2 Quỹ tích không Cohen-Macaulay và không Cohen-
2.6 Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay suy
rộng
Trong tiết này chúng ta mô tả quỹ tích không Cohen - Macaulay suy rộng.
Trước hết ta định nghĩa quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng:
Định lý 2.6.1. nGCM(M) = S
16i<j6d(LsuppiR(M)∩LsuppjR(M)). Hơn nữa, nếu M là đẳng chiều và R là catenary thì
nGCM(M) = [
16i<d
LsuppiR(M).
Chứng minh. Lấy p ∈ nGCM(M). Khi đó tồn tại 1 6 t < dimMp thỏa mãn `pRp HpRt p(Mp) = ∞. Đặt i = t+ dim(R/p). Khi đó
`pRp HpRi−dim(R/p)
p (Mp) = ∞.
Do đó p∈ LsuppiR(M). Đặt k = dimMp. Theo Định lý [BS, 7.3.2] ta có
HpRk
p(Mp) 6= 0 và
AttRp HpRk
p(Mp) = qRp ∈ AssRpMp | dim(Rp/qRp) =k .
Vì Mp không là môđun Cohen-Macaulay suy rộng nên k > 2.
Điều này dẫn đến ` HpRk p(Mp) = ∞. Đặt j = k + dim(R/p). Khi đó `pRp HpRj−dim(R/p) p (Mp)= ∞. Do đó p ∈ LsuppjR(M) và suy ra p ∈ LsuppiR(M)∩LsuppjR(M) với 16 i < j 6 d.
Ngược lại, giả sử tồn tại16 i < j 6d thỏa mãn p ∈ LsuppiR(M)∩
LsuppjR(M). Khi đó `pRp HpRj−dim(R/p)
p (Mp) = ∞. Theo Định lý triệt tiêu Grothendieck [BS, 6.1.2], ta có j −dim(R/p) 6 dimMp. Do đó
i−dim(R/p) < dimMp.
Chú ý rằng `pRp HpRi−dim(R/p)
p (Mp) = ∞. Điều này suy ra Mp không là môđun Cohen-Macaulay suy rộng, tức là p ∈ nGCM(M).
Giả sử M đẳng chiều và R là catenary. Lấyi ≥0 là một số nguyên và p ∈ LsuppiR(M). Khi đó `Rp HpRi−dim(R/p)
p (Mp) = ∞. Do đó `Rp(Mp) =
∞. Điều này dẫn đến p ∈ Var(AnnRM)\min Var(AnnRM). Vì thế
Vì R là catenary và M đẳng chiều nên PsuppdR(M) = Var(AnnRM). Do đó theo bổ đề 2.5.2 ta có:
Var(AnnRM)\min Var(AnnRM) = PsuppRd(M)\min PsuppdR(M)
⊆ LsuppdR(M).
Vì vậy, LsuppiR(M) ⊆ LsuppdR(M) với mọi i < d. Từ (i) ta có
nGCM(M) = [
16i<d
LsuppiR(M).
KẾT LUẬN
Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày lại chi tiết các kết quả trong hai bài báo N. T. Cuong , L. T. Nhan, N. T. K. Nga [CNN],
On pseudo supports and non-Cohen-Macaulay locus of finitely generated modules, J. Algebra, (2010) và L. T. Nhan , N. T. K. Nga , P. H. Khanh [NNK],Non Cohen-Macaulay locus and non generalized Cohen-Macaulay locus, Comm. Algebra, (2014). Luận văn trình bày một số kết quả: 1. Hệ thống lại một số vấn đề về chiều Krull, môđun đối đồng điều địa phương, dãy chính quy và độ sâu của môđun trong một iđêan, tính cate- nary cho các vành Noether, biểu diễn thứ cấp của môđun Artin.
2. Trình bày một số khái niệm và tính chất của vành và môđun Cohen- Macaulay, vành và môđun Cohen-Macaulay suy rộng.
3. Định nghĩa tập giả giá và một số tính chất của tập giả giá. 4. Định nghĩa và mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay nCM(M). 5. Trình bày khái niệm giá suy rộng LsuppiR(M) và một số tính chất. 6. Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng nGCM(M).
Tài liệu tham khảo
[BS] M. Brodmann and R. Y. Sharp, "Local cohomology: an algebraic in- troduction with geometric applications", Cambridge University Press, 1998.
[BS1] M. Brodmann and R. Y. Sharp,On the dimension and multiplicity of local cohomology modules, Nagoya Math. J., 167 (2002), 217-233
[CNN] N. T. Cuong , L. T. Nhan, N. T. K. Nga,On pseudo supports and non-Cohen-Macaulay locus of finitely generated modules, J. Algebra, (SCI), 323 (2010), 3029-3038.
[C] N. T. Cường, On the dimension of the non Cohen - Macaulay locus of local rings admitting dualizing complexes, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 109 (1991), 479-488.
[Mat] H. Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986
[NNK] L. T. Nhan, N. T. K. Nga, P. H. Khanh, Non Cohen-Macaulay locus and non generalized Cohen-Macaulay locus, Comm. Algebra, (SCI), 42 (2014), 4414-4425.