Nón pháp tuyến

Định nghĩa 4.1.1. (Ánh xạ đa trị). ChoX, Y là hai không gian Banach,

và cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đi từ X vào tập hợp gồm toàn bộ các tập

con của Y, kí hiệu 2Y. Khi đó ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y.

Như vậy, ở đây với mỗi x ∈ X, F(x) là một tập hợp con của Y. Ta

không loại trừ với một phần tử x ∈ X nào đó ta có F(x) là tập rỗng. Ta thường kí hiệu ánh xạ đa trị F từ X vào Y là F : X ⇒Y. Khi F là đơn trị ta thường kí hiệu là F := f : X → Y.

Định nghĩa 4.1.2. Miền hữu hiệu domF, miền ảnh rgeF, đồ thị gphF,

tập các không điểm kerF của ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y tương ứng được

xác định bởi các công thức:

domF := {x ∈ X| F(x) 6= ∅},

rgeF := y ∈ Y| ∃x ∈ X với y ∈ F(x) , gphF := (x, y) ∈ X ×Y| với y ∈ F(x) ,

Với X, Y là không gian Banach thì không gian tích X×Y là không gian Banach với chuẩn tổng tương ứng k(x, y)k := kxk+kyk.

Định nghĩa 4.1.3. Cho những tập Ω ⊂ X và Θ ⊂ Y, ta định nghĩa ảnh

của Θ qua ánh xạ F là

F(Ω) := y ∈ Y| ∃x ∈ Ω với y ∈ F(x) ,

và nghịch ảnh của Θ qua ánh xạ F là

F−1(Θ) := {x ∈ X| F(x)∩Θ 6= ∅}.

Ánh xạ ngược F−1 : Y ⇒X với F−1(y) := {x ∈ X| y ∈ F(x)}.

Một ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y là thuần nhất dương nếu 0 ∈ F(0) và

αF(x) ⊂ F(αx) với ∀x ∈ X và α > 0, hay tương đương khi đồ thị của

F là một nón trong X ×Y. Chuẩn của một ánh xạ thuần nhất dương F

được xác định bởi

kFk := supkyk | y ∈ F(x) và kxk ≤ 1 .

Rõ ràng ta có domF−1 = rgeF, rgeF−1 = domF và gphF−1 = {(y, x) ∈ Y ×X| (x, y) ∈ gphF}.

Định nghĩa 4.1.4. Cho ánh xạ đa trị F : X ⇒ X∗ giữa không gian

Banach X và không gian đối ngẫu X∗ của nó được trang bị tôpô yếu∗

ω∗. Kí hiệu

Lim sup x→x¯

F(x) := {x∗ ∈ X∗ : ∃xk →x, x¯ ∗k −→ω∗ x∗, x∗k ∈ F(xk),∀k ∈ N},

được dùng để chỉ giới hạn trên theo dãy theo nghĩa Painlevé-Kuratowski với tương ứng cho tôpô chuẩn của X và tôpô yếu∗ của X∗.

Cho Ω là một tập con khác rỗng của không gian Banach thực X. Tập Ω được gọi là chính thường nếu Ω 6= X. Theo đó các biểu diễn

tương ứng là kí hiệu của bao đóng, bao lồi, bao lồi đóng, biên và phần trong của Ω. Bao nón của Ω là

cone Ω := {αx ∈ X| α ≥ 0, x ∈ Ω}.

Kí hiệu cl∗ dùng để chỉ bao đóng tôpô yếu∗ của một tập trong không gian đối ngẫu.

Các kí hiệu x −→ϕ x¯ đối với một hàm ϕ : X →R và x−→Ω x đối với một tập Ω ⊂X tương ứng có nghĩa là x → x với ϕ(x) → ϕ(x) và x → x với x ∈ Ω.

Định nghĩa 4.1.5. (ε− vectơ pháp tuyến). Cho Ω là một tập con khác rỗng của X.

(i) Lấy x ∈ Ω và ε ≥ 0, ta định nghĩa tập các vectơ ε−pháp tuyến của

Ω tại x là: b Nε(¯x; Ω) := ( x∗ ∈ X∗ : lim sup u→Ωx hx∗, u −xi k u−x k 6 ε ) . (4.1)

Khi ε = 0, những phần tử của (4.1) được gọi là vectơ pháp tuyến Fréchet (Fréchet normal) và tập hợp chúng được kí hiệu là Nb(x; Ω), là nón tiền pháp tuyến (prenormal cone) (hay nón pháp tuyến Fréchet) của Ω tại x. Nếu x /∈ Ω ta đặt Nbε(x; Ω) := ∅ với mọi ε ≥0.

(ii) Lấy x¯ ∈ Ω, x∗ ∈ X∗ là một vectơ pháp tuyến qua giới hạn (

basic\limiting normal) của Ω tại x¯ nếu có dãy εk ↓ 0, xk −→Ω x¯ và

xk∗ ω

∗

−→ x∗ thỏa mãn xk∗ ∈ Nbεk(xk; Ω) với mọi k ∈ N. Tập hợp những vectơ pháp tuyến, kí hiệu N(¯x; Ω). Do đó

N(¯x,Ω) = Lim sup x→x¯

ε↓0

b

Nε(x,Ω) (4.2)

và được gọi là nón pháp tuyến qua giới hạn (limiting normal cone) (hay nón Mordukhovich) của Ω tại x¯, N(¯x; Ω) := ∅ với x /¯ ∈ Ω.

Nhận xét 4.9. Từ định nghĩa ta thấy rằng b

với mỗi Ω ⊂ X, x¯ ∈ Ω và ε ≥ 0. Quan sát thấy rằng nón pháp tuyến Fréchet Nb(.; Ω) và nón pháp tuyến Mordukhovich N(.; Ω) là không thay đổi với tương ứng cho chuẩn tương đương trên X trong khi tập những vectơ ε−pháp tuyến Nbε(.; Ω) phụ thuộc trên một chuẩn được đưa ra k.k

nếu ε > 0. Cũng thấy rằng với mỗi ε ≥0 tập (4.1) rõ ràng là lồi và đóng trong chuẩn tôpô của X∗ do vậy chúng là đóng yếu∗ trong X∗ khi X là phản xạ.

Ta cũng thấy rằng nón pháp tuyến Mordukhovich (4.2) có thể không lồi trong nhiều trường hợp đơn giản như khi ta cho

Ω := (x1, x2) ∈ R2| x2 ≥ −|x1| , ở đó

N((0,0); Ω) = {(v, v)\v 6 0} ∪ {(v,−v)| v ≥ 0}

trong khi Nb((0,0); Ω) = {0}. Điều này thể hiện rằng N(¯x; Ω) không thể là đối ngẫu (dual / polar) cho bất kì phép xấp xỉ tiếp tuyến (tangential approximation) của Ω tại x¯ trong không gian nền X, trong khi tính đối ngẫu luôn kéo theo tính lồi.

Mệnh đề 4.1.15. (ε−pháp tuyến cho tập lồi)[16, Proposition 1.3] Cho

Ω là tập lồi. Khi đó

b

Nε(¯x,Ω) :={x∗ ∈ X∗ : hx∗, x−x¯i 6 εkx−x¯k,∀x ∈ Ω}

với bất kì ε ≥ 0 và x¯ ∈ Ω. Đặc biệt, khi ε = 0 thì Nb(¯x,Ω) là nón pháp tuyến của giải tích lồi.

Chứng minh. Ta thấy rằng bao hàm thức “⊃” trong công thức trên rõ

ràng đúng cho một tập Ω tùy ý. Thật vậy nếu Ω có một phần tử x = ¯x thì hx∗,0i 6 0 và x∗ ∈ Nε(¯ˆ x,Ω). Nếu ∀x ∈ Ω, x 6= ¯x ta có: hx∗, x −x¯i 6 εkx−x¯k ⇒ limsup x−→Ω x¯ hx∗, x−x¯i kx−x¯k 6ε.

Nên theo định nghĩa của Nbε(¯x,Ω) thì x∗ ∈ Nbε(¯x,Ω).

⇒ {x∗ ∈ X∗ :hx∗, x−x¯i 6 εkx−x¯k,∀x ∈ Ω} ⊂ Nˆε(¯x,Ω). Ta chứng minh bao hàm thức ngược lại khi Ω là tập lồi.

Xét bất kì x∗ ∈ Nbε(¯x,Ω), cố định x∈ Ω. Vì tính lồi của Ω nên ta có xα := ¯x+ α(x−x)¯ ∈ Ω, ∀α ∈ [0,1].

Hơn nữa, cho α ↓ 0 khi đó xα →x, ta có

b Nε(¯x; Ω) := ( x∗ ∈ X∗ : lim sup x→Ωx¯ hx∗, xα−x¯i k xα−x¯ k 6ε ) . Lấy γ > 0, ta có hx∗, xα−x¯i k xα−x¯k 6 ε+γ, ⇒ hx∗, xα−x¯i 6 (ε+γ)k xα−x¯ k với α > 0 đủ nhỏ. Khi đó x∗ ∈ {x∗ ∈ X∗ : hx∗, x−x¯i 6εkx−x¯k,∀x ∈ Ω}. Suy ra b Nε(¯x,Ω) ⊂ {x∗ ∈ X∗ : hx∗, x−x¯i 6εkx−x¯k,∀x ∈ Ω}.

Định nghĩa 4.1.6. (Tính chính quy pháp tuyến của tập hợp). Một tập

Ω ⊂ X là chính quy tại x¯ ∈ Ω nếu N(¯x; Ω) = Nb(¯x; Ω).

Một ví dụ quan trọng về tính chính quy của tập đó là những tập Ω lồi địa phương tại x, tức là có một lân cận¯ U ⊂ X củax¯thỏa mãn Ω∩U là lồi.

Mệnh đề 4.1.16. (Tính chính quy của những tập lồi địa phương)[16, Proposition 1.5] Cho U là một lân cận của x¯ ∈ Ω ⊂ X thỏa mãn tập

Ω∩U là lồi. Khi đó Ω là chính quy tại x¯ với

Tiếp theo ta sẽ thiết lập hai biểu diễn đặc biệt của nón pháp tuyến Mordukhovich cho tập con đóng của không gian hữu hạn chiều X = Rn. Khi đó tất cả chuẩn trong không gian hữu hạn chiều là tương đương, ta sẽ luôn chọn chuẩn Euclide

kxk= q

x21 +...+x2

n trên Rn. Trong trường hợp này X∗ = X = Rn.

Cho một tập khác rỗng Ω ⊂ Rn, xét kết hợp hàm khoảng cách dist(x; Ω) := inf

u∈Ωkx−uk

và định nghĩa hình chiếu Euclide của x lên Ω là

Π(x; Ω) := {ω ∈ Ω| kx−ωk = dist(x; Ω)}.

Nếu Ω là đóng, tập Π(x; Ω) là khác rỗng với mỗi x ∈ Rn. Theo đó phần lý thuyết miêu tả nón Mordukhovich cho những tập con Ω ⊂Rn là đóng địa phương trong lân cận x. Điều đó có nghĩa là có một lân cận¯ U của ¯

x mà Ω∩U là đóng.

Định lý 4.1.1. (Nón pháp tuyến Mordukhovich trong không gian hữu hạn chiều). Cho Ω ⊂ Rn là đóng địa phương quanh x¯ ∈ Ω. Theo đó những biểu diễn sau đúng

N(¯x; Ω) = Lim sup x→x¯ b N(x; Ω), (4.3) N(¯x; Ω) = Lim sup x→x¯ [cone (x−Π (x; Ω))]. (4.4)

Chứng minh. Từ định nghĩa (4.2) nón pháp tuyến Mordukhovich cho

ε = 0 với những tập đóng địa phương trong không gian hữu hạn chiều thì bao hàm thức “⊃” trong (4.3) là rõ ràng. Ta chứng minh bao hàm thức ngược lại.

Cố định x∗ ∈ N(¯x; Ω) và theo Định nghĩa 4.1.5(ii) có dãy εk ↓ 0, xk → x¯ và x∗k → x∗ thỏa mãn xk ∈ Ω và x∗k ∈ Nbεk(xk; Ω) với mọi k ∈ N.

Mà ta biết rằng X = X∗ = Rn và Ω là đóng địa phương trong lân cận x¯ với mỗi k = 1,2, .... Ta xét dạng xk + αx∗k với α > 0 và chọn ωk ∈ Π(xk + αx∗k; Ω) từ hình chiếu Euclide. Do cách chọn ωk ta có bất đẳng thức

kxk +αx∗k −ωkk2 6α2kx∗kk2, và do chuẩn là Euclide

kxk +αx∗k−ωkk2 = kxk −ωkk2 + 2αhx∗k, xk −ωki+α2kx∗kk2. Điều này kéo theo thiết lập sau

kxk −ωkk2 6 2αhx∗k, ωk −xki với bất kì α > 0. (4.5) Sử dụng tính hội tụ của ωk → xk khi α ↓ 0 và theo định nghĩa củaε−véc tơ pháp tuyến x∗k ∈ Nbεk(xk; Ω) ta tìm được một dãy những số dương α = αk theo đó mà

hx∗k, ωk−xki 6 2kkωk −xkk với mỗi k ∈ N. Từ đây có

kxk −ωkk 64αkεk bởi (4.5); do đó ωk → x¯ khi k → ∞. Hơn nữa, lấy

ωk∗ := x∗k + 1

αk(xk −ωk), ta có kωk∗ −x∗kk ≤ 4εk và ωk∗ → x∗ khi k → ∞.

Để khẳng định(4.3), phần còn lại ta phải chứng tỏ rằngωk∗ ∈ Nb(ωk; Ω) với mọi k. Thật vậy, với mỗi x cố định thuộc Ω ta có

0 6 kxk +αkx∗k−xk2 − kxk +αkx∗k −ωkk2

= hαkx∗k +xk −x, αkx∗k +xk −ωki +hαkx∗k +xk −x, ωk −xi − hαkx∗k +xk −ωk, x −ωki − hαkx∗k+ xk −ωk, αkx∗k +xk−xi

do chuẩn ở đây là chuẩn Euclide. Nên kéo theo rằng

hωk∗, x−ωki 6 1

2αkkx−ωkk2, ∀x ∈ Ω,

mà từ đó rõ ràng là ω∗k ∈ Nb(ωk; Ω) bởi Định nghĩa 4.1.5(i). Vì vậy, ta đạt được biểu diễn (4.3) của nón pháp tuyến Mordukhovich.

Để chứng minh biểu diễn (4.4), nó là đủ để thể hiện rằng Lim sup x→x¯ b N(x; Ω) = Lim sup x→x¯ [cone(x−Π(x; Ω))]. Đầu tiên ta chứng minh bao hàm thức

Lim sup x→x¯ b N(x; Ω) ⊂ Lim sup x→x¯ [cone(x−Π(x; Ω))] với bất kì x ∈ Ω. (4.6) Lấy x ∈ Ω và x∗ ∈ Nb(x; Ω), ta đặt xk := x+ k1x∗ và chọn ωk ∈ Π(xk; Ω) với mỗi k ∈ N. Điều này rõ ràng tương đương với

0 6kxk −vk2 − kxk −ωkk2

= hxk −v, xk −ωki+hxk −v, ωk −vi − hxk −ωk, v−ωki − hxk−ωk, xk−vi

= −2hxk −ωk, v−ωki+kv−ωkk2 với mọi v ∈ Ω,

mà từ tính đặc trưng của phép chiếu Euclide ωk ∈ Π(xk,Ω) nếu và chỉ nếu với mọi v ∈ Ω có

hxk−ωk, ν −ωki 6 1

2kν −ωkk2. Lấy v = x và sử dụng định nghĩa của xk ta có

kx−ωkk2 + 1 k hx∗, x−ωki 6 1 2kx−ωkk2. Từ đó x∗ ∈ Nb(x; Ω) và bất đẳng thức sau cùng cho ta kkx−ωkk 6 2hx ∗, ωk −xi kx−ωkk →0 khi k → ∞, và do đó k(xk −ωk) =x∗ +k(x−ωk) →x∗ khi k → ∞.

Vì vậy ta có (4.6) kéo theo bao hàm thức “⊂” trong (4.4) bởi việc sử dụng giới hạn trên Painlevé - Kuratowski khi x →x¯ và sử dụng (4.5).

Phần còn lại ta cần chứng minh bao hàm thức ngược lại trong (4.4). Đặt

Π−1(x; Ω) := {z ∈ X|x ∈ Π(z; Ω)}

cho Ω tại x ∈ Ω. Theo đó từ tính đặc trưng của phép chiếu Euclide ở trên và định nghĩa của nón Nb(x; Ω) ta có

coneΠ−1(x; Ω)−x ⊂ Nb(x; Ω) với bất kì x ∈ Ω,

mà điều này dẫn đến bao hàm thức “⊃” trong (4.4) bởi việc sử dụng giới hạn trên Painlevé - Kuratowski khi x −→Ω x¯ và sử dụng (4.3).