D. MỘT SỐ BÀI TẬP LUYỆN THấM
2. Phương phỏp chứng minh hệ thức hỡnh học
- Dựng định lớ Talet, tớnh chất đường phõn giỏc, tam giỏc đồng dạng, cỏc hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng, …
Giả sử cần chứng minh MA. MB = MC. MD
- Chứng minh hai ∆MAC và ∆MDB đồng dạng hoặc hai ∆MAD và ∆MCB.
- Trong trường hợp 5 điểm đú cựng nằm trờn một đường thẳng thỡ cần chứng minh cỏc tớch trờn cựng bằng tớch thứ ba.
Nếu cần chứng minh MT2 = MA. MB thỡ chứng minh hai tam giỏc MTA và MBT đồng dạng hoặc so sỏnh với tớch thứ ba.
Ngồi ra cần chỳ ý đến việc sử dụng cỏc hệ thức trong tam giỏc vuụng; phương tớch của một điểm với đường trũn.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Từ đỉnh A kẻ cỏt tuyến bất kỡ cắt đường chộo BD tại E, cắt cạnh BC tại F và cắt cạnh CD tại G. Chứng minh:
a) Cỏc ∆DAE và BFE đồng dạng. b) Cỏc ∆DGE và BAE đồng dạng. c) AE2 = EF. EG. d) Tớch BF. DG khụng đổi khi cỏt tuyến qua A thay đổi.
VD2. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Từ C kẻ CM vuụng gúc với AB, CN vuụng gúc với AD. Giả sử AC > BD. Chứng minh rằng: AB. AM + AD. AN = AC2.
C. MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Cho tam giỏc ABC cú ba gúc đều nhọn. Cỏc đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng qua H vuụng gúc với MH cắt AB tại P, cắt AC tại Q. Chứng minh:
a) ∆AHP ~ CMH∆ b) ∆QHA ~ HMB∆ c) HP = HQ.
2. Cho tam giỏc đều ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy P trờn cạnh AB, Q trờn cạnh AC sao cho gúc PMQ bằng 600.
a) Chứng minh ∆MBP ~ QCM∆ . Từ đú suy ra PB. CQ cú giỏ trị khụng đổi. b) Kẻ MH vuụng gúc với PQ, chứng minh ∆MBP ~ QMP; QCM ~ QMP∆ ∆ ∆ .
c) Chứng minh độ dài MH khụng đổi khi P, Q chạy trờn AB, AC và vẫn thỏa mĩn điều kiện gúc PMQ bằng 600.
3. Cho tam giỏc ABC cú BC = a; AC = b; AB = c (b > c) và cỏc phõn giỏc BD, CE. a) Tớnh độ dài CD, BE rồi suy ra CD > BE.
Chủ đề: CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Phương phỏp chứng minh
- Chứng minh bốn đỉnh của tứ giỏc cựng cỏch đều một điểm. - Chứng minh tứ giỏc cú hai gúc đối diện bự nhau.
- Chứng minh hai đỉnh cựng nhỡn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm cũn lại hai gúc bằng nhau. - Chứng minh tổng của gúc ngồi tại một đỉnh với gúc trong đối diện bự nhau.
- Nếu MA. MB = MC. MD hoặc NA. ND = NC. NB thỡ tứ giỏc ABCD nột tiếp. (Trong đú M AB CD; N AD= ∩ = ∩BC)
- Nếu PA. PC = PB. PD thỡ tứ giỏc ABCD nội tiếp. (Trong đú P AC= ∩BD) - Chứng minh tứ giỏc đú là hỡnh thang cõn; hỡnh chữ nhật; hỡnh vuụng; …
Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm cựng thuộc một đường trũn ta cú thể chứng minh lần lượt 4 điểm một lỳc. Song cần chỳ ý tớnh chất “Qua 3 điểm khụng thẳng hàng xỏc định duy nhất một đường trũn”
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1. Cho nửa đường trũn (O) đường kớnh AB, trờn đú cú điểm M. Trờn đường kớnh AB lấy điểm C sao cho AC < CB. Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By tại A và B với (O) . Đường thẳng qua M vuụng gúc với MC cắt Ax ở P, đường thẳng qua C vuụng gúc với CP cắt By tại Q. Gọi D là giao điểm của CQ và BM. Chứng minh:
a) Cỏc tứ giỏc ACMP, CDME nội tiếp. b) AB//DE.
c) Ba điểm P, M, Q thẳng hàng.
VD2. Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn đường kớnh AA’, đường cao AM.
a) Hai đường cao BN, CP cắt nhau tại H và PN cắt AA’ tại S. Chứng minh cỏc tứ giỏc BPNC và A’SNC nội tiếp.
b) Chứng minh PN vuụng gúc với AA’.
C. MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Cho (O; R) và dõy cung AB ( AB < 2R) . Trờn tia AB lấy điểm C sao cho AC > AB. Từ C kẻ hai tiếp tuyến với đường trũn tại P và K. Gọi I là trung điểm của AB.
a) Chứng minh tứ giỏc CPIK nội tiếp.
b) Chứng minh hai tam giỏc ACP và PCB đồng dạng. Từ đú suy ra CP2 = CB. CA.
c) Gọi H là trực tõm của tam giỏc CPK, tớnh PH theo R.
d) Giả sử PA//CK, chứng minh tia đối của tia BK là tia phõn giỏc của gúc CBP.
2. Cho tam giỏc ABC cõn tại A, một cung trũn phớa trong tam giỏc tiếp xỳc với AB, AC tại B và C. Từ điểm D trờn cung BC kẻ cỏc đường vuụng gúc DE với BC, DF với AC và DG với AB. Gọi M là giao điểm của BD và GE, N là giao điểm của EF và DC. Chứng minh:
a) Cỏc tứ giỏc BEDG và CEDF nội tiếp. b) DE2 = DF. DG
c) ◊EMDN nội tiếp, suy ra MN vuụng gúc với DE. d) Nếu GB = GE thỡ EF = EC. 3. Từ điểm M trờn đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC, ta kẻ cỏc đường vuụng gúc hạ xuống ba cạnh của tam giỏc MH AB; MI BC; MK⊥ ⊥ ⊥AC. Chứng minh:
a) Ba tứ giỏc AHMK, HBIM, ICKM nội tiếp.
Chủ đề: MỘT SỐ BÀI TỐN HèNH HỌC TỔNG HỢP Baứi 01: Cho (O) , tửứ moọt ủieồm A naốm ngoaứi ủửụứng troứn (O) , veừ hai tt AB vaứ AC vụựi ủửụứng troứn. Keỷ dãy CD//AB. Noỏi AD caột ủửụứng troứn (O) tái E.
1. C/m ABOC noọi tieỏp. 2. Chửựng toỷ AB2 = AE.AD.
3. C/m goực AOC ACBã = ã vaứ ∆BDC cãn. 4. CE keựo daứi caột AB ụỷ I. C/m IA = IB. Giaỷi:
1/ C/m: ABOC noọi tieỏp:(HS tửù c/m) 2/ C/m: AB2 = AE.AD.
Chửựng minh ∆ADB ∽ ∆ABE , vỡ coự Eà chung. Sủ ABEã = 21sủ cung BEằ (goực giửừa tt vaứ 1 dãy) Sủ BDEã =
2 1
sủ BEằ (goực noọi tieỏp chaộn BEằ ) 3/ C/m AOC ACBã = ã
* Do ABOC noọi tieỏp⇒ AOC ABCã =ã (cuứng chaộn cung AC) ; vỡ AC = AB (t/c 2 tt caột
nhau)
⇒∆ABC cãn ụỷ A⇒ABC ACBã =ã ⇒AOC ACBã = ã
* sủ ACBã =
2 1
sủ BECẳ (goực giửừa tt vaứ 1 dãy) ; sủ BDCã =
2 1
sủ BECẳ (goực noọi tieỏp)
⇒ BDCã = ACBã maứ ABCã = BDCã (do CD//AB) ⇒ BDC BCDã =ã ⇒∆BDC cãn ụỷ B. 4/ Ta coự I$ chung; IBE ECBã = ã (goực giửừa tt vaứ 1 dãy; goực noọi tieỏp chaộn cung BE)
⇒∆IBE∽∆ICB⇒IEIB = ICIB ⇒ IB2 = IE.IC
Xeựt ∆IAE vaứ ∆ICA coự I$ chung; sủ ãIAE = 21sủ (DB BEằ −ằ ) maứ ∆BDC cãn ụỷ B
⇒ DB BCằ =ằ ⇒sủãIAE = sủ (BC-BE) = sủ CE= sủ ECAằ ằ 1 ằ ã 2
⇒∆IAE ∽∆ICA⇒ICIA = IAIE ⇒ IA2 = IE.IC Tửứ vaứ⇒ IA2 = IB2 ⇒ IA = IB
Baứi 02: Cho ∆ABC (AB = AC) ; BC = 6; ẹửụứng cao AH = 4 (cuứng ủụn vũ ủoọ daứi) , noọi tieỏp trong (O) ủửụứng kớnh AA’.
1. Tớnh baựn kớnh cuỷa (O) .
2. Keỷ ủửụứng kớnh CC’. Tửự giaực ACA’C’ laứ hỡnh gỡ? 3. Keỷ AK⊥CC’. C/m AKHC laứ hỡnh thang cãn.
4. Quay ∆ABC moọt voứng quanh trúc AH. Tớnh Sxq cuỷa hỡnh ủửụùc táo ra. Giaỷi:
1/Tớnh OA:ta coự BC = 6; ủửụứng cao AH = 4 ⇒ AB = 5;
∆ABA’ vuõng ụỷ B⇒BH2 = AH.A’H
⇒A’H = AH BH2 = 4 9 ⇒AA’ = AH + HA’ = 4 25 ⇒AO = 8 25 2/ACA’C’ laứ hỡnh gỡ? H K C' C A' A O B Hỡnh 02 I E D C B O A Hỡnh 01
Do O laứ trung ủieồm AA’ vaứ CC’⇒ACA’C’ laứ Hỡnh bỡnh haứnh. Vỡ AA’ = CC’(ủửụứng kớnh cuỷa ủửụứng troứn)
⇒AC’A’C laứ hỡnh chửừ nhaọt. 3/ C/m: AKHC laứ thang cãn:
Ta coự AKC =AHC 1vã ã = ⇒AKHC noọi tieỏp.⇒ HKC HACã =ã (cuứng chaộn cung HC) maứ
∆OAC cãn ụỷ O ⇒ OAC OCAã =ã ⇒HKC HCAã =ã ⇒HK//AC⇒AKHC laứ hỡnh thang.
Ta lái coự: KAH KCH ã = ã (cuứng chaộn cung KH)
⇒ KAO OAC KCH OCAã +ã = ã +ã
⇒Hỡnh thang AKHC coự hai goực ụỷ ủaựy baống nhau. Vaọy AKHC laứ thang cãn.
4/ Khi Quay ∆ ABC quanh trúc AH thỡ hỡnh ủửụùc sinh ra laứ hỡnh noựn. Trong ủoự BH laứ baựn kớnh ủaựy; AB laứ ủửụứng sinh; AH laứ ủửụứng cao hỡnh noựn.
Sxq = 12p.d = 12.2π.BH.AB = 15π V = 3 1 B.h = 3 1 πBH2.AH = 12π
Baứi 03: Cho(O) vaứ hai ủửụứng kớnh AB; CD vuõng goực vụựi nhau. Gói I laứ trung ủieồm OA. Qua I veừ dãy MQ⊥OA (M∈ cung AC ; Q∈ AD) . ẹửụứng thaỳng vuõng goực vụựi MQ tái M caột (O) tái P.
1. C/m: a/ PMIO laứ thang vuõng. b/ P; Q; O thaỳng haứng. 2. Gói S laứ Giao ủieồm cuỷa AP vụựi CQ. Tớnh goực CSP. 3. Gói H laứ giao ủieồm cuỷa AP vụựi MQ. Cmr:
a/ MH.MQ = MP2. b/ MP laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa ủửụứng troứn ngoái tieỏp
∆QHP.
Giaỷi:
1/ a/ C/m MPOI laứ thang vuõng. Vỡ OI ⊥ MI; CO ⊥ IO(gt)
⇒ CO // MI maứ MP⊥CO ⇒ MP ⊥ MI
⇒ MP // OI ⇒ MPOI laứ hỡnh thang vuõng. b/ C/m: P; Q; O thaỳng haứng:
Do MPOI laứ thang vuõng
⇒ IMP 1v ã = hay QMP 1vã =
⇒ QP laứ ủửụứng kớnh cuỷa (O) ⇒ Q; O; P thaỳng haứng. 2/ Tớnh goực CSP:
Ta coự: sủCSPã =
2 1
sủ(AQ CPằ +ằ ) (goực coự ủổnh naốm trong ủ.troứn) maứ CP CMằ = ẳ vaứ CM QD ẳ = ằ ⇒ CP QD ằ = ằ ⇒ sủCSPã = 2 1 sủ(AQ CPằ +ằ ) = 2 1 sủ(AQ QDằ +ằ ) = 2 1 sủAD = 450. Vaọy CSPã = 450.
3/ a/ Xeựt hai tam giaực vuõng: MPQ vaứ MHP coự: Vỡ ∆ AOM cãn ụỷ O; I laứ trung ủieồm
AO; MI ⊥ AO ⇒ ∆MAO laứ tam giaực cãn ụỷ M ⇒ ∆AMO laứ tam giaực ủều ⇒ ẳ 0
AM 60= vaứ S J H M P Q I D C O A B Hỡnh 03
ẳ ằ 0
MC CP 30= = ⇒ MP 60ằ = 0. ⇒ AM MPẳ =ằ ⇒ MPH MQP ã = ã (goực noọi tieỏp chaộn hai cung baống nhau.) ⇒∆MHP ∽∆MQP ⇒ ủpcm.
b/ C/m MP laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa ủửụứng troứn ngoái tieỏp ∆ QHP.
Gói J laứ tãm ủtroứn ngoái tieỏp ∆QHP. Do AQ MP 60ằ =ằ = 0⇒ ∆HQP cãn ụỷ H vaứ
ã 0
QHP 120= ⇒ J naốm trẽn ủửụứng thaỳng HO ⇒ ∆HPJ laứ tam giaực ủều maứ HPM 30ã = 0⇒
ã ã ã 0
MPH HPJ MPJ 90+ = = hay JP⊥ MP tái P naốm trẽn ủửụứng troứn ngoái tieỏp ∆HPQ ⇒ ủpcm.
Baứi 04: Cho (O;R) vaứ moọt caựt tuyeỏn d khõng ủi qua tãm O.Tửứ moọt ủieồm M trẽn d vaứ ụỷ ngoaứi (O) ta keỷ hai tieỏp tuyeỏn MA vaứ MB vụựi ủửụứmg troứn; BO keựo daứi caột (O) tái ủieồm thửự hai laứ C.Gói H laứ chãn ủửụứng vuõng goực há tửứ O xuoỏng d.ẹửụứng thaỳng vuõng goực vụựi BC tái O caột AM tái D.
1. C/m A; O; H; M; B cuứng naốm trẽn 1 ủửụứng troứn. 2. C/m AC//MO vaứ MD = OD.
3. ẹửụứng thaỳng OM caột (O) tái E vaứ F. Chửựng toỷ MA2 = ME.MF
4. Xaực ủũnh vũ trớ cuỷa ủieồm M trẽn d ủeồ ∆MAB laứ tam giaực ủều.Tớnh dieọn tớch phần táo bụỷi hai tt vụựi ủửụứng troứn trong trửụứng hụùp naứy.
Giaỷi:
C/m: MD = OD. Do OD // MB (cuứng vuõng goực vụựi CB) ⇒ DOM OMBã = ã (so le) maứ
ã ã
OMB OMD= (cmt) ⇒ DOM DMOã = ã ⇒ ∆DOM cãn ụỷ D ⇒ủpcm.
3/ C/m: MA2 = ME.MF: Xeựt hai tam giaực AEM vaứ MAF coự goực M chung. SủEAMã = 12sủAEằ (goực giửừa tia tieỏp tuyeỏn vaứ dãy)
Sủ AFMã =
2 1
sủAEằ (goực noọi tieỏp chaộn cungAE) ⇒ EAM AFM ã = ã
⇒∆MAE ∽∆MFA ⇒ủpcm.
4/ Vỡ AMB laứ tam giaực ủều⇒ ã 0
OMA 30= ⇒ OM = 2OA = 2OB = 2R
Gói dieọn tớch cần tớnh laứ S. Ta coự S = S OAMB − Squát AOB Ta coự AB = AM = OM2 −OA2 = R 3 ⇒ S AMBO = 2 1 BA.OM = 2 1 .2R. R 3 = R2 3 ⇒ Squát = 360 120 . 2 R π = 3 2 R π ⇒ S = R2 3 - 3 2 R π = ( ) 3 3 3 −π R2
1/ C minh OBM OAM OHM 1vã = ã =ã =
2/C/m AC // OM: Do MA vaứ MB laứ hai tieỏp
tuyeỏn caột nhau ⇒ BOM OMB ã = ã vaứ MA = MB
⇒ MO laứ ủửụứng trung trửùc cuỷa AB
⇒ MO ⊥ AB.
Maứ BAC 1v ã = (goực noọi tieỏp chaộn nửỷa ủửụứng troứn ⇒ CA ⊥ AB. Vaọy AC//MO.
d H C E O F B A D Hỡnh 04 554
Baứi 05: Cho nửỷa (O) ủửụứng kớnh AB, veừ caực tieỏp tuyeỏn Ax vaứ By cuứng phớa vụựi nửỷa ủửụứng troứn. Gói M laứ ủieồm chớnh giửừa cung AB vaứ N laứ moọt ủieồm baỏt kyứ trẽn ủoán AO. ẹửụứng thaỳng vuõng goực vụựi MN tái M lần lửụùt caột Ax vaứ By ụỷ D vaứ C.
1. C/m AMN BMCã = ã . 2. C/m∆ANM = ∆BMC.
3. DN caột AM tái E vaứ CN caột MB ụỷ F. C/m FE ⊥ Ax. 4. Chửựng toỷ M cuừng laứ trung ủieồm DC.
Giaỷi:
1/ C/m AMN BMAã =ã .
Ta coự AMB 1vã = (goực noọi tieỏp chaộn nửỷa ủửụứng troứn) vaứ do NM ⊥ DC ⇒ NMC 1vã = Vaọy: ã ã ã ã ã AMB AMN NMB NMB BMC 1v= + = + = ⇒ ã ã AMN BMA= . 2/ C/m ∆ANM = ∆BCM: Do AM MB 90ẳ =ẳ = 0⇒ AM = MB vaứ ã ã 0
MAN MBA 45= = (∆AMB vuõng cãn ụỷ M)
⇒ MAN MBC 45ã =ã = 0.
Maởt khaực ta coự: CMB AMNã = ã (cmt)
⇒∆ANM = ∆BCM (g - c - g) 3/C/m EF⊥Ax.
Do tửự giaực ADMN noọi tieỏp ⇒ AMN ANDã =ã (cuứng chaộn ANằ ) Do tửự giaực MNBC noọi tieỏp ⇒ BMC CNBã = ã (cuứng chaộn CBằ ) Maứ AMN BMC ã = ã (chửựng minh cãu 1)
Ta lái coự AND DNA 1vã +ã = ⇒CNB DNA 1vã +ã = ⇒ENC 1v ã = maứ EMF 1vã = Suy ra tửự giaực EMFN noọi tieỏp ⇒ EMN EFN ã =ã (cuứng chaộn NEằ ) ⇒ EFN FNBã =ã ⇒ EF // AB maứ AB ⊥ Ax ⇒ EF ⊥ Ax.
4/C/m M cuừng laứ trung ủieồm DC:
Ta coự ã ã 0
NCM MBN 45= = .(cuứng chaộn MNẳ ) .
⇒∆NMC vuõng cãn ụỷ M ⇒ MN = NC. Vaứ ∆NDC vuõng cãn ụỷ N ⇒ NDM 45ã = 0.
⇒∆MND vuõng cãn ụỷ M ⇒ MD = MN ⇒ MC = DM ⇒ ủpcm.
Baứi 06: Tửứ moọt ủieồm M naốm ngoaứi (O) keỷ hai tieỏp tuyeỏn MA vaứ MB vụựi ủửụứng troứn. Trẽn cung nhoỷ AB laỏy ủieồm C vaứ keỷ CD⊥AB; CE⊥MA; CF⊥MB. Gói I vaứ K laứ giao ủieồm cuỷa AC vụựi DE vaứ cuỷa BC vụựi DF.
1. C/m AECD noọi tieỏp. 2. C/m:CD2 = CE.CF
3. Cmr: Tia ủoỏi cuỷa tia CD laứ phãn giaực cuỷa goực FCE. 4. C/m IK //AB.
Giaỷi: 1/C/m: AECD noọi tieỏp: (duứng PP toồng hai goực ủoỏi) 2/C/m: CD2 = CE.CF.
Xeựt hai tam giaực CDF vaứ CDE coự:
- Do AECD noọi tieỏp ⇒ CED CADã = ã (cuứng chaộn CDằ )
x y E F D C M O A B N Hỡnh 05 ã ã AND CNB ⇒ = x K I D F E M O B A C Hỡnh 06
- Do BFCD noọi tieỏp ⇒CDF CBFã =ã (cuứng chaộn CFằ ) Maứ sủCADã =
2 1
sủBCằ (goực noọi tieỏp chaộn BCằ )
Vaứ sủCBFã = 21sủBCằ (goực giửừa tieỏp tuyeỏn vaứ dãy) ⇒ FDC DECã = ã
Do AECD noọi tieỏp vaứ BFCD noọi tieỏp ⇒ DCE DAE DCF DBF 2vã +ã =ã +ã = . Maứ MBD DAMã =ã (t/c hai tt caột nhau) ⇒ DCF DCEã = ã .
Tửứ vaứ suy ra ∆CDF ∽∆CED ⇒ủpcm.
3/ Gói tia ủoỏi cuỷa tia CD laứ Cx, Ta coự goực xCF 180ã = o−FCDã
vaứ xCE 180ã = o−ECDã . Maứ theo cmt coự: FCD ECDã = ã ⇒ xCF xCEã =ã . ⇒ủpcm. 4/ C/m: IK // AB.
Ta coự CBF FDC DACã =ã = ã (cmt)
Do ADCE noọi tieỏp ⇒ CDE CAEã = ã (cuứng chaộn CEằ )
ã ã
ABC CAE+ (goực noọi tieỏp vaứ goực giửừa tt… cuứng chaộn 1 cung) ⇒ CBA CDIã = ã . Trong ∆CBA coự BCA CBA CAD 2vã +ã +ã = hay KCI KDI 2vã +ã =
⇒ DKCI noọi tieỏp ⇒ KDC KICã =ã (cuứng chaộn CKằ ) ⇒ KIC BACã = ã ⇒ KI // AB.
Baứi 07: Cho (O; R) ủửụứng kớnh AB, Keỷ tieỏp tuyeỏn Ax vaứ trẽn Ax laỏy ủieồm P sao cho P > R. Tửứ P keỷ tieỏp tuyeỏn PM vụựi ủửụứng troứn.
1. C/m BM // OP.
2. ẹửụứng vuõng goực vụựi AB tái O caột tia BM tái N. C/m OBPN laứ hỡnh bỡnh haứnh. 3. AN caột OP tái K; PM caột ON tái I; PN vaứ OM keựo daứi caột nhau ụỷ J. C/m I; J; K thaỳng
haứng. Giaỷi:
1/ C/m:BM//OP:
Ta coự MB ⊥ AM (goực noọi tieỏp chaộn nửỷa ủtroứn) vaứ OP⊥ AM (t/c hai tt caột nhau)
⇒ MB//OP.
2/ C/m: OBNP laứ hỡnh bỡnh haứnh:
Xeựt ∆APO vaứ ∆OBN coự A O 1và = =à ; OA = OB ( = R) vaứ do NB // AP ⇒ POA NBOã = ã (ủồng vũ)
⇒∆APO = ∆ONB ⇒ PO = BN.
Maứ OP//NB (cmt) ⇒ OBNP laứ hỡnh bỡnh haứnh. 3/ C/m:I; J; K thaỳng haứng:
Ta coự: PM ⊥ OJ vaứ PN // OB (do OBNP laứ hỡnh bỡnh haứnh) maứ ON ⊥ AB
⇒ ON ⊥ OJ ⇒ I laứ trửùc tãm cuỷa ∆OPJ ⇒ IJ ⊥ OP.