2 Quỹ tích không Cohen-Macaulay và không Cohen-
2.2 Tập giả giá và một số tính chất
Định nghĩa 2.2.1. Cho i ≥ 0 là một số nguyên. Giả giá thứ i của M,
kí hiệu là PsuppiR(M), đựợc cho bởi công thức:
PsuppiR(M) ={p ∈ Spec(R)|HpRi−dim(R/p)
p (Mp) 6= 0}.
Sau đây là một số tính chất của tập giả giá. Với mỗi tập con T của
Spec(R) và mỗi số tự nhiên i ≥ 0, kí hiệu (T)i = {p ∈ T|dim(R/p) =i}. Khi đó ta có kết quả sau:
Bổ đề 2.2.2. Cho i ≥ 0 là một số nguyên. Các khẳng định sau là đúng:
(i) dim(R/p) ≤ i với mọi p ∈ PsuppiR(M). (ii) (PsuppiR(M))i = (AssRM)i.
Chứng minh. (i) Lấy p ∈ PsuppiR(M). Khi đó HpRi−dim(R/p)
p (Mp) 6= 0. Do đó i > dim(R/p).
(ii) Ta có p ∈ (PsuppiR(M))i khi và chỉ khi HpR0
p(Mp) 6= 0 và
dim(R/p) =i. Chú ý rằng:
AssRp(Mp) = {qRp|q ∈ AssRM,q ⊆p}.
Do đóp ∈ (PsuppiR(M))i khi và chỉ khipRp ∈ AssRp(Mp) vàdim(R/p) =
i. Vì thế, p ∈ (PsuppiR(M))i khi và chỉ khi p ∈ (AssRM)i. Bổ đề được chứng minh.
Với mỗi iđêan I của R, kí hiệu Var(I) là tập tất cả các iđêan nguyên tố của R chứa I. Khi đó ta có mối quan hệ giữa tập giả giá
PsuppiR(M) và Var(AnnR(Hmi (M)), được cho bởi bổ đề sau.
Bổ đề 2.2.3. Cho i > 0 là một số nguyên. Khi đó
PsuppiR(M) ⊆Var(AnnR(Hmi (M))).
Chứng minh. Lấy p ∈ PsuppiR(M). Khi đó HpRi−dim(R/p)
p (Mp) 6= 0. Vì
HpRi−dim(R/p)
p (Mp) là Rp-môđun Artin nên tồn tại iđêan nguyên tố gắn kết qRp ∈ AttRp HpRi−dim(R/p)
p (Mp) với iđêan nguyên tố q ⊆ p. Suy ra
q∈ AttRHmi (M). Do đó q ⊇AnnR(Hmi (M)). Vì thế p ⊇ AnnR(Hmi (M)). Vậy PsuppiR(M) ⊆ Var(AnnRHmi(M)).
Cho p∈ Spec(R) và P ∈ Spec(Rb) sao cho P ∩R = p. Khi đó vành
b
RP/pRbP được gọi là thớ hình thức ứng với p và P. Nhắc lại rằng vành
R được gọi là catenary phổ dụng nếu mọi đại số hữu hạn sinh trên R
đều catenary.
Tập con T của Spec(R) được gọi là đóng theo tôpô Zariski nếu tồn tại một iđêan I củaR sao cho T = Var(I). Tập con T củaSpec(R) được gọi là ổn định với phép đặc biệt hóa nếu với mọi p,q; p ⊆ q mà p ∈ T
thì q∈ T. Kết quả sau cho ta điều kiện để PsuppiR(M) ổn định với phép đặc biệt hóa và đóng với Tô pô Zariski.
Bổ đề 2.2.4. (i) Nếu R là catenary thì PsuppiR(M) là đóng với phép đặc biệt hóa.
(ii) Nếu vành R/AnnRM là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay thì PsuppiR(M) = Var(AnnR(Hmi (M))) với mọi số nguyên i. Đặc biệt, PsuppiR(M) là đóng.