2)W.
(3) V ∈ L1 và |V(x)| < d+ c|x|−2 với một vài c, d.
(4) D(|V|1/2) ⊃ D(H01/2) và với a, b với mọi ψ ∈ D(H01/2)
|V|1/2ψ ≤ a H01/2ψ +bkψk (2.12) và V ∈ L1 ( nghĩa là V ∈ L1 và λ|V|1/2 < T.K.|H0|1/2 với λ)
Chứng minh. Chúng ta sẽ giả sử rằng V là đơn điệu và trung tâm. Chúng ta sẽ chứng minh (1) → (2) → (3) → (4) → (1) bằng cách sử dụng kí hiệu rt trong Định lý 2.1.6 (tức là rt ≡ bán kính mà tại đó V(r) =t).
(1) →(2).
Khi |x|,|y| < r kéo theo |x−y|−1 > (2r)−1, ta có Z |xj|<r d3x1...d3xn |x1 −x2|...|xn−1 −xn| ≥ 2 n−1 R2n+1(4π/3)n. Vì vậy 2|B|n > tn(rt)2n+1(2π/3)n, do đórt < (3/2π)n/2n+1t−n/2n+1(2|B|n)1/2n. Khi đó P
λn|B|n có bán kính hội tụ khác không, sup|B|1n/2n < ∞, nên rt < Ct−1/2. Từ đó suy ra, V> ∈ (L3/2)W. Vì |B|1 < ∞ nên V ∈ L1. Nói riêng ra, khi đó V< ∈ L1 và do đó V ∈ (L3/2)W.
(2) →(3).
V ∈ (L3/2)W suy ra rt ≤ ct−1/2. Vì vậy với bất kì r, r ≥ rt với t= (c/r)2
hoặc |V(r)| ≤ c2/r2. Trong trường hợp V không đơn điệu với r lớn, thì lập luận này chỉ ra được rằng |V(r)| < c2/r2 ở cự ly nhỏ.
(3) →(4).
Với V = r−2 thì bất đẳng thức 2.12 được chứng minh.
(4) →(1).
Cho E dương, khi đó Ran((E +H0)−1/2) = D(H01/2) nên, theo mục 13, chương II của [12], suy ra với mọi φ:
|V|1/2(E+H0)−1/2φ < a H01/2(E +H0)−1/2φ + b (E+H0)−1/2φ ≤ (a+bE−1/2)kφk.
Từ đó suy ra, |V|1/2(E + H0)−1/2 là toán tử bị chặn và do đó nó bằng
(E+H0)−1/2|V|1/2. Đặt V1(x) = V(x) nếu |x| < 1 và bằng 0 nếu |x| ≥1
và đặt V2 = V − V1. Chúng ta sẽ chỉ ra |V(x)|1/2|x −y|−1|V(y)|1/2 là hạch của một toán tử bị chặn. Với mục đích này, ta chỉ cần chỉ ra
|Vi(x)|1/2|x−y|−1|Vj(y)|1/2 có tính chất đó với i, j = 1,2. Với i = j = 2 thì đơn giản, vì V2 ∈ L1 ∩L∞ ⊂ R.
Với i = j = 1 nó có thể được thỏa mãn như sau: Vì V1 thỏa mãn (2.12), với bất kì κ >0,
|V1(x)|1/2eκ|x−y||x−y|−1|V1(y)|1/2
là hạch của toán tử bị chặn. Vì hạt nhân triệt tiêu nếu |x−y| > 2, nhân tử e−κ|x−y| được ... bởi e−2κ. Vì vậy i = j = 1 cho một toán tử bị chặn. Cuối cùng chúng ta xét các trường hợp chéo nhau. Đặt V2 = V3 + V4, trong đó V4(x) = V(x) nếu |x| > 2 và bằng không nếu trái lại. Khi đó
V1 − V3 có thể giải quyết theo cách tương tự với i = j = 1. V1 − V4
xác định hạt nhân Hilbert - Schmidt vì V1, V4 ∈ L1 và |V1(x)|1/2|x −
y|−1|V4(y)|1/2 < |V1(x)|1/2|V4(y)|1/2. Do đó A ≡ V||1/2|x − y|V||1/2 xác định một toán tử bị chặn với cận C. V ∈ L1 suy ra V||1/2 ∈ L2. Khi đó
|B|n = D V||1/2, An−1V||1/2 E , ta có |B|n hữu hạn và |B|n ≤CnkVk1 vì vậy (CB) thỏa mãn. Nhận xét 2.3.5. 1. Chứng minh (1) ⇒ (2) chỉ ra rằng, nếu V là bình ổn và chúng ta có |B|n < ∞ với mọi n thì V ∈ Lq với mọi 1≤ q < 3/2. 2. Không cần giả thiết V là bình ổn, chứng minh (4) ⇒ (1) chỉ ra rằng (4) suy ra tính hữu hạn của Bn(E) với E không phải là số thực không âm và tính hội tụ của Bn(E) với |λ| đủ nhỏ (và E cố định).
3. Chúng ta sẽ thấy trong phần 3.1,với V bình ổn, (4) tương đương với
V ∈ L1 và D(H01/2) ⊂ D(|V|1/2)
4. Định lý này chỉ cho chúng ta rằng, khi một thế năng bình ổn thỏa mãn (CB), tích phân Rollnik tối thiểu là logarit hội tụ. Nói khác đi, nếu