D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN CỦA CHƯƠNG:
3.1. Giao của mặt phẳng với các mặt
3.1.1. Giao của mặt phẳng với đa diện a. Dạng giao
Giao tuyến của mặt phẳng với đa diện là 1 đa giác phẳng:
- Các đỉnh của đa giác giao tuyến là giao điểm của mặt phẳng với các cạnh của đa diện. - Các cạnh của đa giác giao là giao tuyến của mặt phẳng với các mặt bên của đa diện.
Hình 3.1. Giao của mặt phẳng với đa diện.
b. Cách xác định giao tuyến trên đồ thức Phương pháp chung:
- Trước hết phải tìm các đỉnh của đa giác giao tuyến. - Nối các đỉnh sẽ có các cạnh của đa giác giao tuyến.
- Xác định thấy khuất của các cạnh của đa giác giao tuyến trên các hình chiếu .
Ta chỉ nghiên cứu trường hợp đặc biệt: Một hình chiếu của giao tuyến đã biết hoặc mặt phẳng hoặc đa diện là lăng trụ vuông góc với 1 mặt phẳng hình chiếu. Trường hợp này, áp dụng bài toán điểm thuộc đa diện hoặc bài toán điểm thuộc mặt phẳng, ta sẽ tìm được hình chiếu thứ 2 của giao.
3.1.2. Giao của mặt phẳng với mặt cong a. Dạng giao tuyến
- Dạng giao tuyến của mặt phẳng với mặt trụ.
Ta chỉ xét trường hợp giao của mặt phẳng với mặt trụ tròn xoay: + Là đường tròn nếu mặt phẳng vuông góc với trục mặt trụ.
+ Là elip nếu mặt phẳng xiên góc với trục 1 góc θ< 900.
+ Là một hoặc hai đường sinh nếu mặt phẳng song song với trục của mặt trụ.
P1 1 2 3 s A B C
α// đường sinh α⊥đường sinh α x đường sinh
a) α x trụ = đường thẳng b) α x trụ = đường tròn c) α x trụ = elip Hình 3.2. Giao của mặt phẳng với mặt trụ.
- Dạng giao tuyến của mặt phẳng với mặt nón
Xét các vị trí khác nhau của mặt phẳng với nón tròn xoay: + Là đường tròn nếu mặt phẳng α vuông góc với trục nón.
+ Là elip nếu mặt phẳng α cắt tất cả đường sinh nón.
+ Là một hoặc hai đường sinh nếu mặt phẳng α qua đỉnh nón và chứa 1 hoặc 2 đường sinh nón.
+ Là parabol nếu mặt phẳng α song song với 1 đường sinh nón.
+ Là hypebol nếu mặt phẳng α song song với 2 đường sinh nón.
- Giao tuyến của mặt phẳng với mặt cầu là 1 đường tròn.
- Giao tuyến của mặt phẳng với mặt xuyến nói chung là đường cong bậc 4. b. Cách xác định giao tuyến trên đồ thức
Ta chỉ xét các trường hợp đặc biệt, một hình chiếu của giao tuyến đã biết. Đó là trường hợp có một đối tượng là mặt phẳng chiếu hoặc mặt trụ chiếu.
* Giao của mặt phẳng chiếu và mặt cong:
- Giao của mặt phẳng chiếu với mặt cong có một hình chiếu suy biến trùng với hình chiếu suy biến của mặt phẳng.
- Từ hình chiếu đã biết, tìm hình chiếu còn lại theo bài toán vẽ điểm thuộc mặt cong. - Trình tự vẽ hình chiếu thứ 2 của giao tuyến:
+ Xác định dạng hình chiếu của giao tuyến.
α
α
+ Tìm hình chiếu của một số điểm cần thiết thuộc giao tuyến như: các điểm giới hạn thấy khuất (nếu có); điểm cao nhất, thấp nhất; điểm xa nhất, gần nhất…; các điểm xác định dạng đường cong trên hình chiếu.
+ Nối các điểm đã tìm được và xét thấy khuất.
Ví dụ: Vẽ giao tuyến của mặt phẳng chiếu đứng (α) và mặt trụ xiên.
Giải:
- Mặt phẳng cắt trụ theo giao tuyến là elip.
- Hình chiếu đứng của giao là đoạn thẳng 1141 nằm trên α1. - Xác đinh hình chiếu bằng của giao:
+ Xác định hình chiếu bằng của các điểm 1, 2, 3, 4, 5, 6.
+ Với 22, 52 là các điểm giới hạn thấy khuất trên hình chiếu bằng. + Nối các điểm tìm được, ta được elip chiếu bằng.
O1 O2 12 22 32 42 52 62 11 21 31 41 51≡61 nα≡α1 O'1 O'2 x
Hình 3.3. Giao tuyến của mặt phẳng chiếu đứng và mặt trụ xiên.
* Giao của mặt phẳng bất kỳ và mặt trụ chiếu:
- Giao tuyến có một hình chiếu đã biết trùng với hình chiếu suy biến của trụ chiếu. - Từ hình chiếu đã biết tìm được hình chiếu còn lại dựa vào bài toán 1 và 2.
Ví dụ:Vẽ giao tuyến của mặt phẳng α(nα, mα) và trụ chiếu bằng
x 12 12 42 O2 nα mα 22 32 M2 11 21 31 41 M1 O1 N2 N1
Hình 3.4. Giao tuyến của mặt phẳng α(nα, mα) và trụ chiếu bằng
- Hình chiếu bằng của giao suy biến thành đường tròn, trùng với hình chiếu bằng của mặt trụ.
- Hình chiếu đứng của giao là elip, được xác định bằng cách gắn các điểm cần xác định vào các đường thẳng thuộc α (đường 13 là trục dài, đường 24 là trục ngắn của elip). (hình 3.4).