Định nghĩa 4.1.7. (Đối đạo hàm). Cho ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y với
domF 6= ∅.
(i) Lấy (x, y) ∈ X × Y và ε ≥ 0, ta định nghĩa ε−đối đạo hàm (ε −
corderivative) của F tại (x, y) là một hàm đa trị Db∗εF(x, y) : Y∗ ⇒X∗
với những giá trị b Dε∗F(x, y)(y∗) := n x∗ ∈ X∗|(x∗,−y∗) ∈ Nbε((x, y); gphF) o . (4.7)
Khi ε = 0 trong (4.7) cách xây dựng này được gọi là tiền đối đạo hàm
(precoderivative) hay đối đạo hàm Fréchet (Fréchet coderivative) của
F tại (x, y) và được kí hiệu là Db∗F(x, y). Theo đó từ định nghĩa thì
b
Dε∗F(x, y)(y∗) = ∅ với mọi ε ≥ 0 và y∗ ∈ Y∗ nếu (x, y) ∈/ gphF.
(ii) Đối đạo hàm qua giới hạn (hay đối đạo hàm Mordukhovich) của F
tại (¯x,y¯) ∈ gphF là một hàm đa trị D∗F(¯x,y) :¯ Y∗ ⇒ X∗ được xác định bởi
Một số kết quả sau về đối đạo hàm của hàm ẩn đa trị đã trình bày trong [15].
Mệnh đề 4.1.17. (Đối đạo hàm của ánh xạ chỉ). Cho các không gian
X và Y, xét một tập con khác rỗng Ω ⊂ X và định nghĩa ánh xạ chỉ
(indicator mapping) ∆ :X →Y của Ω tương đối cho Y là
∆(x; Ω) := ( 0∈ Y nếu x ∈ Ω, ∅ nếu x /∈ Ω. Khi đó với bất kì x¯ ∈ Ω và y∗ ∈ Y∗ ta có b D∗ε∆(¯x; Ω)(y∗) =Nbε(¯x; Ω), ε≥ 0; D∗∆(¯x; Ω)(y∗) =N(¯x; Ω).
Chứng minh. Điều này có được trực tiếp từ định nghĩa vì gph∆ = Ω×
{0}.
Nhận xét 4.10. Ta thấy rằng đối đạo hàm thường có giá trị không lồi
(nonconvex). Ví dụ như, ta xét hàm lồi không trơn ϕ(x) = |x|, x ∈ R. Từ Định lý 4.1.1 ta có thể tính được nón pháp tuyến Mordukhovich cho gph|x| ⊂R2 tại (0,0). Từ (4.8) ta có
D∗ϕ(0,0)(λ) = (
[−λ,λ] nếu λ ≥ 0,
{−λ,λ} nếu λ<0.
Ta cũng thấy rằng giá trị đối đạo hàm có thể là rỗng tại những điểm của đồ thị cho những hàm liên tục. Ví dụ như ta xét hàm ϕ(x) = |x|α với x ∈ R và 0 < α < 1, ở đó
D∗ϕ(0,0)(λ) = (
R nếu λ ≥ 0,
∅ nếu λ< 0.
Nhắc lại rằng hàm đa trịF : X ⇒ Y là nửa liên tục dưới tạix¯∈ domF nếu với mỗi y ∈ F(¯x) và mỗi dãy xk → x¯ với xk ∈ domF có yk ∈ F(xk) thỏa mãn yk →y khi k → ∞.
Định lý 4.1.2. (Tính chất cực trị của hàm đa trị giá trị lồi ). Cho
F : X ⇒ Y là nửa liên tục dưới tại x¯ ∈ domF và giá trị lồi trong lân cận điểm này. Giả sử rằng y∗ ∈ domD∗F(¯x,y)¯ với y¯∈ F(¯x) thì ta có
hy∗,y¯i = min
y∈F(¯x)hy∗, yi.
Chứng minh. Vì D∗F(¯x,y)(y¯ ∗) 6= ∅ và (4.8) nên ta có x∗ ∈ X∗ với (x∗,−y∗) ∈ N((¯x,y); gphF¯ ).
Sử dụng Định nghĩa 4.1.5, ta có thể tìm được các dãy εk ↓ 0, (xk, yk) →
(¯x,y)¯ với yk ∈ F(xk) và (x∗k, y∗k) −→ω∗ (x∗, y∗) thỏa mãn lim sup
(x,y)→(xk,yk),y∈F(x)
hx∗k, x−xki − hyk∗, y−yki
k(x, y)−(xk, yk)k ≤ εk, k ∈ N.
Khi x = xk, điều này kéo theo rằng −yk∗ ∈ Nεb k(yk;F(xk)). Khi đó tất cả những tập F(xk) là lồi, từ Mệnh đề 4.1.15 ta thu được
hyk∗, y−yki ≥ −εkky −ykk, ∀y ∈ F(xk), k ∈ N. (4.9) Bây giờ giả sử rằng có một y˜∈ F(¯x) thỏa mãn
hy∗,y˜i < hy∗,y¯i.
Sử dụng tính chất nửa liên tục dưới của F tại x, ta tìm được một dãy¯ ˜
yk → y˜ với yk˜ ∈ F(xk) với mọi k ∈ N. Từ tính hội tụ kéo theo rằng
hyk∗,y˜k −yki < −εkky˜k −ykk, k ∈ N.
Mà điều này là mâu thuẫn với (4.9) nên ta có được điều cần chứng minh.
Nhận xét 4.11. Từ định nghĩa của ánh xạ tổng quát F : X ⇒ Y có
b
D∗F(¯x,y)(y¯ ∗) ⊂ D∗F(¯x,y)(y¯ ∗)
với bất kì y∗ ∈ Y∗ và tất cả hai hàm đa trị là thuần nhất dương trong y∗ bao hàm x∗ = 0 khi y∗ = 0 và (¯x,y)¯ ∈ gphF. Ta có thể thấy rằng bao
hàm thức ở trên thường là chặt. Ta lấy ngay ví dụ trên với hàm ϕ = |x|, ở đó ta có b D∗ϕ(0,0)(λ) = ( [−λ,λ] nếu λ ≥ 0, ∅ nếu λ<0.
Định nghĩa 4.1.8. (Tính chính quy đồ thị của hàm đa trị). Cho F : X ⇒Y và (¯x,y)¯ ∈ gphF. Thì F là chính quy tại (¯x,y)¯ nếu D∗F(¯x,y) =¯
b
D∗F(¯x,y)¯ .
Theo đó từ (4.7) và (4.8) với ε = 0 thì F là chính quy tại (¯x,y¯) nếu và chỉ nếu đồ thị của F là chính quy pháp tuyến tại điểm này.
Bây giờ ta xét hàm đa trị đồ thị lồi, tức là những ánh xạ F : X ⇒ Y mà những đồ thị là những tập con lồi của X ×Y. Trong trường hợp này ta có một biểu diễn đặc biệt của đối đạo hàm theo đó từ dạng của nón pháp tuyến cho những tập lồi.
Mệnh đề 4.1.18. (Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị đồ thị lồi)[16, Propo- sition 1.37] Cho F : X ⇒ Y là đồ thị lồi. Thì F là chính quy tại mỗi điểm (¯x,y)¯ ∈ gphF và có một biểu diễn đối đạo hàm
D∗F(¯x,y)(y¯ ∗) = x∗ ∈ X∗| hx∗,x¯i − hy∗,y¯i = max (x,y)∈gphF [hx∗, xi − hy∗, yi] .
Chứng minh. Bởi (4.7)và (4.8)ta có được điều cần chứng minh từ Mệnh đề (4.1.15) và (4.1.16) khi ε= 0.
Tiếp theo ta thiết lập mối liên hệ giữa đối đạo hàm và đạo hàm của ánh xạ khả vi đơn trị mà kéo theo tính chính quy của đồ thị f : X → Y nếu f là khả vi chặt tại x.¯
Định lý 4.1.3. (Đối đạo hàm của ánh xạ khả vi). Cho f : X → Y là khả vi Fréchet tại x¯. Khi đó
b
Nếu f là khả vi chặt tại x¯ thì
D∗f(¯x)(y∗) = {Of(¯x)∗y∗}, ∀y∗ ∈ Y∗,
và khi đó f là chính quy tại điểm này.
Chứng minh. Quan sát thấy rằng với bất kì f : X → Y thì bao hàm
thức x∗ ∈ Db∗f(¯x)(y∗) có nghĩa là, lấy tùy ý một γ > 0, ta có
hx∗, x−x¯i − hy∗, f(x)−f(¯x)i 6 γ(kx−x¯k+kf(x)−f(¯x)k), khi x đủ đóng cho x. Nếu¯ f là khả vi Fréchet tại x¯ (nhắc lại rằng hàm f : X → Y là khả vi Fréchet tại x¯ nếu có một toán tử tuyến tính liên tục Of(¯x) : X →Y, được gọi là khả vi Fréchet của f tạix¯khi thỏa mãn lim
x→x¯
f(x)−f(¯x)−Of(¯x)(x−x)¯
kx−x¯k ) và từ định nghĩa của toán tử tuyến
tính liên hợp có Of(¯x)∗y∗ ∈ Db∗f(¯x)(y∗) với mỗi y∗ ∈ Y∗. Ngược lại, ta chọn bất kì x∗ ∈ Db∗f(¯x)(y∗) và sử dụng tính khả vi Fréchet của f tại x¯ ta có
hx∗ −Of(¯x)∗y∗, x−x¯i 6 γkx−x¯k, ∀x∈ U,
ở đó lân cận U của x¯ phụ thuộc vào γ, (x∗, y∗), và kOf(¯x)k. Khi γ > 0 đã được chọn tùy ý, từ đó kéo theo rằng x∗ = Of(¯x)∗y∗, mà điều này chứng minh đẳng thức đầu tiên trong định lý.
Bây giờ giả sử rằng f là khả vi chặt tại x¯và ta chứng minh đẳng thức thứ hai. Khi đó ta chỉ cần chứng minh rằng x∗ = Of(¯x)∗y∗ với bất kì x∗ ∈ D∗f(¯x)(y) và y∗ ∈ Y∗. Từ (4.8) và (4.2)thì ta có những dãy εk ↓0, xk →x¯ và (x∗k, y∗k) ω
∗
−→(x∗, y∗) thỏa mãn
hx∗k, x−xki − hyk∗, f(x)−f(xk)i 6 εk(kx−xkk+kf(x)−f(xk)k), với mọi x đủ đóng cho xk và mọi k ∈ N. Theo đó từ Định nghĩa hàm khả vi chặt (nhắc lại rằng ánh xạ f : X → Y là khả vi chặt tại x¯ nếu lim
x→x¯
u→x¯
f(x)−f(u)−Of(¯x)(x−u)
j → ∞ có một dãy trong lân cận Uj của x¯ với
kf(u)−f(x)−Of(¯x)(u−x)k 6 γjku−xk, ∀x, u ∈ Uj, j ∈ N. Điều này cho ta lựa chọn một dãy {kj} những số tự nhiên thỏa mãn
D x∗kj −Of(¯x)∗ykj∗ , x−xkj E 6 εj˜ x−xkj, ∀x ∈ Ukj, j ∈ N, ở đó Ukj là một lân cận của xkj và ε˜j := (`+ 1)(εkj +γj y∗k j ) với hằng số Lipschitz ` > 0 của f tại x. Điều sau cùng kéo theo rằng¯
x∗kj −Of(¯x)∗ykj∗ 6εj˜
với j ∈ N đủ lớn, mà điều này cho ta x∗ = Of(¯x)∗y∗ bởi vì ˜
εj ↓ 0, x∗kj −Of(¯x)∗yk∗j ω
∗
−→x∗ −Of(¯x)∗y∗ khi j → ∞
và tính nửa liên tục dưới yếu∗ của chuẩn trong X∗.
Nhận xét 4.12. Trong trường hợp ánh xạ không trơn và đa trị, giá trị đối đạo hàm không phụ thuộc tuyến tính trên biến y∗ nhưng thể hiện sự phụ thuộc tính thuần nhất dương. Nếu bản thân f là một toán tử tuyến tính liên tục, thì đối đạo hàm của nó thu được là lớp toán tử tuyến tính liên hợp.
Giả thiết khả vi chặt trong Định lý 4.2.2 là điều kiện cần nhưng không đủ cho tính chính quy đồ thị của hàm đơn trị. Một ví dụ đơn giản chứng minh điều đó là hàm ϕ(x) = |x|α với 0 < α < 1 được xét ở trên mà rõ ràng là chính quy tại x¯ = 0. Quan sát thấy rằng hàm này không Lipschitz địa phương tại điểm đó, mà điều đó là rất quan trọng cho tính chính quy.
Hệ quả 4.1. (Đối đạo hàm của toán tử tuyến tính). Cho A: X → Y là tuyến tính và liên tục. Khi đó chính quy tại mọi điểm x¯ ∈ X với
Chứng minh. Kết quả ta thu được trực tiếp từ Định lý 4.2.2 với f(x) = Ax.
Tiếp theo ta tìm hiểu mối liên hệ giữa tính Lipschitz của hàm với đối đạo hàm.
Định nghĩa 4.1.9. (Tính Lipschitz của ánh xạ đa trị)[16, Definition 1.40] Cho F : X ⇒ Y với domF 6= ∅ và X, Y là các không gian Banach.
(i) Lấy tập con khác rỗng U ⊂ X và V ⊂ Y, ta nói rằng F là giả
Lipschitz (Lipschitz-like) trên U tương đối cho V nếu có ` ≥ thỏa mãn
F(x)∩V ⊂ F(u) +`kx−ukB, ∀x, u ∈ B, (4.10)
ở đó B là hình cầu đơn vị đóng trong không gian X.
(ii) Lấy (¯x,y)¯ ∈ gphF, ta nói rằng F là giả Lipschitz địa phương tại
(¯x,y)¯ với modun ` ≥ 0 nếu có những lân cận U của x¯ và V của y¯
thỏa mãn (4.10). Cận dưới đúng của tất cả modun {`} được gọi là cận Lipschitz đúng (exact Lipschitzian bound) của F tại (¯x,y)¯ và nó được kí hiệu là: lipF(¯x,y)¯ .
(iii) F là liên tục Lipschitz trên U nếu (4.10) đúng khi V = Y. Hơn nữa,
F là Lipschitz địa phương tại x¯ với cận đúng lipF(¯x) nếu V = Y trong (ii).
Ta có mối liên hệ giữa đối đạo hàm và tính giả Lipschitz trong không gian hữu hạn chiều
Mệnh đề 4.1.19. [15, Proposition 2.8 ] Cho F : Rn ⇒ Rm là một hàm đa trị có đồ thị đóng và điểm (¯x,y)¯ ∈ gphF. Khi đó
D∗F(¯x,y)(0) =¯ {0} (4.11)
là điều kiện cần và đủ để F là giả Lipschitz tại (¯x,y)¯ .
Với hàm đa trị ngược F−1 của F ta thấy
Do đó
KerD∗F(¯x,y) =¯ {0},
là điều kiện cần và đủ để F−1 là giả Lipschitz tại (¯x,y¯).