05 - 2010
M1891. Trong n hiệp sĩ thì quan hệ giữa hai người nào đó hoặc là bạn hoặc là thù. Mỗi hiệp sĩ có đúng 3 kẻ thù, sao cho kẻ thù của bạn cũng là kẻ thù của anh ta. Với giá trị nào của n thì điều đó có thể?.
E. Barabanov, Y. Boronovich.
M1892. Nếu∠ACB = 45◦, chứng minh rằngAB4 = (BC2−AB2)2+(CA2−AB2)2 A. Rumjanzheva.
M1893. Trong một vòng tròn dựng 100 đây cung sao cho trung điểm bất kì của dây cung nào nằm trên một dây cung khác. Chứng tỏ rằng giữa chúng tìm được ít nhất hai dây cung là đường kính.
V. Proizvolov.
M1894. Cho m, nlà các số nguyên dương và n > 1. Biết rằng số m2n2−4m+ 4n là số chính phương. Chứng minh rằng m=n.
N. Osipov.
M1895. Trong hình vuôngABCD, lấy nội tiếp tam giácM AN sao cho∠M AN = 45◦. Chứng tỏ rằng đường chéoBDchia tam giác này thành hai phần có diện tích bằng nhau.
A. Maleev.
M1897. Trên trục số đánh dấu các điểm có tọa độ 1,2,3, ...,2n. Một con bọ chét sau 2n bước nhảy đi qua tất cả các điểm đánh dấu đó và trở về lại ví trí ban đầu. Với bất kì hay bước nhảy liên tiếp thì bọ chét nhảy hai hướng ngược nhau. Biết rằng tổng độ dài các bước nhảy của nó ngoại trừ bước cuối cùng đúng bằng 4n−3. Chứng minh rằng độ dài bước nhảy cuối đúng bằng 2n-1.
V. Proizvolov.
M1898. Cạnh AD của hình chữ nhật ABCD bị chia thành n đoạn bởi các điểm A1, A2, ..., An−1. Trên cạnh BC lấy các điểm B1, B2, ..., Bn, một vài trong chúng có thể trùng nhau. Dựng trong hình chữ nhật hình gấp khúc ziczac A0B1A1B2...AkBk+1Ak+1...An (đường này có thể tự cắt), trong đó A0 là A còn An là D. Phải chọn điểmAk, Bk, 1≤k ≤k−1 như thế nào để tổng độ dài bán kính rk của đường tròn nội tiếp trong tất cả các tam giác AkBk+1Ak+1 là lớn nhất.
S. Dvorjaninov M1899. Kí hiêu
f(n) = sinnα+ sinnβ + sinnγ, với α, β, γ là các góc của một tam giác nhọn.
a. Chứng minh rằng f(n)< f(1) với n= 3,4. b. Chứng minh rằng f(n)≤f(1) với n = 2,8.
c. Chứng minh rằng với n > 4, n 6= 7,8 thì tồn tại tam giác với các góc αn, βn, γn sao chof(n)> f(1).
S. Markelov, V. Senderov.
M1900. Sắp xếp trong không gian 5 hình lập phương đơn vị như thế nào để bất kì hai trong chúng có đường chéo chung, mà không có 3 hình nào có chung đường chéo. A. Zaslavskij