Trong phần này chúng ta sẽ thiết lập một số quy tắc tính toán của dưới vi phân suy rộng từ những hàm đơn giản nhất thông qua tổ hợp tuyến tính, cực đại, tích, tổng với giả sử rằng các hàm f được đưa ra là Lipschitz địa phương tại điểm x đã cho.
Mệnh đề 3.2.9. (Nhân vô hướng). Với mọi λ ∈ R ta có ∂(λf)(x) = λ∂f(x).
Chứng minh. Ta cần chứng minh nếu f là Lipschitz địa phương tạix thì λf cũng là Lipschitz địa phương tại x với mọi λ ∈ R.
Với λ > 0 thì theo Mệnh đề (3.1.2) ta có: (λf)0 = λf0. Nên ta có: ∂(λf)(x) =λ∂f(x).
Với λ = −1. Khi đó một phần tử ξ trong X∗ thuộc vào ∂(−f)(x) nếu và chỉ nếu
Theo Mệnh đề 3.1.2 ta có(−f)0(x;v) =f0(x;−v). Điều này tương đương với f0(x;−v) ≥ ξ(v) ≥ −ξ(−v), ∀v ∈ X, từ đó ta có−ξ ∈ ∂f(x)hayξ ∈ −∂f(x). Và ta được∂(−f)(x) = −∂f(x). Với λ < 0 ta cũng có được ∂(λf)(x) = ∂(−|λ|f)(x) = −|λ|∂f(x) = λ∂f(x).
Mệnh đề 3.2.10. [8, Proposition 2.3.2] Nếu f đạt cực đại hay cực tiểu địa phương tại x thì 0∈ ∂f(x).
Chứng minh. Do ∂(−f) = −∂f nên ta chỉ cần chứng minh cho trường
hợp hàm đạt cực tiểu địa phương. Rõ ràng nếu f đạt cực tiểu tại điểm x thì theo định nghĩa của đạo hàm theo hướng suy rộng ta cóf0(x;v) ≥0. Khi đó theo Mệnh đề (3.1.4)(i) ta có 0 ∈ ∂f(x).
Mệnh đề 3.2.11. (Tổng hữu hạn)[8, Proposition 2.3.3] ∂ n X i=1 fi ! (x) ⊂ n X i=1 ∂fi(x)
dấu đẳng thức xảy ra, nếu trừ ra một hàm các hàm còn lại đều là khả vi chặt.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh bao hàm thức với n= 2 và sử dụng
quy nạp cho trường hợp tổng quát. Theo định nghĩa của đạo hàm theo hướng suy rộng ta để ý thấy rằng f10(x;v) +f20(x;v) ≥ (f1+f2)0(x;v). Theo Mệnh đề 3.1.3(ii) ta có max ξ∈∂f1(x)+∂f2(x) ξ(v) ≥ max ξ∈∂(f1+f2)(x) ξ(v).
Cũng theo Mệnh đề (3.1.3)(i) thì dưới vi phân suy rộng là tập lồi và compact yếu∗ nên ta có
Trong trường hợp một trong hai hàm là khả vi chặt, ở đây ta giả sử là hàm f1 thì ta có
(f1 + f2)0(x;v) = f10(x;v) +f20(x;v) = f10(x;v) +f20(x;v). Từ đó suy ra ∂(f1 +f2)(x) = ∂f1(x) +∂f2(x).
Từ hai Mệnh đề trên ta có được hệ quả sau. Hệ quả 3.2. Với bất kì λi ∈ R ta có
∂ n X i=1 λifi ! (x) ⊂ n X i=1 λi∂fi(x).
Dấu bằng xảy ra nếu trừ ra một hàm, còn các hàm còn lại là khả vi chặt.
Ta thấy rằng thông qua một số mệnh đề đã nêu thì những công thức tính toán dưới vi phân suy rộng thường là các bao hàm thức. Trong phần tiếp theo sau đây ta sẽ thêm vào một số giả thiết để thuận tiện hơn cho các quy tắc tính toán khi thay các bao hàm thức bởi những đẳng thức. Ta cũng thấy rằng đẳng thức tất nhiên là đúng nếu các hàm nêu ở trên là khả vi liên tục, khi đó thực chất dưới vi phân suy rộng là đạo hàm thông thường. Nhưng mục đích ở đây là ta thêm vào một số điều kiện mà bao hàm cả trường hợp lồi (không khả vi). Xuất phát từ mục đích đó ta có định nghĩa khái niệm sau.
Định nghĩa 3.2.1. (Tính chính quy). Hàm f được gọi là chính quy tại
x nếu
(i) Đạo hàm theo hướng f0(x;v) tồn tại với ∀v ∈ X. (ii) f0(x;v) =f0(x;v) với ∀v ∈ X.
Sử dụng tính chính quy từ Mệnh đề 3.2.11 về tổng hữu hạn dưới vi phân suy rộng ta có.
Hệ quả 3.3. Nếu mỗi hàm fi là chính quy thì bao hàm thức trong Mệnh đề 3.2.11 trở thành đẳng thức, và ta cũng có đẳng thức đúng trong Hệ quả 3.2 nếu mỗi λi là không âm.
Sau đây ta có một số kết quả về tính chính quy của hàm. Mệnh đề 3.2.12. Cho f là Lipschitz địa phương tại x. (i) Nếu f là khả vi chặt tại x, thì f là chính quy tại x. (ii) Nếu f là lồi, thì f là chính quy tại x.
(iii) Một tổ hợp tuyến tính hữu hạn (bởi vô hướng không âm) của những hàm chính quy tại x là chính quy tại x.
(iv) Nếu f có một đạo hàm Gâteaux Df(x) và là chính quy tại x thì
∂f(x) = {Df(x)}.
Chứng minh. (i) Ta có (i) từ Mệnh đề 3.1.4(i) và Mệnh đề 3.1.7.
(ii) Để chứng minh (ii) ta sử dụng giả thiết hàm f là lồi nên tồn tại f0(x;v) và là hàm giá của dưới vi phân, theo Mệnh đề 3.1.8 ta suy ra rằng f0(x;v) =f0(x;v).
(iii) Ở đây ta cũng chứng minh cho trường hợp hai hàm f1 và f2. Rõ ràng khi f là chính quy, λ ≥ 0 thì ta có λf là chính quy. Từ đó ta có (f1+f2)0 = (f1+f2)0 với f1, f2 là chính quy tại x (tính tồn tại (f1+f2)0 là rõ ràng). Ta có
(f1 +f2)0 = f10+ f20 = f10 +f20 ≥ (f1 +f2)0. Hiển nhiên (f1 + f2)0 ≥(f1 +f2)0. Do đó, ta có (iii).
Khẳng định (iv) suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 3.1.4 (i).
Định lý 3.2.1. (Định lý giá trị trung bình Lebourg). Cho x, y là những
điểm trong X, và giả sử rằng f là Lipschitz trên một tập mở bao gồm
đoạn [x;y]. Khi đó tồn tại một điểm u ∈ (x, y) thỏa mãn
f(y)−f(x) ∈ {ξ(y −x)| ξ ∈ ∂f(u)}.
Chứng minh. Trước hết ta xét hàm g : [0; 1] →R với g(t) =f(x+t(y−
Thật vậy, rõ ràng g là hàm Lipschitz trên (0; 1). Vì max{∂g(t)(v)} = g0(t;v) = lim sup s→t λ↓0 g(s+λv)−g(s) λ = lim sup s→t λ↓0 f(x+ (s+λv)(y −x))−f(x+s(y −x)) λ ≤ lim sup y0→x+t(y−x) λ↓0 f(y0 +λv(y−x))−f(y0) λ = f0(x+t(y −x), v(y −x))
= max{∂f(x+t(y −x))(v(y −x))}
nên ∂g(t) ⊂∂f(x+ t(y −x))(y −x).
Bây giờ để chứng minh định lý ta xét hàm ϕ trên [0,1] được định nghĩa bởi
ϕ(t) = f(x+t(y−x)) +t[f(x)−f(y)].
Lưu ý rằng ϕ(0) =ϕ(1) = f(x). Do ϕ(t) là một hàm liên tục trên [0,1] nên tồn tại t0 ∈ [0,1] mà tại đó ϕ đạt được một cực tiểu hay cực đại địa phương. Theo Mệnh đề 3.2.10 ta có
0 ∈ ∂ϕ(t0) = f(x)−f(y) +∂f(x+t(y −x))(y −x). Điều này chứng tỏ rằng f(y)−f(x) ∈ ∂f(x+t(y −x))(y −x). Đặt u = x+t(y −x), u ∈ (x, y) ta có
f(y)−f(x) ∈ {ξ(y −x)| ξ ∈ ∂f(u)}. Định lý được chứng minh.
Sau đây ta thiết lập công thức tính dưới vi phân suy rộng cho hàm hợp.
địa phương tại x và h(x) ∈ Rn. Những hàm thành phần của h sẽ được kí hiệu hi(i = 1,2, ..., n). Khi đó mỗi hi là Lipschitz địa phương tại x và g là Lipschitz địa phương tại h(x): điều này kéo theo rằng f là Lipschitz địa phương tại x. Với quy ước đồng nhất (Rn)∗ với Rn thì một phần tử α của ∂g có thể được xem như một vectơ n - chiều: α = (α1, α2, ...., αn). Khi đó ta có các định lý đổi biến sau.
Định lý 3.2.2. (Chain Rule I)[8, Theorem 2.3.9] Cho f = g ◦h, trong đó h : X → Rn và g : Rn →R là các hàm Lipschitz địa phương tại x và
h(x) ∈ Rn. Khi đó ∂f(x) ⊂ co ( n X i=1 αiξi| ξi ∈ ∂hi(x), α ∈ ∂g(h(x)) ) ,
ở đó co kí hiệu bao lồi đóng - yếu∗. Đẳng thức xảy ra nếu một trong những giả thiết sau được thêm vào:
(i) g là chính quy tại h(x), mỗi hi là chính quy tại x, và mỗi phần tử α
của ∂g(h(x)) có các thành phần không âm; (ii) g là khả vi chặt tại h(x) và n = 1;
(iii) h khả vi chặt tại x và g là chính quy tại h(x).
Định lý 3.2.3. (Chain Rule II)[8, Theorem 2.3.10] Cho F là một ánh
xạ từ không gian Banach X vào không gian Banach Y, và cho g là một
hàm giá trị thực trên Y. Giả sử F là khả vi chặt tại x và g là Lipschitz địa phương tại F(x). Thì f = g ◦F là Lipschitz địa phương tại x, và ta có
∂f(x) ⊂ ∂g(F(x))◦DsF(x). (3.4)
Đẳng thức xảy ra nếu g (hay −g) là chính quy tại F(x), trong đó mà trường hợp f (hay −f) cũng chính quy tại x. Đẳng thức cũng xảy ra nếu
F ánh xạ mỗi lân cận của x tới một tập mà trù mật trong một lân cận
Nhận xét 3.8. Ý nghĩa trong công thức (3.4) là mỗi phần tử z của ∂f(x) có thể được biểu diễn như sự hợp thành của một ánh xạ ξ trong∂g(F(x)) và DsF(x) : z(v) = ξ(DsF(x)(v)) với ∀v ∈ X. Do đó có thể viết (3.4) trong dạng tương đương
∂f(x) ⊂ [DsF(x)]∗∂g(F(x)), ở đó DsF(x)∗ là toán tử liên hợp của DsF(x).
Mệnh đề 3.2.13. (Tích)[8, Proposition 2.3.13] Cho f1, f2 là những hàm Lipschitz địa phương tại x. Khi đó f1f2 là Lipschitz địa phương tại x và ta có
∂(f1f2)(x) ⊂ f2(x)∂f1(x) +f1(x)∂f2(x).
Nếu thêm vào f1(x) ≥ 0, f2(x) ≥ 0 và nếu f1, f2 là chính quy tại x, thì đẳng thức đúng và f1f2 là chính quy tại x.
Chứng minh. Cho g : R2 → R là hàm g(u1, u2) = u1.u2 và cho h : X → R2 là hàm: h(x) = [f1(x), f2(x)]. Với chú ý rằng f1f2 = g ◦h. Áp dụng Định lý (3.2.2) và điều kiện (i) trong Định lý ta có kết quả cần chứng minh.
Mệnh đề 3.2.14. (Thương)[8, Proposition 2.3.14] Cho f1, f2 là những hàm Lipschitz địa phương tại x, và giả sử f2(x) 6= 0. Khi đó f1/f2 là Lipschitz địa phương tại x và ta có
∂ f1 f2 (x) ⊂ f2(x)∂f1(x)−f1(x)∂f2(x) f22(x) .
Nếu thêm vào f1(x) ≥ 0, f2(x) > 0 và nếu f1 và −f2 là chính quy tại x