1 Xích Markov
1.4Định lí giới hạn cơ bản cho xích chính quy
Định lý 1.4.1. (Định lí giới hạn cơ bản của xích chính quy) Nếu P
là ma trận chuyển của xích chính quy thì, lim
n→∞Pn =W
ở đây, W là ma trận với tất cả các hàng bằng nhau, tất cả các phần tử của ma trận W dương ngặt.
Cách chứng minh được đề cập ở đây, ta phải chỉ ra, với bất kì vectơ y nào, Pny tiến tới một vectơ không đổi. Như đã đề cập ở mục 1.3 thì điều này có nghĩa là Pn hội tụ tới ma trận với các cột hằng số hay tương tương với ma trận có các hàng như nhau.
Bổ đề sau đây chỉ ra rằng nếu ma trận chuyển vuông cỡ r không có phần tử nào bằng 0 và y là vectơ cột với r phần tử thì vectơ Pny có các phần tử "gần nhau" hơn các phần tử trong y
Bổ đề 1.4.1. Nếu P là ma trận chuyển cỡ rxr không có phần tử nào bằng không. Nếu d là phần tử bé nhất của ma trận. Và y là vectơ cột có r thành phần, với phần tử lớn nhất là M0 và số bé nhất là m0. Nếu M1 và m1 lần lượt là thành phần lớn nhất và nhỏ nhất của vectơ Py. Khi đó
M1−m1 ≤ (1−2d)(M0 −m0)
Chứng minh. Theo định lí 1.3.1, đã chỉ ra rằng, mỗi phần tử của vectơ Py là trung bình trọng số của các phần tử trong y. Trong số trung bình lớn nhất có thể xảy ra nếu tất cả trừ ra một phần tử của y bằng M0, phần tử bé nhất
còn lại gọi là trọng số dương nhỏ nhất, kí hiệu d. Trong trường hợp này , trọng số trung bình bằng
dm0+ (1−d)M0.
Tương tự, trong số trung bình dương bé nhất bằng dM0+ (1−d)m0.
vì vậy,
M1−m1 ≤ (dm0+ (1−d)M0)−(dM0+ (1−d)m0) = (1−2d)(M0−m0)
Bổ đề đã được chứng minh.
Bây giờ ta trở lại chứng minh định lí giới hạn cơ bản của xích Markov chính quy.
Chứng minh. Ta chứng minh định lí này trong trường hợp đặc biệt , P là ma trận không có phần tử nào bằng 0. Mở rộng cho hầu hết các trường hợp là trong bài tập 5. Nếuy là vectơ cột bất kì với r thành phần, với r là số trạng thái của xích. Giả sử rằng,r > 1, trường hợp khác của định lí là tầm thường. Nếu Mn và mn lần lượt là thành phần lớn nhất và nhỏ nhất của vectơ Pny. Vectơ Pny thu được bằng cách nhânPn−1y với ma trậnP. Vì vậy mỗi phần tử của Pny là trung bình của các thành phần trong Pn−1y. Do đó
M0 ≥ M1 ≥M2 ≥. . .
và
m0 ≤m1 ≤ m2 ≤ . . .
Mỗi dãy là đơn điệu và bị chặn:
Do vậy, mỗi một dãy trong hai dãy này đều có giới hạn khi n→ ∞
Nếu M là giới hạn củaMn và m là giới hạn củamn . Ta biết rằngm≤ M. Ta sẽ chứng minh M −m = 0. điều này có nghĩa là Mn −mn → 0. Giả sử d là phần tử nhỏ nhất của P. Từ giả thiết, tất cả các phần tử của P dương ngặt, ta có d >0. Từ bổ đề trên ta có
Mn−mn ≤ (1−2d)(Mn−1−mn−1) từ điều này ta có
Mn−mn ≤(1−2d)n(M0−m0)
từ giả thiết r ≥ 2 , ta phải chỉ ra d ≤ 1/2 vì thế 0 ≤ 1−2d < 1. Mặt khác Mn −mn → 0 khi n → ∞ Từ việc mọi phần tử của Pny nằm giữa mn và Mn , mỗi thành phần phải tiến tới số giống nhau u =M = m. Điều này xảy ra thì
lim
n→∞Pny= u
với u là vectơ mà tất cả các thành phần đều bằng u.
Bây giờ ta xéty là vectơ với thành phần thứ j bằng 1và tất cả các thành phần khác bằng 0. Khi đó Pny là cột thứ j của ma trận Pn.Điều này chỉ ra rằng, với mỗi j thì tất cả các cột của ma trận Pn tiến tới vectơ cột hằng số giống nhau.Do đó các hàng của ma trận Pn tiến tới một vectơ hàng chung, hay
lim (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
n→∞Pn =W
Việc còn lại, ta phải chỉ ra tất cả các phần tử của W dương ngặt. Như ở trên, nếu y là vectơ với thành phần thứ j bằng 1 và các thành phần bằng 0 thì Py là cột thứ j của P và cột này có tất cả các phần tử dương ngặt. Thành phần nhỏ nhất của vectơ Py được kí hiệu là m1 do vậy m1 > 0 mà m1 < m nên ta có m >0. Chú ý cuối cùng rằng giá trị này của m là thành phần thứ j của w vì vậy tất cả các thành phần của w là dương ngặt.