D. MỘT SỐ BÀI TẬP LUYỆN THấM
7. Chứng minh cỏc đường thẳng đồng quy
- Áp dụng tớnh chất cỏc đường đồng quy trong tam giỏc.
- Chứng minh cỏc đường thẳng cựng đi qua một điểm: Ta chỉ ra hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm và chứng minh đường thẳng cũn lại đi qua điểm đú.
- Dựng định lý đảo của định lý Talet.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1. Cho một nửa lục giỏc đều ABCD nội tiếp trong nửa đường trũn (O; R) . Hai tiếp tuyến tại B và D cắt nhau ở T.
a) Chứng minh rằng OT//AB. (gúc BAD = gúc TOD)
b) Chứng minh ba điểm O, C, T thẳng hàng. (phõn giỏc BOD; song song với AB)
c) Tớnh chu vi và diện tớch của tam giỏc TBD theo R. (P = 3 3R; S =
23R 3 3R 3
4 )
d) Tớnh theo R diện tớch giới hạn bởi hai cạnh TB, TD và cung BCD. (S = R2 3 3 π
−
ữ
VD2. Cho nửa đường tõm O đường kớnh AB = 2R, M là trung điểm AO. Cỏc đường vuụng gúc với AB tại M và O cắt nửa đường trũn tại D và C.
a) Tớnh AD, AC, BD và DM theo R. (AD = R; AC = R 2 ; BD = R 3; DM = R 3 4 )
b) Tớnh cỏc gúc của tứ giỏc ABCD. (ABD = 300; ABC = 450; BCD = 1200; ADC = 1350)
c) Gọi H là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng IH vuụng gúc với AB. (AC, BD là cỏc đường cao của tam giỏc IAB)
VD3. Cho tam giỏc ABC đều cạnh a. Kộo dài BC một đoạn CM = a.
a) Tớnh cỏc gúc của tam giỏc ACM. (ACM = 1020; CAM = CMA = 300)
b) Chứng minh Am vuụng gúc với AB. (MAB = 900)
c) Kộo dài CA một đoạn AN = a và kộo dài AB một đoạn BP = a. Chứng tỏ tam giỏc MNP đều. (tgMCN = tgNAP = tgPBM)
C. MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Cho hỡnh vuụng ABCD. Lấy điểm M trờn đường chộo BD. Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu của M lờn AB và AD.
a) Chứng tỏ: CF = DE; CF vuụng gúc với DE. Từ đú tỡm quỹ tớch giao điểm N của CF và DE. (tgCFD = tgDAE; quỹ tớch N là ẳ đường trũn - cung trũn DNO cú đường kớnh CD)
b) Chứng tỏ: CM = EF và CM ⊥EF. (tgCKM = tgFME, K là giao của FM và CB)
c) Chứng minh rằng cỏc đường thẳng CM, BF, DE đồng quy. (CM, ED, FB là ba đường cao của tam giỏc CEF)
2. Cho tam giỏc ABC vuụng ở A. Đường trũn qua tõm O qua A tiếp xỳc với BC tại B và đường trũn tõm I qua A tiếp xỳc với BC tại C.
a) Chứng minh hai đường trũn (O) và (I) tiếp xỳc nhau tại A. (tgOAB; tgIAC cõn; OAB + CAI + BAC = 1800; O, I, A thẳng hàng)
b) Từ O kẻ đường vuụng gúc với AB và từ I kẻ đường vuụng gúc với AC. Chứng minh chỳng cắt nhau tại trung điểm M của BC. (MA = MB = MC)
c) Chứng minh MO vuụng gúc với MI. (OMI = 900)
d) Kộo dài BA cắt đường trũn tõm I ở P. Chứng minh C, P, I thẳng hàng. (tớnh chất gúc nội tiếp hoặc PIA + AIC = 1800)
3. Cho hai đường trũn (O) , (O’) cắt nhau tại A và B sao cho gúc OAO’ bằng 900. Qua A kẻ cỏt tuyến MAM’ vuụng gúc với AP trong đú P là trung điểm của OO’. M, M’ theo thứ tự là giao điểm của cỏt tuyến với hai đường trũn (O) ; (O’) . Chứng minh:
a) AM = AM’. (A là trung điểm của DC; OC, O’D vuụng gúc với MM’)
c) BM vuụng gúc với BM’. (AB = AM’; t/c trung tuyến tam giỏc vuụng)
Chủ đề: CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG HỆ THỨC HèNH HỌC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Tam giỏc đồng dạng - Khỏi niệm: A A '; B B'; C C' ABC A 'B'C' khi AB AC BC A'B' A 'C' B'C' ∠ = ∠ ∠ = ∠ ∠ = ∠ ∆ ∆ = = :
- Cỏc trường hợp đồng dạng của hai tam giỏc: c – c – c; c – g – c; g – g.
- Cỏc trường hợp đồng dạng của hai tam giỏc vuụng: gúc nhọn; hai cạnh gúc vuụng; cạnh huyền - cạnh gúc vuụng…
* Tớnh chất: Hai tam giỏc đồng dạng thỡ tỉ số hai đường cao, hai đường phõn giỏc, hai đường trung tuyến tương ứng, hai chu vi bằng tỉ số đồng dạng; tỉ số hai diện tớch bằng bỡnh phương tỉ số đồng dạng.