07 - 2008
M1796. Một con vua đi qua tất cả các ô trên bàn cờ vua và trở lại chỗ xuất phát của nó, sao cho mỗi ô nó chỉ đi qua 1 lần. Nối tất cả tâm của các ô mà nó đi qua liên tiếp ta nhận được một hình gấp khúc kín gồm 64 mắt xích (mỗi bước chuyển là một mắt xích), không có có hai mắt xích nào kế tiếp mà cùng nằm trên một đường thằng. Chứng minh rằng số bước chéo của con vua đi tối thiểu là 8 bước.
Y. Akulin.
M1797. Các điểm màu xanh và đỏ lần lượt luân phiên nhau chia đường tròn thành2n cung. Biết rằng bất kì hai cung kề nhau có độ dài sai khác nhau là 1. Chứng minh rằng n−giác với các đỉnh màu đỏ và n−giác với các đỉnh màu xanh có cùng chu vi và cùng diện tích.
V. Proizvolov.
M1798. Trong thành phố nọ có 1000 người dân sinh sống. Đúng 300 người trong số họ là thật thà, còn lại là tinh ranh sẽ nói thật hay nói dối tùy theo ý mình. Biết rằng tất cả các cư dân thành phố đều biết nhau. Bạn có thể nhận biết được bao nhiêu người tinh ranh bằng cách đặt một số tùy ý các câu hỏi.
N. Vacilev, B. Ginzburg.
M1799*. Xét các số tự nhiên x, y sao cho xy+x+y là số chính phương. Chứng minh rằng các số sau đây cũng là số chính phương: xy+z, yz+x,zx+y, yz+y+z, zx+z+x,xy+yz+zx, xy+yz+zx+x+y+z.
V. Proizvolov.
M1800. Chứng minh rằng tổng bình phương diện tích 4 mặt của một tứ diện bằng 4 lần tổng bình phương diện tích 3 tiết diện đi qua các bộ bốn trung điểm đồng phẳng của các cạnh tứ diện.
M1801. Số tự nhiên n là tổng của ba ước số tự nhiên phân biệt của n−1. Tìm tất cả các sốn như vậy.
S. Tokarev.
M1802. Có một khu vực bí mật là hình vuông 8×8, nó được phân hoạch thành các ô vuông đơn vị 1×1 bởi các hành lang ngang dọc. Tại mỗi ngã giao có một khóa mạnh điện, nếu nhấn vào đó thì bật hoặc tắt ngay lập tức các hành lang độ dài 1 đi ra từ giao lộ này. Ban đầu tất khu vực chìm trong bóng tối. một người lính gác ở vị trí góc bên trái dưới cùng của khu vực này, anh ta chỉ có thể đi vào các hành lang được anh ta bật sáng, và có thể bất hoặc ngắt khóa điện ở các giao lộ nhiều lần. Hỏi anh ta có thể đi đến được góc bên trái trên cùng của khu vực sau khi ánh sáng ở tất cả các hành lang đều bị tắt hay không? Tìm tất cả các giao lộ của khu vực mà anh ta có thể đi đến được, sau khi đã tắt hết các đèn ở ở tất cả các hàng lang.
A. Shapovalov.
M1803. Trong hình vuông ABCD lấy hai điểm P, Q sao cho ∠P AQ=∠QCP = 45◦. Chứng minh rằng tổng diện tích các tam giác P AQ, P CB, QCD bằng tổng diện tích các tam giác QCP, QAD, P AB.
M1804. Chứng minh rằng vớia, b, c là các số dương thì a √ a2+bc + b √ b2+ca + c √ c2+ab ≥1 (Nam Triều Tiên)
M1805. Tại một cuộc thi Olympic Toán có sự tham gia của 21 bạn nam và 21 bạn nữ. Biết rằng:
- Mỗi bạn chỉ giải không quá 6 bài.
- Đối với mỗi bạn nam và mỗi bạn nữ thì tồn tại tối thiểu một bài mà cả hai đều giải được.
Chứng minh tồn tại một bài toán mà nó được giải bởi 3 bạn nam và 3 bạn nữ. (CHLB Đức)
M1806. Xét bảng số có chiều n×n sao cho với bất kì n số tự nhiên lấy ra theo từng hàng hay theo từng cột đều cho một tổng duy nhất. Trong mỗi hàng xác định số bé nhất, và giữa n số bé nhất được chọn này chọn tiếp số lớn nhất, đặt là M. Trong mỗi cột xác định số lớn nhất, và giữa n số lớn nhất được chọn này chọn tiếp số bé nhất, đặt làm. Chứng minh M =n.
V. Proizvolov.
M1807. Với những số tự nhiên n nào thì có thể chia một tam giác ra thành n đa giác lồi với số cạch khác nhau.
A. Zalavskij.
M1808. Giải các phương trình trong tập số tự nhiên sau: a.x! +y! =z!!;
b.x!y! =z!!.
với z!!là tích các só tự nhiên cùng tính chẵn lẽ với z từ 1 đến z. V. Senderov.
M1809. Chỉ sử dụng thước thẳng tìm tâm của: a. hai đường tròn giao nhau;
b. hai đường tròn tiếp xúc (trong và ngoài); c. hai đường tròn đồng tâm.
Y. Vainshtein.
M1810. Xét đa diện lồi đa lồi với mỗi đỉnh là đầu mút của một số lẻ các cạnh. Mội mặt của nó được tô bằng màu đỏ, các mặt còn lai tô màu xanh. Chu vi của mỗi mặt xanh bằng 1. Chứng minh rằng chu vi của mặt đỏ cũng bằng 1.
M1811. Hai vận động viên tiến hành một cuộc thi chạy, một người chạy từ điểmA đến B để kết thúc và người kia chạy ngược lại. Giả sử rằng tại mỗi thời điểm, vận tốc mỗi người đều như nhau. Giữa A, B 1000m thì cứ mỗi 100m thì có một đường trồng cây (hàng cây trồng ở giữa, phân đường thành 2 phía) chiều dài 100m, chạy ngang qua như hình vẽ. Vận động viên nếu gặp hàng cây chắn ngang có thể chạy dọc theo cho đến hết đường trồng cây để sang phía bên kia hoặc trèo băng qua chúng để chạy tiếp. Chứng minh rằng sự gặp nhau của hai người này là không thể tránh khỏi.
V. Proizvolov.
M1812. Cho a, b, c là các số tự nhiên thỏa mãn
U CLN(a2−1, b2 −1, c2−1) = 1 Chứng minh rằng
U CLN(ab+c, bc+a, ca+b) = U CLN(a, b, c) A.Glovanov
M1813. HìnhF được giới hạn bởi nửa đường tròn và hai cung một phần tư đường tròn cùng bán kính như hình vẽ.
a. ChiaF thành 3 phần sao cho có thể ghép lại thành một hình vuông.
b. Chia F thành 4 phần sao cho một phần là hình vuông còn các phần còn lại có thể ghép thành hình vuông khác.
V. Proizvolov.
M1814. Số tự nhiêna nguyên tố cùng nhau với m1,m2. Kí hiệu rn là phần dư của phép chia phần nguyên củaan/m1 chom2 (n = 1,2, ...). Chứng minh {rn} là dãy tuần hoàn.
N. Asipov.
M1815. Các đường vuông góc chung của các cạnh đối diện của tứ giác ghềnh ABCD vuông góc với nhau, chứng tỏ chúng cắt nhau.
M1816. Tổng của của 2000 số tự nhiên lớn hơn tích của chúng. Chứng minh rằng có không nhiều hơn 10 số từ chúng khác 1.
A. Spivak, V. Senderov.
M1817. Hình tứ giác với hai đường chéo vuông góc nội tiếp trong một hình vuông. Đường chéo, các cạnh của tứ giác này chia hình vuông thành 8 tam giác. Tô màu các tam giác này bằng hai màu xanh và đỏ sao cho không có hai tam giác nào chung cạnh mà cùng màu. Chứng minh rằng tổng các bán kính các đường tròn nội tiếp trong các tam giác xanh bằng tổng bán kính các đường tròn nội tiếp trong các tam giác màu đỏ.
V. Proizvolov. M1818. Chứng minh bất đẳng thức r a b+c + r b c+a + r c a+b >2 với a, b, c >0. S. Nesterov.
M1819. Cho tam giác ABC với O, I là tâm của các đường tròn ngoại và nội tiếp. Gọi A0, B0, C0 là giao điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh BC, CA, AB. P là
trực tâm của tam giácABC. Chứng minh rằng P, O, I nằm trên một đường thẳng. A. Zaslavskij.
M1820. a. Với hai số tự nhiên x, y thì tận cùng của sốx2+xy+y2 trong hệ thập phân bằng 0. Chứng minh rằng hai chữ số tận cùng của nó bằng 0.
b. Với hai số tự nhiênx, y sao cho x4+x2y2+y4 chia hết cho 11. Chứng minh rằng số này cũng chia hết cho14641.
V. Proizvolov.
M1821*. Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n thì {n 1} − {n 2}+{n 3} −...−(−1)n{n n} <√ 2n V. Barzov.
M1822. Trong một giải đấu bóng có sự tham gia của 2N đội tuyển, mỗi đội sẽ đấu với lần lượt mỗi đội còn lại đúng một lần. Ban tổ chức chia giải đấu thành2N−1 lượt đấu. Một lần nọ do có sự vô ý, họ đã xếp lịch thi đấu ở một lượt mà không có kế hoạch cho các lượt tiếp theo. Có thể hay không xảy ra trường hợp mà các lượt đấu còn lại không thể sắp tiếp được do sẽ có trận lặp lại giữa hai đội đã đấu với nhau, nếu: a.N = 5;
b.N = 6; c.N = 8;
d.N là số tự nhiên bất kì. Y. Akulich.
M1823. Cho f(x) là đa thức bậc 3. Giả sử f(n) là một số lập phương với mọi số tự nhiên n. Chứng minh rằng f(x) = (ax+b)3 với a, b là các số nguyên.
N. Osipov.
M1824. Cho A1(x1, y1), A2(x2, y2), ..., An(xn, yn) là các điểm trên mặt phẳng tọa độ, n ≥ 2 với M x1+x2+...+xn n , y1 +y2+...+yn n là trọng tâm của chúng. Kí hiệu C là tâm của đường tròn có bán kính nhỏ nhất r, trong nó chứa các điểm A1, A2, .., An và d là khoảng cách giữa M vàC. Chứng minh rằng d
r ≤ n−2 n . I.Protacov, G. Radzievskij.
M1825. Bề mặt của khối lập phương kích thước 5×5×5 có thể được bao phủ hoàn toàn bởi 150 tờ giấy dạng hình vuông đơn vị. Trên mỗi mặt của hình lập phương này có thể được phủ bởi 25 hình vuông đơn vị. Chứng minh rằng có thể phủ 150 tờ giấy hình vuông đơn vị lên bề mặt hình lập phương sao cho không có mặt nào của nó được phủ bởi 25 tờ giấy hình vuông đơn vị.
M1826. Với ba số dương a, b, cthỏa mãn 1 a + 1 b + 1 c ≥a+b+c. Chứng minh rằng a+b+c≥3abc. S. Zlobin.
M1827. Cho Q là một điểm nằm trên đường tròn đường kính AB. QH là đường vuông góc hạ xuống AB, điểm C, M là các giao điểm của đường tròn tâmQ bán kính QH với đường tròn đầu tiên. Chứng minh rằng CM chia đôi bán kính QH.
V. Dubov.
M1828. A, B, C, D, E cùng sưu tập tem. A có số tem trùng với hơn 3/4 số tem của B,B có số tem trùng với hơn 3/4 số tem của C,C có số tem trùng với hơn3/4số tem của D, D có số tem trùng với hơn 3/4 số tem của E, E có số tem trùng với hơn 3/4 số tem của A. Chứng minh rằng, có một con tem mà cả 5 người này đều có. V. Proizvolov.
M1829. Có thể hay không khi tô màu các hình vuông và hình tròn bằng các màu đen và trắng, sao cho các tập điểm đen của hình tròn và hình vuông đồng dạng với
nhau, tập các điểm trắng của hình tròn và hình vuông cũng đồng dạng với nhau. G. Galperin.
M1840. Trong một dãy tăng các số tự nhiên, mỗi số bắt đầu từ số thứ 2002 là ước của tổng tất cả các số trước đó. Chứng minh rằng tồn tại một số trong dãy mà bắt đầu từ số này thì mỗi số bằng tổng của các số trước nó.
M1831. Xét một bộ 20 quả cân, khối lượng khác nhau. Giữa bất kì 11 quả cân thì có thể chọn ra hai quả có tổng khối lượng chung bằng 100g. Chứng minh rằng tổng khối lượng của tất cả 20 quả cần bằng 1000g.
V. Proizvolov.
M1832. Đường tròn nội tiếp tam giácABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại A0, B0, C0. Gọi Q là trung điểm của A0B0. Chứng minh rằng góc ∠B0C0C và ∠A0C0Q bằng nhau.
A. Zaslavskij.
M1833. Quân xe đi trên bàn cờ theo chiều ngang hoặc dọc một lần đi qua n ô (n > 1). Quân xe này thực hiện một số lần đi như vậy trên bàn cờ rộng vô hạn rồi trở về vị trí cũ sao cho nó không đi qua lại những ô mà có "vết" của nó trong mỗi lần đi trước. Đối với giá trị nào củan thì hình bị bị chặn bởi "vết" của quân xe này có diện tích bằng 2002. A. Maleev, S. Volchenkov. M1834. Chứng minh rằng với các số thựcx, y, z thì a. x6y6+x6z6+z6y6+ 3x4y4z4 ≥2(x3+y3 +z3)x3y3z3 b. x6+y6+z6+ 3x2y2z2 ≥2(x3y3+x3z3+y3z3) F. Shleyfer.
M1835. Cho một tứ giác ngoại tiếp và nội tiếp. Dựng một đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp song song với một cạnh nào đó của tứ giác, đường thẳng này bị chắn bởi hai cạnh đối diện của tứ giác. Chứng minh độ dài đoạn chắn bằng một phần tư chu vi của tứ giác.
V. Proizvolov.
M1836. Một con quái vật hydra bao gồm những cái đầu và những cái cổ, một cái cổ nối đúng với hai cái đầu. Một lần vung gươm chém Heracles có thể cắt đứt được tất cả cái cổ mọc ra từ cái đầu A nào đó của con quái vật này. Khi đó từ đầu A lần lượt mọc ra từng cái cổ nối với tất cả cái đầu mà A đã chưa kết nối. Heracles chiến thắng con quái vật này nếu chặt được nó ra làm hai phân không kết nối cổ với nhau. Tìm số N nhỏ nhất mà Heracles có thể chiến thắng con quái vật này sau không quá N lần chém. Biết có tất cả 100 cái cổ.
Yu. Lifshitz.
M1837. Chứng minh rằng với bất kì số tự nhiên n ≥10000, tìm được số tự nhiên m biểu diễn được dưới dạng tổng hai số chính phương sao cho 0< m−n < 3√4
n. A. Golovanov.
M1838. Trên mặt phẳng, cho hữu hạn các đường thẳng được tô màu xanh hoặc màu đỏ, giữa chúng không có hai đường thẳng nào song song. Qua bất kì giao điểm của các đường thẳng cùng màu thì có một đường thẳng khác màu đi qua. Chứng minh rằng các đường thẳng này đồng quy tại một điểm.
V. Dolnikov, I. Bogdanov. M1839. Cho 0≤x≤ π
4. Chứng minh rằng
(cosx)cos2x >(sinx)sin2x,
và
(cosx)cos4x <(sinx)sin4x. V. Senderov.
M1840. Một số các tứ diện đều nội tiếp trong một mặt cầu sao cho hai trong chúng đều có điểm chung. Chứng minh rằng tất cả các tứ diện này đều có điểm chung. V. Proizvolov.
M1841. Cho a, b, c là các số tự nhiên, chứng tỏ
(a, b),(b, c),(c, a)] = ([a, b],[b, c],[c, a])
Trong đó (x1, x2, ..., xn) và [x1, x2, ..., xn] là kí hiệu ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất của các số tự nhiên x1, x2, ..., xn.
V. Proizvolov.
M1842. Hai đỉnh A, B của tam giác ABC nằm trên một đường tròn tâm O sao cho đỉnh C và tâm O nằm cùng phía đối với đường thẳng AB. Quay tam giác ABC quanh tâm O nhận được tam giác A1B1C1 sao cho C1B1 đi qua đỉnh C, cắt đường tròn tại điểm F. Chứng minh rằng CF =CB.
V. Dubov.
M1843. Cho một số lượng không giới hạn các chiếc ví. Đầu tiên trong một chiếc ví có bỏ KM đồng xu, các chiếc còn lại rỗng. Sau đó, thực hiện nhiều lần các hành động sau: rút theo 1 đồng xu ở ví nào có tiền và bỏ đồng xu đó vào một ví rỗng khác. Sau một thời gian có K chiếc ví, mỗi chiếc cóM đồng xu. Hỏi K, M là các số như thế nào?
Y. Akulich.
M1844. Ngũ giác lồiABCDE có chu vi bằng 4, cạnh AB =DE = 1 và ∠BAE = ∠DEA = ∠BCD = 90◦. Chứng tỏ rằng phân giác của góc C chia ngũ giác ra thành hai tứ giác có chu vi và diện tích bằng nhau.
V. Proizvolov.
M1845. Hai số tự nhiên không liên tiếp được gọi là thân mật nếu a2−1 chia hết chob và b2−1 chia hết choa.
a. Chứng tỏ vớin > 1thì trong đoạn [n,8n−8]tìm được một cặp số thân mật. b. Tìm đoạn [n,8n−9], với n > 1 sao cho trong đoạn này không có cặp số thân mật nào.
M1846. Chứng minh rằng đối với bất kì số tự nhiên n và bất kì số tự nhiênk ≤n ta có bất đẳng thức 1 + 1 n k ≤1 + 1 k + k2 n2. V. Orlov.
M1847. Trong 8 cái lọ có 80 con nhện. Ta thực hiện phép chuyển nhện như sau: