01 - 2010
M2154. Mỗi ô vuông trên bảng chiều 2009 ×2009 được tô một trong hai màu trắng đen sao cho trong số các ô kề (theo cạnh) với với ô đó thì số các ô cùng màu với nó ít hơn số các ô khác màu. Giá trị lớn nhất của hiệu giữa số màu trắng với ô màu đen trên bảng lớn nhất là bao nhiêu.
A. Shapovalov.
M2155. Tìm số có 2009 chữ số sao cho thương của số đó với tổng các chữ số của nó là nhỏ nhất.
Y. Bogdanov.
M2156. Vacia và Petia mỗi người vẽ một hình tứ giác lồi. Hai bạn viết ra tờ giấy độ dài tất cả các cạnh và hai đường chéo tứ giác của mình đã vẽ. Kết quả trên tờ giấy có 2 bộ số từ 6 số khác nhau trùng nhau. Hỏi liệu hai tứ giác mà hai bạn vẽ có bằng nhau không?
N. Agakhanov, Y. Bogdanov.
M2157. Trên bảng viết 20 ước số của 70!. Chứng minh rằng có thể xóa đi một vài số trong chúng để tích các số còn lại là một số chính phương.
Sưu tầm.
M2158. Điểm O - tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đặt P, Q là các điểm trong của đoạn CA, AB tương ứng. Các điểm K, L, M trung điểm các đoạn
BP, CQ, P Q tương ứng và Γ là đường tròn đi qua các điểm K, LM. Biết rằng đường
thẳngP Q tiếp xúc với đường tròn Γ. Chứng tỏOP =OQ.
S. Berlov.
M2159. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (k, c) sao cho đối với tất cả các số tự nhiênn, ngoại trừ một số hữu hạn số trong chúng, thìn(n+ 1)....(n+k−1) +clà lũy thừa của một số tự nhiên nào đó lớn hơn 1 (nghĩa là mệnh đề đó sai với hữu hạn số tự nhiên).
V. Senderov.
M2160. Cho trước các số tự nhiên a1, a2, ..., an và tập hợp M gồm n −1 số tự nhiên sao cho không chứa số s =a1 +a2+...+an. Một con châu chấu cần phải thực hiện n bước nhảy sang bên phải của trục số, với điểm khởi đầu là gốc tọa độ 0. Với