Nhóm dịch thuật Kvant - http://mathvn.org05 - 2010 05 - 2010
M1901. Trong tam giác cong bị chận bởi hai đường tròn tiếp xúc nhau và tiếp tuyến chung của chúng, xét hình vuông được tô xanh và hình vuông được tô đỏ như hình vẽ. Chứng minh rằng cạnh của hình vuông màu xanh lớn gấp 2 lần cạnh hình vuông màu đỏ.
S. Berlov.
M1902. Trong một buổi gặp mặt có 45 người tham dự. Biết rằng bất kì hai người nào mà có cùng số nguời quen với nhau thì không quen nhau. Hỏi số người quen lớn nhất của một khách tham dự là bao nhiêu.
S. Berlov.
M1903. Trên mặt phẳng cho đoạn thẳng AB. Dựng các nửa đường tròn đường kínhAX, BX bên ngoài tam giác ABX. Tìm tập hợp các điểm X sao cho tồn tại một đường tròn tiếp xúc với các nửa đường tròn này tại trung điểm của chúng.
V. Senderov.
M1904. Các số nguyên dươnga, b, c thỏa mãn đẳng thức a(b2+c2) = 2b2c. Chứng minh rằng2b ≤a√
a+c. N. Osipov.
M1905. Có 50 chiếc khăn kích thước 1×1 dùng để xếp lại thành 2 lớp phủ một cái bàn có kích thước 5×5, sao cho không có mép của cái khăn nào nằm trên mép của bàn và các khăn được xếp khít mép với nhau chứ không được đè lên nhau, khăn có thể được gấp. Làm cách nào để thực hiện điều này.
M1906. Cho một dải băng, đăt một hình vuông có cạnh bằng chiều rộng của dải băng, sao cho 4 cạnh của hình vuông cắt 2 cạnh của dải băng (như hình vẽ). Chứng minh rằng hai đường thẳng đi qua các giao điểm đó cắt nhau tại điểm nằm trên đường chéo của hình vuông.
V. Proizvolov.
M1907. a. Số 92004 −1 biểu diễn thành tổng một vài lũy thừa bậc ba của các số nguyên không âm. Hỏi số lượng các lũy thừa như vậy bé nhất bằng bao nhiêu?
b. Số 2004!−1 biểu diễn thành tổng của một vài giai thừa. Hỏi số giai thừa như vậy bé nhất bằng bao nhiêu?
B. Frenkin, V. Senderov.
M1908. Với cặp (a, b)các số nguyên dương đặt dãy cặp số (xn, yn)n theo luật sao: x1 = a, y1 =b, xn+1 = xnyn, yn+1 = xn+yn. Chứng minh rằng với mỗi cặp (a, b) tồn tại n sao cho xn > yn và kí hiệu số nhỏ nhất như vậy là f(a, b). Hỏi với (a, b) như thế nào thìf(a, b) đạt cực đại.
A. Sarantsev.
M1909. 9 đường thẳng nằm ngang và 9 đường thẳng nằm dọc cắt hình chữ nhật ra làm 100 hình chữ nhật nhỏ, 91 hình trong chúng được tô màu xanh, còn lại tô màu đỏ. Chu vi của mỗi hình màu xanh là một số nguyên. Chứng minh rằng chu vi của mỗi hình màu đỏ cũng là một số nguyên.
M1910. Trên cạnh huyền AB của tam giác vuông ABC lấy điểm trong D. Các điểm O1, O2 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD, BCD. Gọi E là giao điểm của BO1 và AO2. Chứng minh rằng ∠BCE =∠ACD.
A. Vasilev.
M1911. Cho các số a, b, cthỏa mãn hệ
an+bn=cn+dn, am+bm =cm+dm, với m, nlà các số nguyên dương, n > m và xét tập
M ={|a|,|b|,|c|,|d|} Chứng minh các khẳng định sau
a. Vớim, n là các số cùng tính chẵn lẽ, thì giữa các phần tử của M tìn được các phần tử trùng nhau nào đó.
b. Vớin chẵn, m lẻ, thì khẳng định ở a. vẫn đúng.
c. Với m chẵn, n lẻ, thì tồn tại các số a, b, c, d sao cho các phần tử của M là đôi một phân biệt.
V. Senderov.
M1912. Tất cả các quả cân 1g,2g, ...,200g được đặt lên hai đĩa cân, mỗi bên 100 quả sao cho khối lượng hai bên cân bằng nhau. Trong đó không có hai quả cân ở đĩa bên trái có tổng khối lượng bằng 201g. Giả sử a1 < a2 < ... < a100 và b1 < b2 < ... < b100 lần lượt là khối lượng các quả cân ở đĩa bên phải. Chứng minh rằng
a1+ 2a2+...+ 100a100 =b1+ 2b2+...+ 100b100. V. Proizvolov.
M1913. Với 0≤x, y ≤1. Chứng minh
2p(x2 −1)(y2−1)≤2(x−1)(y−1) + 1. V. Dolnikov.
M1914. Xét hàmf xác định trên Rsao cho i.f(2 +x) =f(2−x)với mọi x;
ii.f(7 +x) =f(7−x) với mọix; iii.f(0) = 0.
Hỏi rằng
a. Hàm f có thể nhận đúng hai giá trị hay không? hàm f có thể nhận vô hạn giá trị hay không?
b. Tìm tất cả các giá trị có thể của nghiệm lớn nhất của phương trình f(x) = 0 trong đoạn [0; 1000].
P. Samovol.
M1915.Tứ diện ABCD có AB = BC = CD = a, BD = DA = AC = b. Tính khoảng cách giữaAD và BC.
M1916. Làm thế nào để cắt tam giác đều ra thành 25 tam giác đều nhỏ sao cho chỉ một chúng có diện tích khác 1.
V. Proizvolov.
M1917. Cho các số nguyên dương a, p, q sao cho ap+ 1 chia hết cho q, và aq+ 1 chia hết chop. Chứng minh
a > pq 2(p+q). A. Golovanov.
M1918. Kẻ các tiếp tuyến chung trong đối với hai đường tròn, một trong chúng tiếp xúc với các đường tròn tại A, B. Một quả bi-da được đánh từ điểm A bị phản xạ khi gặp tiếp tuyến thứ hai và lăn vào điểmB. Chứng minh các dây cung mà viên bi-da vạch ra đối với hai đường tròn đã cho là bằng nhau.
A. Zaslavskij.
M1919. Chứng minh rằng số a.2004x+ 1,
b.2004x−1,
không là lũy thữa bậc hai hay cao hơn của một số nguyên dương với một số tự nhiên xnào đó.
A. Vasilev.
M1920. Tồn tại hay không số thực x sao cho cotx và cot 2004x đều là hai số nguyên.