2 Quỹ tích không Cohen-Macaulay và không Cohen-
2.5 Giá suy rộng và một số tính chất
Đầu tiên,ta giới thiệu kí hiệu của giá suy rộng. Với i ≥ 0 là số nguyên.
Định nghĩa 2.5.1. Giá suy rộng thứi củaM, được kí hiệuLsuppiR(M), được định nghĩa bởi:
LsuppiR(M) ={p ∈ Spec(R)|`pRp(HpRi−dim(R/p)
Chúng ta có một số mối liên hệ giữa LsuppiR(M) và PsuppiR(M).
Bổ đề 2.5.2. Nếu R là catenary thì
PsuppiR(M)\min PsuppiR(M) ⊆LsuppiR(M),
và LsuppiR(M) đóng với phép đặc biệt hóa.
Chứng minh. Lấy p ∈ PsuppiR(M) \ min PsuppiR(M). Khi đó tồn tại
q ∈ min PsuppiR(M) sao cho q ⊂ p. Do đó HqRi−dim(R/q)
q (Mq) 6= 0. Vì R là catenary nên ta có
0 6= HqRi−dim(R/q)
q (Mq) ∼= Hi−dim(R/p)−dim(Rp/qRp)
q(Rp)qRp (Mp)qRp.
Điều này dẫn đến qRp ∈ PsuppiR−dim(R/p)
p (Mp). Theo Bổ đề 2.2.3 ta có
qRp ⊇AnnRpHpRi−dim(R/p)
p (Mp). Mặt khác, vì q 6= p nên
dim Rp/AnnRpHpRi−dim(R/p)
p (Mp) > 0.
Vì vậy, ta có `Rp HpRi−dim(R/p)
p (Mp) = ∞, tức là p ∈ LsuppiR(M).
Lấy q ⊂ p, q 6= p là các iđêan nguyên tố sao cho q ∈ LsuppiR(M). Khi đó q ∈ PsuppiR(M). Vì R là catenary nên theo Bổ đề 2.2.4 (i) ta p ∈ PsuppiR(M) \ min PsuppiR(M). Do đó p ∈ LsuppiR(M). Vì vậy,
LsuppiR(M) đóng dưới phép đặc biệt hóa
Bổ đề 2.5.3. Cho i ≥ 0 là một số nguyên. Khi đó
LsuppiR(M) ⊆ PsuppiR(M)\min AttRHmi (M).
Hơn nữa, nếu R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen- Macaulay thì
PsuppiR(M)\min PsuppRi (M) = LsuppiR(M)
Chứng minh. Lấy p ∈ LsuppiR(M). Khi đó ta có p ∈ PsuppiR(M). Vì `pRp HpRi−dim(R/p) p (Mp) = ∞ nên ta có dim Rp/AnnRpHpRi−dim(R/p) p (Mp) > 0.
Do đó tồn tạiqRp ∈ AttRpHpRi−dim(R/p)
p (Mp)thỏa mãn chiều củaRp/qRp >
0. Điều này kéo theo q ⊂ p và q 6= p. Do đó q ∈ AttR(Hmi (M))
theo [BS, 11.3.8]. Vì thế p ∈/ min AttRHmi (M). Vì R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay nên ta có PsuppiR(M) = Var(AnnRHmi(M). Vì thế min PsuppiR(M) = min AttRHmi(M). Hơn nữa ta có theo Bổ đề 2.5.2 ta có
P suppiR(M)\min PsuppiR(M) = PsuppiR(M)\min AttRHmi (M)
⊆LsuppiR(M).
Vì thế
PsuppiR(M)\min PsuppRi (M) = LsuppiR(M)
= PsuppiR(M)\min AttRHmi(M).
Nếu R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen- Macaulay thì ta có mối liên hệ giữa tập giả giá của mô đun M và tập giả giá của Mcnhư sau
PsuppiR(M) =P ∩R |P ∈ Psuppi
b
R(Mc) .
Đối với tập giá theo độ dài vô hạn, ta có kết quả sau:
Bổ đề 2.5.4. Nếu R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là
Cohen-Macaulay thì
LsuppiR(M) ⊆
P ∩R | P ∈ Lsuppi
b
Chứng minh. Lấy p∈ LsuppiR(M). Khi đó
p ∈ PsuppiR(M)\min PsuppiR(M)
theo Bổ đề 2.5.3. Lấy P ∈ Ass(R/b pRb) thỏa mãn dim(R/p) = dim(R/Pb ).
Khi đóP∩R = p.Vì p ∈ PsuppRi (M) nênHpRi−dim(R/p)
p (Mp) 6= 0. Do đồng cấu tự nhiên Rp → RbP là phẳng nên theo Định lý chuyển cơ sở phẳng [BS, 4.3.2] ta có Hi−dim(R/Pb ) PRbP (McP) ∼= Rb P ⊗HpRi−dim(R/p) p (Mp) 6= 0.
Điều này dẫn đến P ∈ Psuppi
b
R(Mc). Do p ∈/ min PsuppiR(M) nên tồn tại
q ∈ min PsuppiR(M) thỏa mãn q ⊂ p và q 6= p. Vì đồng cấu tự nhiên
R → Rb thỏa mãn tính chất đi xuống (xem [Mat]) nên tồn tại iđêan nguyên tố Q ⊂ P thỏa mãn ht(P/Q) ≥ ht(p/q) và Q∩R = q. Vì R là catenary nên
dim(R/q) ≥ dim(R/Qb ) = dim(R/Pb ) + ht(P/Q)
≥ dim(R/p) + ht(p/q) = dim(R/q).
Suy ra dim(R/q) = dim(R/Qb ). Mặt khác, vì HqRi−dim(R/q)
q (Mq) 6= 0 và
đồng cấu tự nhiên Rq → RbQ là phẳng nên Q ∈ Psuppi
b
R(Mc). Do q 6= p
nên kéo theoQ 6= P.Do đóP /∈ min Psuppi
b
R(Mc).Vì vậyP ∈ Lsuppi
b
R(Mc)
theo Bổ đề 2.5.3.
Mệnh đề sau cho ta mối liên hệ giữa tập giá theo độ dài vô hạn và địa phương hóa.
Mệnh đề 2.5.5. Giả sử R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức
là Cohen-Macaulay. Khi đó với mọi p ∈ SuppRM ta có
LsuppiR−dim(R/p)
Chứng minh. Do R là catenary nên ta có:
PsuppiR−dim(R/p)
p (Mp) = qRp | q∈ PsuppiR(M),q ⊆p . (1)
VìR là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay nên
min AttRp HpRi−dimR/p
p (Mp)= qRp | q ∈ min AttRHmi (M),q ⊆p .(2)
Lấy qRp ∈ LsuppiR−dim(R/p)
p (Mp). Theo Bổ đề 2.5.3, ta có
qRp ∈ PsuppiR−dim(R/p)
p (Mp)\min AttRpHpRi−dim(R/p)
p (Mp).
Từ đẳng thức (1), ta có q ∈ PsuppiR(M) và từ đẳng thức (2) ta có
q ∈/ min AttRHmi (M). Do đó q ∈ LsuppiR(M) theo Bổ đề 2.5.3. Ngược lại, lấy q∈ LsuppiR(M) và q ⊆p. Khi đó
q∈ PsuppiR(M)\min AttRHmi (M)
theo Bổ đề 2.5.3. Điều này dẫn đến qRp ∈ PsuppiR−dim(R/p)
p (Mp). Vì thế
Hi−dim(R/p)−dim(Rp/qRp)
q(Rp)qRp (Mp)qRp 6= 0.
Vì R là catenary nên Hi−dim(R/p)−dim(Rp/qRp)
q(Rp)qRp (Mp)qRp ∼= Hi−dim(R/q)
qRq (Mq).
Do đó HqRi−dim(R/q)
q (Mq) 6= 0.Chú ý rằng qRq ∈/ min AttRq HqRi−dim(R/q)
q (Mq)
vì q ∈/ min AttRHmi (M). Vì thế HqRi−dim(R/q)
q (Mq) có độ dài hữu hạn và do đó Hi−dim(R/p)−dim(Rp/qRp)
q(Rp)qRp (Mp)qRp có độ dài hữu hạn. Điều này suy ra
qRp ∈ LsuppiR−dim(R/p)
p (Mp).