2 Quỹ tích không Cohen-Macaulay và không Cohen-
2.3Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay
Kết quả chính thứ nhất của chương là đưa ra công thức biểu diễn quỹ tích không Cohen-Macaulay qua các tập giả giá.
Định lý 2.3.1. Giả sử p ∈ SuppR(M). Khi đó các khẳng định sau là
đúng.
(i) Tồn tại i 6 d sao cho p ∈ PsuppiR(M) và
depth(Mp) = k−dim(R/p), dim(Mp) = t−dim(R/p),
trong đó k = min i6d{i | p∈ PsuppiR(M)} và t = max i6d {i | p ∈ PsuppiR(M)}. (ii) nCM(M) = S 06i<j6d (PsuppiR(M)∩PsuppjR(M)).
(iii) Giả sử s là một số nguyên và s 6 d. Khi đó
[
i6s
PsuppiR(M) = {p∈ SuppR(M) | depth(Mp) + dim(R/p) 6 s}.
(iv) Nếu p∈/ S
i<d
PsuppiR(M) thì Mp là môđun Cohen-Macaulay có
chiều d−dim(R/p).
Chứng minh. (i) Lấy p∈ SuppR(M).Khi đóMp 6= 0.Giả sử dimMp = n
thì n> 0. Do đó HpRn
p(Mp) 6= 0. Vì n+ dim(R/p) 6d nên tồn tại i 6 d
sao cho n = i− dim(R/p). Do đó HpRi−dim(R/p)
p (Mp) 6= 0. Tức là tồn tại
i 6 d thỏa mãn p ∈ PsuppiR(M). Đặt k = min
i6d{i | p ∈ PsuppiR(M)}. Khi đó p ∈ PsuppkR(M). Do đó HpRk−dim(R/p)
HpRi−dim(R/p)
p (Mp) = 0 với mọi i < k. Do đó depth(Mp) = k −dim(R/p).
Đặt t = max
i6d {i | p ∈ PsuppiR(M)}. Khi đó p ∈ PsupptR(M). Do đó
HpRt−dim(R/p)
p (Mp) 6= 0. Vì p ∈/ PsuppiR(M) với mọi i > t nên suy ra
HpRi−dim(R/p)
p (Mp) = 0 với mọi i > t. Vì vậy dim(Mp) =t−dim(R/p).
(ii) Lấy p ∈ nCM(M). Khi đó depth(Mp) < dim(Mp). Theo (i) ta có
k < tvới k = min
i6d{i | p∈ PsuppiR(M)}và t = max
i6d {i | p ∈ PsuppiR(M)}. Điều nầy dẫn đếnk < t và p∈ PsuppkR(M)∩PsupptR(M). Ngược lại, lấy
p ∈ PsuppiR(M) ∩PsuppjR(M) với 0 6 i < j 6 d. Khi đó depth(Mp) 6 i−dim(R/p) < j−dim(R/p) 6 dim(Mp) theo (i). Do đó p∈ nCM(M).
(iii) Lấy p ∈ S
i6s
PsuppiR(M). Khi đó ta có tồn tại r 6 s sao cho p ∈
PsupprR(M). Đặt k = min
i6d{i | p ∈ PsuppiR(M)} thì k 6 r 6 s. Theo (i) ta có
depth(Mp) + dim(R/p) = (k−dim(R/p)) + dim(R/p) =k 6 s.
Ngược lại, lấy p ∈ SuppR(M) sao cho depth(Mp) + dim(R/p) 6 s. Ta chứng tỏ rằng p ∈ S
i6s
PsuppiR(M). Thật vậy, nếu p ∈/ S
i6s
PsuppiR(M) thì
depth(Mp) > s−dim(R/p)theo (i). Nghĩa làdepth(Mp)+dim(R/p) > s.
Điều này vô lý. Vậy khẳng định được chứng minh. (iv) Giả sử p ∈/ S
i6d
PsuppiR(M). Khi đó depth(Mp) + dim(R/p) = d theo (iii). Do đó Mp là Cohen-Macaulay có chiều d−dim(R/p).
Cho i ≥ 0 là một số nguyên. Chú ý rằng giả giá thứ i của môđun
M nhìn chung không là tập đóng (xem [BS1] Ví dụ 3.1, Ví dụ 3.2). Nếu vành R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay thì PsuppiR(M) đóng với mọi i. Trong trường hợp vành R là catenary thì PsuppiR(M) chỉ đóng trong một số trường hợp đặc biệt của i. Hơn nữa, từ Định lý 2.3.1 chúng ta có công thức biểu diễn quĩ tích không Cohen-Macaulay trong trường hợp M đẳng chiều.
Hệ quả 2.3.2. Giả sử M đẳng chiều và vành R/AnnRM là catenary. Khi đóPsuppiR(M) đóng vớii = 0,1, d và nCM(M) =Sd−1
i=0 PsuppiR(M).
Chứng minh. Ta có Psupp0R(M) ⊆ {m}. Do đó Psupp0R(M) là tập đóng. Lấy p ∈ Psupp1R(M). Khi đó dim(R/p) 6 1. Nếu dim(R/p) = 1 thì
HpR0 p(Mp) 6= 0 . Vì thế p∈ AssR(M). Do đó
Psupp1R(M) ⊆ {m} ∪ {p ∈ AssM | dim(R/p) = 1}.
Vì thế Psupp1R(M) có hữu hạn phần tử cực tiểu. Vì R/AnnRM là vành catenary nên Psupp1R(M) đóng dưới phép đặc biệt hóa theo Bổ đề 2.2.4. Điều này suy ra Psupp1R(M) là tập con đóng của SpecR theo tôpô Zariski. Theo giả thiết M đẳng chiều nên
Var(AnnRM) = [
p∈AssM,dim(R/p)=d
Var(p) = Var(AnnRHmd(M)).
Vì R/AnnRM là catenary nên PsuppdR(M) = Var(AnnRM). Do đó
PsuppdR(M) đóng và
PsuppiR(M)∩PsuppRd(M) = PsuppiR(M)
với mọi i = 1, . . . , d−1. Vì vậy nCM(M) = S
06i6d−1
PsuppiR(M).
Kết quả sau suy ra ngay từ Định lý 2.3.1(ii) cho chúng ta điều kiện cần để nCM(M) đóng.
Hệ quả 2.3.3. Nếu PsuppiR(M) đóng với mọi i ≤ d thì nCM(M) đóng.
Câu hỏi tự nhiên đặt ra là phát biểu ngược lại của Hệ quả 2.3.3 có đúng không? Tức là nếu nCM(M) đóng thì tập PsuppiR(M) có đóng với mọi i ≤ d không? Chúng ta đưa ra câu trả lời trong trường hợp
Hệ quả 2.3.4. Giả sử M đẳng chiều và dimM = 3. Nếu R/AnnRM
là catenary thì PsuppiR(M) đóng với mọi i 6= 2 và ta có
nCM(M) =
2
[
i=0
PsuppiR(M).
Khi đó nCM(M) đóng khi và chỉ khi Psupp2R(M) đóng.
Chứng minh. Vì M đẳng chiều và dimM = 3 nên theo Hệ quả 2.3.2,
PsuppiR(M) đóng với mọi i 6= 2 và nCM(M) = S2
i=0PsuppiR(M). Do đó, nCM(M) đóng nếu Psupp2R(M) đóng. Giả sử Psupp2R(M) không đóng. Do R/AnnR(M) là catenary nên Psupp2R(M) đóng dưới phép đặc biệt hóa theo Bổ đề 2.2.4. Vì Psupp2R(M) không đóng nên nó có vô hạn phần tử cực tiểu. Chú ý rằng 1 6 dim(R/p) 6 2 với mọi p ∈
min Psupp2R(M) theo Bổ đề 2.2.2 (i) và dim(R/p) 6 1 với mọi p ∈
Psupp1R(M)∪Psupp0R(M). Vì vậy, mỗi phần tử cực tiểu của Psupp2R(M)
là phần tử cực tiểu của nCM(M). Điều này suy ra nCM(M) có vô hạn phần tử cực tiểu nên nCM(M) không đóng. Vì thế nCM(M) đóng khi và chỉ khi Psupp2R(M) đóng.
M. Brodmann và R. Y. Sharp trong [BS1], Ví dụ 3.1 đã chỉ ra tồn tại (R,m) là một miền nguyên địa phương Noether chiều 3 sao cho R là catenary phổ dụng, Psupp2R(M) không đóng và do đó theo Hệ quả 2.3.4 quĩ tích không Cohen-Macaulay của R không đóng. Nếu
R/AnnRM không catenary thì phát biểu ngược lại của Hệ quả 2.3.3 còn đúng không? Câu trả lời là không đúng. Trước khi đưa ra phản ví dụ. Chúng ta có tính chất sau đây.
Hệ quả 2.3.5. Giả sửdimM = 3và dim(R/p) = 3 với mọi p∈ AssRM. Giả sử R/AnnRM không catenary. Khi đó Psupp3R(M) không đóng. Hơn nữa, Psupp0R(M) = ∅,Psupp1R(M) ⊆ {m} và
Chứng minh. Theo giả thiết M đẳng chiều và vành R/AnnRM không catenary nên Psupp2R(M) không đóng. Vì dim(R/p) = 3 với mọi p ∈
AssRM nên ta có Psupp0R(M) = ∅ và Psupp1R(M) ⊆ {m}. Vì thế để chứng minh nCM(M) = Psupp0R(M)T
Psupp0R(M), theo Định lí 2.3.1 ta chỉ cần chứng minh m ∈ Psupp2R(M)T
Psupp3R(M). Vì dimM = 3
nên Hm3 6= 0. Do đó m ∈ Psupp3R(M). Mặt khác vì R/AnnRM không catenary nên tồn tại p ∈ AssRM sao cho R/p là miền nguyên chiều 3 không catenary.
Đặ U = {q ∈ Spec(R),q ⊇ p|dim(R/q) + ht(q/p) = 2}. Vì R/p không catenary nên tồn tại iđêan nguyên tố q∈ U. Vì dim(R/q) + ht(q/p) = 2
nên q6= m và q 6= p. Do đódim(R/q) = 1. Do đông cấu R →Rb là phẳng nên tồn tại bq ∈ Spec(Rb) sao cho bqT
R = q. Vì q 6= m nên bq 6= mRb. Suy ra 0 < dim(R/b bq) ≤ dim(R/q) = 1. Vì thế dim(R/b bq) = 1. Kí hiệu
U
b
R/pRb(0) là môđun con lớn nhất của R/b pRb có chiều bé hơn dim(R/b pRb). Ta có bq ∈/ Supp b R((R/b pRb)/U b R/pRb(0)). Do đó bq + Ann b R(Hm3(R/p)). Vì đông cấu R → Rb là phẳng nên nó thỏa mãn định lí đi xuống. Do đó
htbq ≥ 1. vì thế tồn tại bp ∈ Ass(R/b pRb) sao cho bq ⊂ bp và bp 6= bq. Do đó
dim(R/b bp) ≥ 2. Vì bq+ Ann b R(Hm3(R/p)) nên dim(R/b bp) = 2. Vì Ass b RMc= [ q∈AssRM Ass(R/b pRb) nên bp∈ Ass b RM .c Do đó bp ∈ Att b R(H2 mRb(Mc)). Vì thế Hm2(M) 6= 0. Vậy ta có m∈ Psupp2R(M).
Ví dụ sau đây chứng tỏ rằng nếu bỏ đi giả thiết vành R/AnnRM
là catenary thì phát biểu ngược lại của hệ quả 2.3.3 là không đúng.
Ví dụ 2.3.6. Tồn tại miền nguyên địa phương Noetherian R chiều 3
thỏa mãn quĩ tích không Cohen-Macaulay của R đóng nhưng Psupp2R
Chứng minh. Theo [BS1] Ví dụ 3.2, tồn tại (R,m) là miền nguyên địa phương Noetherian có chiều 3 thỏa mãn R không catenary, Psupp2R và
Psupp3R không đóng và
Psupp2(R)\ {m,0} = {p ∈ SpecR | ht(p) + dim(R/p) = 2},
và
Psupp3(R) ={p ∈ SpecR |ht(p) + dim(R/p) = 3}.
Khi đó theo Hệ quả 2.3.5 ta có
nCM(M) = Psupp2(R)∩Psupp3(R) ⊆ {m,0}.
Hiển nhiên0∈/ Psupp2(R). Mặt khác, doR không catenary nên Rkhông Cohen-Macaulay. Do đó nCM(M) ={m} là tập đóng.
Tiếp theo chúng ta nghiên cứu quĩ tích không Cohen-Macaulay trong mối quan hệ với tính catenary của vành R/AnnRM và tính không trộn lẫn của các vành địa phương R/p với các iđêan nguyên tố p ∈
SuppR(M). Nhắc lại rằng, M gọi là tựa không trộn lẫn nếu Mc đẳng chiều, nghĩa là dim(R/b bp) = d với mọi bp ∈ min Ass
b
RM .c Ta nói M là
không trộn lẫn nếu dim(R/b bp) =d với mọi bp ∈ Ass
b
RMc. Với mỗi số nguyên i, đặt ai(M) = AnnRHmi (M). Đặt
a(M) = a0(M)a1(M). . .ad−1(M).
Định lý 2.3.7. Đặt T(M) = S
06i<j6d
Var(ai(M) + aj(M)). Khi đó các
khẳng định sau là đúng.
(i) Nếu vành R/AnnRM là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay thì nCM(M) = T(M).
(ii) Nếu nCM(M) = T(M) thì vành R/AnnRM là catenary phổ dụng và R/p là không trộn lẫn với mọi p∈ min AssR(M)..
Chứng minh. (i) Khẳng định được suy ra từ Bổ đề 2.2.4(ii) và Định lý 2.3.1 (ii).
(ii) Lấy p ∈ min AssR(M). Đặt dim(R/p) = t. Ta chỉ ra rằng R/p là không trộn lẫn. Thật vậy giả sử trái lại R/p không là vành không trộn lẫn. Khi đó tồn tại bp ∈ Ass(R/b pRb) sao cho dim(R/b bp) = k < t. Chú ý rằng t6 d nên k < d. Mặt khác, ta có Ass b RMc= [ q∈AssRM Ass(R/b pRb). Do đó bp ∈ Ass b
RMc. Vì dim(R/b bp) = k nên ta có bp ∈ Att
b
R(Hk
mRb(Mc)). Ta luôn có Hk
mRb(Mc) ∼= Hk
m(M) như Rb-môđun. Do đó bp ∈ Att
b
R(Hmk(M)).
Mặt khác ta có p = bp ∩ R ∈ AttR(Hmk(M)). Vì thế ak(M) ⊆ p. Theo giả thiết dim(R/p) = t và p ∈ AssRM nên p ∈ AttR(Hmk(M). Do đó ta có at(M) ⊆ p. Điều này chứng tỏ p ∈ Var(ak(M) + at(M)), với
k < t 6 d. Theo giả thiết T(M) = nCM(M) nên p ∈ T(M). Chú ý rằng p ∈ min AssR(M) nên Mp có độ dài hữu hạn. Do đó Mp là môđun Cohen-Macaulay. Điều này mâu thuẫn với p ∈ nCM(M). Như vậy R/p
không trộn lẫn với mọi p ∈ min Ass(M).
Để chứng minhR/AnnRM là catenary phổ dụng,ta chỉ cần chứng minh
R/p là tựa không trộn lẫn với mọi p ∈ Var(AnnRM). Thật vậy, lấy
p ∈ Var(AnnRM). Khi đó tồn tại q ∈ min AssRM sao cho q ⊆ p. Theo chứng minh ở trên, ta có R/p là không trộn lẫn. Vì R/p đẳng chiều nên, ta có R/p ∼= (R/q)/(p/q) là tựa không trộn lẫn