3 Ứng dụng
3.3.4Mô hình phục vụ đám đông
Giả sử có một của hàng phục vụ. Khách đến xếp hàng để chờ phục vụ và cửa hàng chỉ phục vụ từng khách một. Khi có khách thì cửa hàng phục vụ ngay, khi không có khách cửa hàng sẽ chờ khách đến để phục vụ. Khi cửa hàng đang phục vụ khách nào đó, thì các khách mới có thể tới và ngồi chờ. Giả sử trong mỗi chu kỳ thời gian, cửa hàng chỉ phục vụ một khách và giả sử
số khách đến cửa hàng trong chu kỳ thứ n là ξn có phân phối xác suất như sau: xác suất để có k khách hàng tới trong một chu kỳ cho bởi công thức:
P(ξn =k) = αk;k = 0,1,2. . .;ak > 0,X
k
ak = 1 (phân phối này độc lập với n)
Ta giả thiết rằng ξ1, ξ2, . . . là các biến ngẫu nhiên độc lập. Như vậy (ξn) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối. Trạng thái của hệ (cửa hàng) tại thời điểm đầu của chu kỳ là số khách xếp hàng chờ phục vụ. Nếu hiện tại hệ ở trạng thái i thì sau một chu kỳ hệ rơi vào trạng thái
j = i−1 +ξ nếu i≥ 1, ξ nếu i= 0, (ξ là biến ngẫu nhiên có phân phối (ak) ở trên)
Ta ký hiệu Xn là số khách tại thời điểm xuất phát của chu kỳ n. Khi đó Xn+1 = (Xn−1)++ξn
trong đó X+ = max(0, X). Rõ ràng (Xn) là xích Markov với không gian trạng thái E={0,1,2,. . . } và ma trận xác suất chuyển là
P = a0 a1 a2 a3 a4 . . . a0 a1 a2 a3 a4 . . . 0 a0 a1 a2 a3 . . . 0 0 a0 a1 a2 . . . 0 0 0 a0 a1 . . . Ta chú ý rằng Eξ = P
kak là số trung bình khách tới trong mỗi kỳ phục vụ. Bằng trực giác ta cảm nhận rằng nếu Eξ >1 thì số người xếp hàng (chờ phục vụ) ngày càng tăng. Nếu Eξ <1 thì số người xếp hàng sẽ đạt tới trạng thái cân bằng theo nghĩa sau đây
lim
Trong mô hình này còn hai đại lượng quan trọng nữa cần tính đến. Đó là: • π0 là xác suất không có khách, tức là tỷ lệ thời gian cửa hàng không
có khách so với thời gian cửa hàng mở cửa.
• Thời gian trung bình một khách ở trong cửa hàng bằng P
(1 +k)πk.