- Dùng sơ đồ đoạn thẳng để dể dàng thấy cách làm Ta cĩ:
2. Toỏn giải bằng phương phỏp tớnh ngược từ cuối.
a. Nội dung: Phương phỏp tớnh ngược từ cuối thường ỏp dụng giải những bài toỏn số học mà việc giải bằng đại số sx dẫn đến một phương trỡnh bậc nhất 1 ẩn số cú dạng x + a ± b = c hay ax ± b = c (trong đú a, b, c là số nguyờn hay phõn số) và thường được tớnh ngược từ cuối bằng cỏc hỡnh vẽ minh họa hay dựng trong phương phỏp ơ đơn vị qui ước ằ.
b. Vớ dụ:
1. Tổng của hai số là 444. Lấy số lớn chia cho số nhỏ được thương là 4 và số dư là 24. Tỡm hai số đú.
Giải: * Bằng số học:
Ta minh họa bài toỏn ở hỡnh vẽ bờn: Như vậy ta thấy 5 lần số nhỏ
Sẽ bằng 444 – 24, do đú một Lần số nhỏ bằng : 444 24 84 5 − = Số lớn là : 444 - 84 = 360 * Bằng đại số: Gọi x là số nhỏ (24 < x < 444) , ta cú : x + 4x + 24 = 444 5x + 24 = 444 5x = 420 x = 84 444 24
Số lớn là : 4x + 24 = 4. 84 + 24 = 360.
………
2. Một cửa hàng mậu dịch, trong tuầm lễ thứ nhất bỏn được một nửa số tấm vải cộng thờm ẵ tấm. Tuần lễ thứ hai bỏn được 1/3 số vải cũn lại cộng thờm 1/3 tấm. Tuần lễ thứ ba bỏn ẳ số vải cũn lại sau lần 2 cộng thờm ắ tấm. Tuần lễ thứ tư bỏn 1/5 số vải cũn lại cộng thờm 1/5 tấm. Tuần 5 bỏn hết 19 tấm cũn lại. Hỏi cửa hàng lỳc đú cú bao nhiờu tấm vải ?
Giải:
* Ta thấy số vải cũn lại sau lần bỏn thứ tư là 19 tấm. Nếu tuần thứ tư khụng bỏn thờm 1/5 tấm thỡ số vải cũn lại là 4/5 số vải. Nghĩa là (19 +1/5) tấm chớnh là số vải cũn lại sau lần 3 và bằng : (19 + 1/5) : 4/5 = 24 (tấm).
* 24 tấm cộng với ắ tấm chớnh là ắ vải cũn lại sau tuần 2 tức bằng : (24 + 3/4) : 3/4 = 33 (tấm).
* 33 tấm cộng 1/3 tấm chớnh là số vải cũn lại sau lần 1, tức bằng : (33 + 1/3) : 2/3 = 50 (tấm)
* 50 tấm cộng ẵ tấm chớnh là 1/2 số vải ban đầu của cửa hàng và bằng : (50 + 1/2) : 1/2 = 101 (tấm).
………..
3. Một người bỏn khoai cho ba người : Người thứ nhất mua ẳ số khoai và 10 kg. Người thứ 2 mua 5/11 số khoai cũn lại và 10 kg. Người thứ ba mua 50 kg khoai cũn lại. Hỏi số lượng khoai đĩ được bỏn là bao nhiờu ?
Giải:
* Số khoai cũn lại sau khi người thứ hai mua là 6/11 số khoai cũn lại khi người thứ nhất mua (kể cả 10 kg của người thứ 2 mua). Số khoai đú là :
50 kg + 10 kg = 60 kg.
* Số khoai cũn lại sau khi người thứ nhất mua là : 60 : 6/11 = 110 (kg) * Số lượng khoai đĩ bỏn là : (110 + 10) : ắ = 160 (kg).
……….
4. Một người ra chợ bỏn cam. Lần thứ nhất bỏn 1/2 số cam cộng thờm 1/2 quả. Lần thứ 2 bỏn 1/2 số cũn lại cộng thờm 1/2 quả. Lần thứ 3 bỏn 1/2 số cũn lại cộng thờm 1/2 qủa. Lần thứ 4 bỏn 1/2 số cũn lại cộng thờm 1/2 qủa thỡ vừa hết. Tớnh số cam của người đú đem bỏn ?
Giải:
Lần thứ tư bỏn 1/2 số cũn lại cộng 1/2 quả thỡ vừa hết nờn 1/2 quả chớnh là 1/2 số cam cũn lại. Vậy số cam cũn lại sau lần bỏn thứ ba là 1 quả.. Lần thứ
ba bỏn 1/2 số cũn lại cộng thờn 1/2 quả thỡ cũn 1 quả nờn 1 1
2 quả chớnh là 1/2
số cam cũn lại. Vậy số cam cũn lại sau lần bỏn thứ hai là 1
1 2 3
2ì = (quả). Lần thứ 2 bỏn 1/2 số cũn lại cộng thờm 1/2 quả thỡ cún 3 quả nờn 1
3 2
quả chớnh là 1/2 số cũn lại. Vậy số cam cũn lại sau lần thứ nhất là 7 quả. Lần thứ nhất bỏn 1/2 số cam cộng 1/2 quả thỡ cũn 7 quả nờn 1
7
2 quả
chớnh là 1/2 số cam. Vậy số cam lỳc đầu cú 15 quả.
……….
5. Một cụng trường giao cụng việc sửa một đoạn đường cho cỏc đội như sau : đội 1 nhận 150 m và 1/9 phần cũn lại, đội 2 nhận 200 m và 1/9 phần cũn lại, đội 3 nhận 250 m và 1/9 phần cũn lại. Cứ chia như vậy cho đến đội cuối cựng thỡ vừa hết và phần đất của mỗi đội bằng nhau. Tớnh số đội tham gia sửa đường và chiều dài tồn bộ quĩng đường cần sửa ?
Giải:
Xột hai đội cuối cựng là đội thứ n – 1 và đội thứ n. Đội thứ n – 1 nhận A một cụng 1/9 số cũn lại hay A + 1
B
9 . Đội thứ n là đội cuối cựng nờn nhận nốt 8
B
9 , hay theo qui luật của bài toỏn, nhận A + 50 m (khụng cũn số cũn lại).
Vỡ số một đường của cỏc đội bằng nhau nờn:
A + 1 1 B = A + 50, suy ra B = 50 9 9 . Đội thứ n nhận 8 B hay 50.5 = 400 (mét). 9 Đú cũng là số đất mỗi đội nhận. 1
ố cịn lại sau khi đội 1 nhận 150 m là 400 - 150 = 250 (m).
9s Do đú
đoạn đường tổng cộng dài : 250 .9 + 150 = 2400 (m).
……….