Cho hàm ϕ : X → R là một hàm giá trị thực mở rộng, ta nói ϕ là chính thường nếu ϕ(x) > −∞ với mọi x ∈ X và miền xác định của nó
dom ϕ := {x∈ X|ϕ(x) < ∞}
là khác rỗng. Với ϕ bất kì ta có trên đồ thị, siêu đồ thị được định nghĩa là
epi ϕ := {(x, α) ∈ X ×R|α ≥ ϕ(x)}, hypo ϕ := {(x, α) ∈ X ×R|α 6 ϕ(x)}. Ta thấy ngay rằng gph ϕ = epi ϕ∩hypo ϕ.
Với mỗi hàm ϕ : X → R tương ứng có một hàm đa trị F : X ⇒ R xác định bởi
F(x) = Eϕ(x) := {α ∈ R|α ≥ ϕ(x)}
được gọi là hàm đa trị trên đồ thị xác định bởi ϕ.
Định nghĩa 4.2.1. Cho X là không gian Banach và ϕ : X → R hàm nhận giá trị trong tập số thực suy rộng, hữu hạn tại x¯. Với mỗi ε > 0, đặt b ∂εϕ(¯x) := x∗ ∈ X∗ : lim inf x→x¯ ϕ(x)−ϕ(¯x)− hx∗, x−x¯i kx−x¯k > −ε . (4.12)
Các phần tử của tập hợp ở vế trái công thức này được gọi là các ε− dưới gradient Fréchet của ϕ tại x¯, còn bản thân tập hợp đó được gọi là ε−
Định nghĩa 4.2.2. Tập hợp ∂ϕ(¯x) := Limsup x−→ϕ x¯ ε↓0 b ∂εϕ(x) (4.13)
được gọi là dưới vi phân qua giới hạn hay dưới vi phân Mordukhovich. Tập hợp
∂∞ϕ(¯x) := Limsup x−→ϕ x¯
ε,λ↓0
λ∂bεϕ(x) (4.14)
được gọi là dưới vi phân suy biến của ϕ tại x¯.
Có thể kiểm tra được rằng nón pháp tuyến Mordukhovich (4.2) cho tập bất kì Ω ⊂ X tại x¯∈ Ω được biểu diễn thông qua dưới vi phân
N(¯x; Ω) = ∂δ(¯x,Ω) = ∂∞δ(¯x,Ω) (4.15) ở đó δ(.,Ω) là ánh xạ chỉ của Ω. Ta cũng có thể chứng minh được rằng
∂ϕ(¯x) = D∗Eϕ(¯x, ϕ(¯x))(1) = {x∗ ∈ X∗|(x∗,−1)∈ N((¯x, ϕ(¯x)); epiϕ)}, (4.16) ∂∞ϕ(¯x) =D∗Eϕ(¯x, ϕ(¯x))(0) = {x∗ ∈ X∗|(x∗,0) ∈ N((¯x, ϕ(¯x)); epi ϕ)}.
(4.17) 4.2.2. Một số quy tắc tính toán
Định lý 4.2.1. (Quy tắc tính tổng của dưới vi phân)[19, Theorem 3.1]
(i) Cho ϕ : X → R là khả vi chặt tại x¯ và cho ψ : X → R là nửa liên tục dưới trong lân cận của x¯. Khi đó ta có
∂(ϕ+ψ)(¯x) =ϕ0(¯x) +∂ψ(¯x). (4.18)
(ii) Cho ϕ : X → R là liên tục Lipschitz trong lân cận của x¯ và cho
ψ : X → R là nửa liên tục dưới trong lân cận của x¯. Khi đó
∂∞(ϕ+ψ)(¯x) = ∂∞ψ(¯x). (4.19)
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh rằng
∂(ϕ+ ψ)(¯x) ⊂ϕ0(¯x) +∂ψ(¯x) (4.20) với x¯ ∈ dom ψ. Bởi định nghĩa của đạo hàm chặt, với bất kì dãy γν ↓ 0 tồn tại một dãy δν ↓ 0 thỏa mãn
|ϕ(z)−ϕ(x)− hϕ0(¯x), z −xi | ≤ γν kx−zk ∀x, z ∈ Bγν(¯x), ν = 1,2, ... (4.21) Bây giờ ta xét x∗ ∈ ∂(ϕ+ψ)(¯x). Sử dụng biểu diễn (4.13), ta tìm được những dãy xk → x,¯ (ϕ+ ψ)(xk) → (ϕ+ψ)(¯x), x∗k ω
∗
−→ x∗, và εk ↓ 0 khi k → ∞ thỏa mãn
x∗k ∈ ∂ˆεk(ϕ+ψ)(xk) ∀k = 1,2, ... (4.22) Vì xk → x¯ khi k → ∞ nên có thể chọn một dãy k1 < k2 < ... < kν < ... những số nguyên dương thỏa mãn kxkν −x¯k ≤ δν/2 với mọi ν = 1,2, ... Theo (4.22) ta chọn 0 < ην ≤ δν/2 thỏa mãn
ψ(x)−ψ(xkν) +ϕ(x)−ϕ(xkν)−
x∗kν, x −xkν ≥ −2εkν kx−xkνk ∀x ∈ Bην(xkν), ν = 1,2, ...
(4.23) Quan sát thấy rằng x ∈ Bδν(¯x) khi x ∈ Bην(xkν) với mọi ν = 1,2, ... Theo đó từ (4.21) và (4.22) ta có
ψ(x)−ψ(xkν)−
x∗kν −ϕ0(¯x), x −xkν ≥ −(2εkν +γν)kx−xkνk ∀x ∈ Bην(xkν), ν = 1,2, ... Điều này kéo theo rằng
x∗k
ν −ϕ0(¯x) ∈ ∂ˆε¯νψ(xkν) với ε¯ν := 2εkν +γν, ν = 1,2, ... (4.24) Mà ψ(xkν) → ψ(¯x) khi ν → ∞, nên từ (4.13) và (4.24) ta có x∗−ϕ0(¯x) ∈
(ϕ+ ψ) + (−ϕ), ta suy ra được bao hàm thức ngược lại của (4.20) và thiết lập được đẳng thức (4.18) cho trường hợp x¯ ∈ domψ. Trường hợp ¯
x /∈ domψ là rõ ràng.
Để chứng minh (ii) ta kiểm tra bao hàm thức
∂∞(ϕ+ψ)(¯x) ⊂ ∂∞ψ(¯x) (4.25) dưới giả thiết được đưa ra. Điều này kéo theo đẳng thức (4.19) tương tự cho (i).
Ta thiết lập (4.25) với x ∈ domψ. Trước hết ta xét x∗ ∈ ∂∞(ϕ+ ψ)(¯x) và sử dụng (4.17). Theo đó ta có thể tìm được các dãy x∗k −→ω∗ x∗, αk →
0, xk →x, r¯ k → (ϕ+ψ)(¯x), εk ↓ 0, và δk ↓ 0thỏa mãn rk ≥ ϕ(xk)+ψ(xk) và
hx∗k, x−xki +αk(r −rk) ≤ 2εk(kx−xkk+|r −rk|) (4.26) với mọi (x, r) ∈ epi(ϕ+ψ) với x ∈ Bδk(xk) và |r−rk| ≤ δk, k = 1,2, ... Lấy ` là một hằng số Lipschitz của ϕ trong một lân cận của x. Ta kí¯ hiệu δ¯k := ¯δk/2(`+ 1) và r¯k := rk −ϕ(xk), k = 1,2, ... Dễ dàng thấy rằng r¯k ≥ ψ(xk) với mọi k và r¯k → ψ(¯x) khi k → ∞. Quan sát thấy rằng khi cố định bất kì k = 1,2, ... và với bất kì (x,r)¯ ∈ epiψ thỏa mãn x ∈ Bδk¯ (xk) và |r¯−r¯k| ≤δ¯k ta có
(x,r¯+ϕ(x)) ∈ epi(ϕ+ ψ) và |(¯r +ϕ(x))−rk| ≤ δk. Bởi (4.26) ta được
hx∗k, x−xki+αk(¯r−rk)¯ ≤εk(¯ kx−xkk+|r¯−¯rk|),
trong đó ε¯k := 2εk(1 + `) +|αk|` với bất kì (x,r)¯ ∈ epiψ, x ∈ B¯δk(xk) và |r¯−r¯k| ≤ δ¯k, k = 1,2, ... Điều này kéo theo
(xk∗, αk) ∈ Nbεk¯ ((xk,r¯k); epiψ).
Sử dụng (4.17), ta thu được x∗ ∈ ∂ψ(¯x) mà điều này chứng minh cho (4.25), do đó chứng minh đẳng thức (4.19). Lấy ψ ≡ 0 trong (4.19), ta
có ∂∞ϕ(¯x) ={0} với bất kì hàm Lipschitz liên tục ϕ trong một lân cận của x. Định lý được chứng minh.¯
Xét bài toán tối ưu
min{ϕ(x, y) | y ∈ Φ(x)} (4.27) phụ thuộc tham số x và hàm giá trị tối ưu tương ứng
m(x) := inf{ϕ(x, y) : y ∈ Φ(x)} (4.28) ở đó ϕ: X ×Y →R là một hàm thực suy rộng và Φ : X ⇒Y là ánh xạ đa trị giữa các không gian Banach. Kí hiệu
M(x) := {y ∈ Φ(x) | f(x, y) = m(x)} (4.29) là tập nghiệm có tham số của (4.27).
Nhận xét 4.13. Ta thấy rằng khi Φ : X → Y là một ánh xạ đơn trị thì
hàm giá trị tối ưu (4.28) là một hàm hợp của ϕ và Φ mà ta kí hiệu (ϕ◦Φ)(x) := ϕ(x,Φ(x)) (4.30) Trong trường hợp này công thức dưới vi phân cho (4.28) có liên quan đến quy tắc đổi biến (chain rules) cho dưới vi phân của hàm hợp.
Trong mục này ta cần sử dụng đến tính nửa compact dưới (lower
semicompactness) của hàm đa trị M : X ⇒ Y trong một lân cận của
điểm x: tồn tại một lân cận¯ U của x¯ thỏa mãn với bất kì x ∈ U và bất kì dãy xk → x khi k → ∞ thì có một dãy yk ∈ M(xk), k = 1,2, ..., mà bao gồm một dãy con hội tụ trong chuẩn tôpô của Y. Rõ ràng, bất kì hàm đa trị nửa liên tục dưới trong một lân cận của x¯ là nửa compact dưới trong lân cận của điểm này.
Định lý 4.2.2. (Dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu)[19, Theorem 4.1]
compact dưới trong lân cận của x¯ ∈ dom m, và cho ϕ là nửa liên tục dưới trên gphΦ và khả vi chặt tại (¯x,y)¯ với bất kì y¯∈ M(¯x). Khi đó ta có ∂m(¯x) ⊂ [ ¯ y∈M(¯x) [ϕ0x(¯x,y) +¯ D∗Φ(¯x,y)(ϕ¯ 0y(¯x,y))]¯ (4.31) ∂∞m(¯x) ⊂ [[D∗Φ(¯x,y)(0)¯ | y¯∈ M(¯x)] (4.32)
Chứng minh. Trước hết ta kiểm tra rằng hàm giá trị tối ưu (4.28) là nửa liên tục dưới trong lân cận của x¯ dưới giả thiết được đưa ra. Thật vậy, lấy U là một lân cận của x¯ từ điều kiện nửa compact dưới của M. Với bất kì x ∈ U và dãy xk → x, ta tìm được một dãy yk ∈ M(xk) bao gồm một dãy con hội tụ tới điểm y ∈ Y với (x, y) ∈ gphΦ. Khi đó ϕ là nửa liên tục dưới trên gphΦ, ta có
m(x) ≤ ϕ(x, y) ≤ lim inf
k→∞ ϕ(xk, yk) = lim inf
k→∞ m(xk).
Điều này cho ta tính nửa liên tục dưới của m(x) trong một lân cận của ¯
x.
Bây giờ ta xét hàm f : X ×Y →R được xác định bởi
f(x, y) := ϕ(x, y) + δ((x, y),gphΦ) (4.33) và ta chứng minh rằng
∂m(¯x) ⊂ {x∗ ∈ X∗| (x∗,0) ∈ ∂f(¯x,y),¯ y¯∈ M(¯x)}. (4.34) Lấy x∗ ∈ ∂m(¯x) và sử dụng biểu diễn (4.13), ta tìm được các dãy xk →
¯
x, x∗k ω
∗
−→ x∗, và εk ↓ 0 thỏa mãn m(xk) → m(¯x) khi k → ∞ và x∗k ∈
ˆ
∂εkm(xk) với mọi k = 1,2, .... Do đó, tồn tại một dãy ρk ↓ 0 khi k → ∞
với
hx∗k, x−xki ≤ m(x)−m(xk) + 2εkkx−xkk ∀x ∈ Bρk(xk), k = 1,2, ... Bởi định nghĩa (4.28) và (4.29) của m và M, với bất kì yk ∈ M(xk) ta có
với mọi (x, y) ∈ Bρk((xk, yk)), k = 1,2, .... Từ (4.13) và (4.33) ta có (x∗k,0) ∈ ∂ˆ2εkf(xk, yk) ∀yk ∈ M(xk), k = 1,2, ... (4.35) Bây giờ sử dụng tính nửa compact dưới của M trong một lân cận của ¯
x, ta có thể chọn một dãy yk ∈ M(xk) mà bao gồm một dãy con hội tụ tới điểm y¯ ∈ Φ(¯x). Khi m(xk) → m(¯x) ta có y¯ ∈ M(¯x) và f(xk, yk) →
f(¯x,y)¯ khi k → ∞. Theo (4.35) và (4.13) ta có được (x∗,0) ∈ ∂f(¯x,y)¯ và bao hàm thức (4.34) được chứng minh.
Tiếp theo ta chú ý rằng hàm f trong (4.33) được biểu diễn là tổng của hai hàm thỏa mãn giả thiết trong Định lý 4.2.1(i) tại điểm(¯x,y)¯ ∈ gphM. Sử dụng quy tắc tính tổng(4.18)và đẳng thức đầu tiên trong(4.15) cùng với định nghĩa của đối đạo hàm ta suy ra được bao hàm thức (4.31).
Tiếp theo ta chứng minh (4.32). Trước hết ta chứng minh rằng ∂∞m(¯x) ⊂ {x∗ ∈ X∗| (x∗,0) ∈ ∂∞f(¯x,y),¯ y¯∈ M(¯x)}. (4.36) Chọn x∗ ∈ ∂∞m(¯x) và sử dụng (4.17), ta tìm được những dãy x∗k ω ∗ −→ x∗, λk → 0, xk → x, r¯ k → m(¯x), εk ↓ 0 và ρk ↓ 0 khi k → ∞ thỏa mãn rk ≥ m(xk) và hx∗k, x −xki+λk(r −rk) ≤ 2εk(kx−xkk+|r −rk|) (4.37) với mọi (x, r) ∈ epi m với x ∈ Bρk(xk) và |r −rk| ≤ ρk, k = 1,2, .... Từ (4.33) và chọn tùy ý yk ∈ M(xk), ta chú ý rằng rk ≥ f(xk, yk) và (4.37) kéo theo thiết lập
h(x∗k,0),(x, y)−(xk, yk)i+λk(r−rk) ≤2εk(kx−xkk+ky −ykk+|r−rk|) với mọi ((x, y), r) ∈ epif với (x, y) ∈ Bρk((xk, yk)) và |r−rk| ≤ ρk, k = 1,2, .... Điều này cho ta
((x∗k,0), λk) ∈ Nb2εk(((xk, yk), rk),epif), k = 1,2, ... (4.38) Bây giờ sử dụng tính nửa compact dưới của M trong lân cận của x, ta¯ chọn một dãyyk ∈ M(xk)bao gồm một dãy con hội tụ tới điểmy¯∈ Φ(¯x).
Khi đó rk → m(¯x), ta thu được y¯ ∈ M(¯x) và rk → f(¯x,y)¯ khi k → ∞. Cho qua giới hạn trong (4.38) khi k → ∞, ta có (x∗,0) ∈ ∂∞f(¯x,y)¯ và dẫn đến bao hàm thức (4.36).
Để thu được bao hàm thức(4.32), từ(4.36)ta áp dụng Định lý 4.2.1(ii) cho tổng của những hàm trong (4.33) cùng với biểu diễn thứ hai của nón pháp tuyến Mordukhovich trong (4.15) và định nghĩa của đối đạo hàm. Định lý được chứng minh.
Bây giờ ta xét trường hợp khi Φ là ánh xạ đơn trị và Lipschitz địa phương trong lân cận của x. Khi đó bao hàm thức¯ (4.32) là rõ ràng nhưng (4.31) có thêm quy tắc đổi biến cho dưới vi phân Mordukhovich của hàm hợp (4.30). Khi đó ta có định lý sau.
Định lý 4.2.3. Cho Φ : X → Y là ánh xạ đơn trị và liên tục Lipschitz trong lân cận của x¯ và cho ϕ : X ×Y → R là khả vi chặt tại (¯x,Φ(¯x)). Khi đó ta có
∂(ϕ◦Φ)(¯x) = ϕ0x(¯x,y) +¯ ∂ϕy0(¯x,y),¯ Φ(¯x) với y¯= Φ(¯x). (4.39)
Chứng minh. Do tính khả vi chặt của ϕ tại (¯x,y)¯ với y¯= Φ(¯x), với bất kì dãy γν ↓0 thì tồn tại một dãy ρν ↓0 thỏa mãn
|ϕ(u,Φ(u))−ϕ(x,Φ(x))− hϕx0(¯x,y), u¯ −xi −
ϕ0y(¯x,y),¯ Φ(u)−Φ(x)| ≤ γν(ku−xk+kΦ(u)−Φ(x)k) ∀x, u ∈ Bρν(¯x), ν = 1,2, ... (4.40) Chọn bất kì x∗ ∈ ∂(ϕ ◦ Φ)(¯x). Theo (4.13) ta có được các dãy xk →
¯
x, x∗k −→ω∗ x∗, và εk ↓ 0 thỏa mãn (ϕ◦Φ)(xk) → (ϕ◦Φ)(¯x) và
x∗k ∈ ∂ˆεk(ϕ◦Φ)(xk) ∀k = 1,2, ... (4.41) Khi xk →x, k¯ → ∞ ta chọn một dãy k1 < k2 < ... < kν < ... của những số nguyên dương thỏa mãn kxkν −x¯k ≤ ρν/2 với mọi ν. Bởi (4.41) nên
ta có thể chọn 0< ην ≤ ρν/2 thỏa mãn ϕ(x,Φ(x))−ϕ(xkν,Φ(xkν))− x∗k ν, x−xkν ≥ −2εkν kx−xkνk ∀x ∈ Bην(xkν), ν = 1,2, ... (4.42) Cho ` là một hằng số Lipschitz của Φ trong một lân cận của x¯ mà bao gồm tất cả xk với k đủ lớn. Chú ý rằng x ∈ Bρν(¯x) nếu x ∈ Bην(xkν) với mọi ν, ta suy ra từ (4.40) và (4.42) rằng ϕ0y(¯x,y),¯ Φ(x)− ϕ0y(¯x,y),¯ Φ(xkν)− x∗kν −ϕ0x(¯x,y), x¯ −xkν ≥ −[2εkν +γν(`+ 1)]kx−xkνk ∀x ∈ Bην(xkν), ν = 1,2, ... Từ đây và từ (4.12) ta có x∗k ν −ϕ0x(¯x,y)¯ ∈ ∂ˆε¯ν ϕ0y(¯x,y),¯ Φ(xkν) với ε¯ν := 2εkν +γν(`+ 1) (4.43) với mọi ν = 1,2, .... Cho qua giới hạn trong (4.43) khi ν → ∞ và sử dụng (4.13), ta có
x∗ −ϕ0x(¯x,y)¯ ∈ ∂ϕ0y(¯x,y),¯ Φ(¯x),
mà điều này chứng minh bao hàm thức “⊂” trong (4.39). Để kiểm tra bao hàm thức ngược lại trong (4.39) ta sử dụng những đối số tương tự với điểm x∗ ∈
ϕ0y(¯x,y),¯ Φ(¯x). Định lý được chứng minh.
Tiếp theo ta xét quy tắc đổi biến cho dưới vi phân Mordukhovich và dưới vi phân suy biến của hàm hợp (4.30) trong trường hợp hàm không trơn ϕ và ánh xạ khả vi chặt Φ giữa các không gian Banach tùy ý. Định lý 4.2.4. [19, Theorem 4.3](i) Cho Φ : X →Y là khả vi chặt tại x¯
với Φ0(¯x) khả nghịch (nghĩa là 1-1 và là toàn ánh) và cho ϕ : X×Y →R
được biểu diễn là
ϕ(x, y) = ϕ1(x) +ϕ2(y)
ở đó ϕ1 là là khả vi chặt tại x¯ và ϕ2 là nửa liên tục dưới trong lân cận
¯
y = Φ(¯x). Khi đó ta có
(ii) Cho ϕ và Φ thỏa mãn giả thiết trong (i) trừ ra rằng ϕ1 là liên tục Lipschitz trong lân cận của x¯. Khi đó ta có
∂∞(ϕ◦Φ)(¯x) = (Φ0(¯x))∗∂∞ϕ2(¯y).
Chứng minh. Trong trường hợp được xét ta có
(ϕ◦Φ)(x) =ϕ1(x) +ϕ2(Φ(x)). (4.44) Để chứng minh (i), sử dụng Định lý 4.2.1(i) ta được
∂(ϕ◦Φ)(¯x) =ϕ01(¯x) +∂(ϕ2 ◦Φ)(¯x). Vì vậy ta sẽ chỉ ra rằng
∂(ϕ2 ◦Φ)(¯x) = (Φ0(¯x))∗∂ϕ2(¯y) với y¯= Φ(¯x). (4.45) Trước hết ta kiểm tra bao hàm thức “⊃” trong (4.45). Xét bất kì y∗ ∈ ∂ϕ2(¯y), ta tìm được các dãy yk → y, y¯ k∗ −→ω∗ y∗ và εk ↓ 0 thỏa mãn ϕ2(yk) → ϕ2(¯y) khi k → ∞ và yk∗ ∈ ∂ˆεkϕ2(yk) với mọi k = 1,2, .... Sử dụng định lý ánh xạ ngược cho ánh xạ khả vi chặt, ta có được Φ−1 là đơn trị địa phương và khả vi chặt tại y¯ với đạo hàm chặt (Φ0(¯x))−1 tại điểm này. Do đó, Φ là một phép đồng phôi địa phương quanhx. Sử dụng¯ phương pháp tương tự như chứng minh của Định lý 4.2.3, với bất kì dãy γν ↓ 0 ta có ρν ↓0, xν → x, và một dãy¯ kν → ∞ khi ν → ∞ thỏa mãn ϕ2(Φ(x))−ϕ2(Φ(xν))−
(Φ0(¯x))∗ykν∗ , x−xν ≥ −(2`εkν+γν ykν∗ )kx−xνk
với bất kì x ∈ Bρν(xν), ở đó ` là một hằng số Lipschitz của Φ trong một lân cận của x¯ bao gồm tất cả Bρν(xν) khi ν = 1,2, .... Bởi (4.13) kéo theo bao hàm thức “⊃” trong (4.35).
Để kiểm tra bao hàm thức ngược lại ta biểu diễn ϕ2 dưới dạng ϕ2(y) = (ψ◦Φ−1)(y) với ψ := (ϕ2 ◦Φ)(x)
Bây giờ áp dụng bao hàm thức “⊃” trong (4.35) cho hàm hợp ψ ◦Φ−1 và sử dụng (Φ−1)0(¯y) = (Φ0(¯x))−1, ta thu được bao hàm thức “⊂” trong
(4.35). Khẳng định (i) trong định lý được chứng minh.
Để chứng minh (ii), dưới giả thiết được đưa ra từ Định lý 4.2.1(ii) ta có ∂∞(ϕ◦Φ)(¯x) =∂∞(ϕ2 ◦Φ)(¯x)
Đẳng thức
∂∞(ϕ2 ◦Φ)(¯x) = (Φ0(¯x))∗∂∞ϕ2(Φ(¯x))
có thể được chứng minh tương tự như (4.35) bằng cách sử dụng (4.17), định nghĩa nón pháp tuyến Mordukhovich (4.2) và chứng minh (4.32) trong Định lý 4.2.3.
Ta thường sử dụng một hệ quả của Định lý 4.2.4 cho việc biểu diễn nón pháp tuyến Mordukhovich (4.2) của những tập có dạng
Φ−1(Λ) := {x ∈ X| Φ(x) ∈ Λ}
ở đó Φ : X →Y và Λ⊂ Y.
Hệ quả 4.2. Cho Φ là khả vi chặt tại x¯ với Φ0(¯x) khả nghịch, và cho Λ
là đóng quanh điểm y¯= Φ(¯x) ∈ Λ. Khi đó ta có
N(¯x; Φ−1(Λ)) = (Φ0(¯x))∗N(¯y;Λ).
Chứng minh. Hệ quả được suy ra trực tiếp từ Định lý 4.2.4(i) khi ϕ1 = 0 và ϕ2 = δ(., Λ).
Sau đây ta nêu lên mối liên hệ giữa dưới vi phân Clarke với dưới vi phân Mordukhovich và dưới vi phân suy biến.
Định nghĩa 4.2.3. (Không gian Asplund). Một không gian Banach X
được gọi là không gian Asplund nếu không gian đối ngẫuX∗ là tách được.
Kí hiệu ∂Cϕ(¯x) là dưới vi phân suy rộng Clarke đã được trình bày trong Chương 2, và cl∗ kí hiệu phép lấy bao đóng trong tôpô yếu∗ của X∗. Khi đó ta có thể chứng minh được mối liên hệ sau.
Định lý 4.2.5. [16, Theorem 3.57] Cho X là không gian Asplund và
ϕ : X → R là chính thường và nửa liên tục dưới quanh x¯ ∈ domϕ. Khi đó ta có
∂Cϕ(¯x) = cl∗[co∂ϕ(¯x) + co∂∞ϕ(¯x)] = cl∗co[∂ϕ(¯x) +∂∞ϕ(¯x)].
Đặc biệt, khi ϕ là liên tục Lipschitz quanh x¯ ta có
∂Cϕ(¯x) = cl∗co∂ϕ(¯x).
Sau đây ta sẽ đưa ra một vài ví dụ tính toán đối đạo hàm của những hàm đơn giản. Các ví dụ này đã được trình bày trong [4].
Ví dụ 4.2.20. Cho hàm f = |x|, x ∈ R. Ở trong hai chương trước ta biết rằng hàm f là lồi và Lipschitz trên R, và gphf = {(x,|x|)|x ∈ R}. Áp dụng công thức tính nón pháp tuyến trong (4.1), (4.3) và (4.4) ta có
b
N((0,0); gphf) =(x1, x2) ∈ R2 : x2 ≤ − |x1| , N((0,0); gphf) =Nb ((0,0); gphf)∪
(x1, x2) ∈ R2 : x2 = |x1| . Nên với y∗ ∈ R, ta tính được
D∗f(0)(y∗) = [−y∗, y∗] nếu y∗ > 0, {−y∗, y∗} nếu y∗ < 0, {0} nếu y∗ = 0.
Ví dụ 4.2.21. Cho hàm f(x) = |x1| − |x2| với mọi x = (x1, x2) ∈ R2
và lấy x¯ = (0,0). Hàm f không lồi, không lõm, cũng không chính quy Clarke tại x¯ = (0,0). Để tính đối đạo hàm D∗f(¯x)(.) : R ⇒ R2 ta phải xác định nón pháp tuyến N(¯x; gphf).
Ta có
= {(x1, x2, t) : x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, t = x1 −x2} ∪ {(x1, x2, t) : x1 ≥0, x2 ≤0, t = x1 +x2} ∪ {(x1, x2, t) : x1 ≤0, x2 ≤0, t = −x1 +x2} ∪ {(x1, x2, t) : x1 ≤0, x2 ≥0, t = −x1 −x2}.
Kí hiệu các tập lồi đa diện ở vế phải tương ứng lần lượt là F1, F2, F3, F4. Giả sử rằng z = (x1, x2, t) ∈ gphf.
Nếu z thuộc phần trong tương đối của F1 (tương ứng cho F2, F3, F4) thì ta có nón Fréchet Nb(z; gphf) ={λ(1,−1,−1) : λ ∈ R} (tương ứng, Nb(z; gphf) ={λ(1,1,−1) : λ ∈ R}, b N(z; gphf) ={λ(−1,1,−1) : λ ∈ R} và Nb(z; gphf) ={λ(−1,−1,−1) :λ ∈ R}). Nếu x1 > 0 và x2 = 0 thì z ∈ F1 ∩F2. Vì b T(z;F1) = (v1, v2, α) ∈ R3 : v2 ≥ 0, 0 = v1 −v2 −α
mà theo Bổ đề Farkas (một bất đẳng thức ha0, xi 6 0 là kết quả của hệ
hai, xi 60, i = 1, ..., m
nếu và chỉ nếu tồn tại những số thực không âm λ1, ..., λm thỏa mãn m P i=1 λiai = a0) nên ta có b N(z;F1) = {(η1, η2, θ) = −λ(0,1,0)−µ(1,−1,−1) : λ ≥ 0, µ ∈ R}. Tương tự b N(z;F2) ={(η1, η2, θ) =−λ0(0,−1,0)−µ0(1,1,−1) : λ0 ≥ 0, µ0 ∈ R}. Do Nb(z; gphf) =Nb(z, F1)∩ Nb(z, F2) , ta suy ra rằng b N(z; gphf) ={(−µ, µ−λ, µ) : 2µ ≥λ ≥0}.
Rõ ràng nón pháp tuyến Fréchet này không phụ thuộc vào vị trí của z 6= 0 trên nửa đường thẳng F1 ∩ F2.
Nếu x1 < 0 và x2 = 0, thì z ∈ F3 ∩ F4. Lập luận tương tự như trên ta được b N(z; gphf) = {(µ, λ−µ, µ) : 2µ≥ λ ≥ 0}. Nếu x1 = 0 và x2 > 0, thì z ∈ F1 ∩F4 và