1 Xích Markov
1.5.6Định lí giới hạn trung tâm cho xích Markov
Giả sử rằng ta có xích Markov Egođic với các trạng thái{1,2, . . . , k}, Sj(n) là biến ngẫu nhiên chỉ số lần của xích ở trạng thái j trong n bước đầu tiên. Một vấn đề được đặt ra, liệu có tồn tại giới hạn phân phối của biến ngẫu nhiên Sj(n) khi n→ ∞. Câu trả lời là có và cụ thể ta có định lý sau.
Định lý 1.5.3. Với một xích egođic, với bất kì số thực r < s, ta có P r < Sj (n) −nwj q nσj2 < s → √1 2π Z s r e−x2/2dx
khi n→ ∞, với bắt đầu bởi bất kì trạng thái nào, ở đây σj2 là đại lượng được xác định bởi đẳng thức σ2j = 2wjzjj −wj −w2j
Chương 2
Du động ngẫu nhiên
2.1 Du động ngẫu nhiên trong không gian Ơ’clit
Trong chương này ta xét một xích Markov đặc biệt gọi là du động ngẫu nhiên.
Định nghĩa 2.1.1. Giả sử (Xk)∞k=1 là dãy các biến ngẫu nhiên rời rạc, cùng phân phối và độc lập với nhau. Với mỗi số nguyên dương n, ta kí hiệu Sn = X1+X2+. . .+Xn. Dãy (Sn)∞n=1 được gọi là một du động. Nếu miền xác định chung của các Xk là Rm, khi đó ta nói(Sn)∞n=1 là một du động trên
Rm.
Ta thành lập các Xk từ kết quả của các phép thử độc lập. Từ sự độc lập của các Xk cho nên xác suất của bất kì dãy(hữu hạn) kết quả thường nào có thể nhân với xác suất của mỗi Xk cho ta kết quả trong dãy. Vì thế xác suất riêng lẻ này cho bởi phân phối chung của các Xk. Điển hình ta sẽ quan tâm tới việc tìm xác suất của mỗi sự kiện kéo theo liên quan tới dãy của các (Sn). Mỗi sự kiện này có thể được biểu diễn bởi một số hạng trong dãy Xk, vì thế xác suất của chúng có thể tình nhờ vào ý tưởng trên.
Có một vài cách để hình dung về một du động. Người ta có thể tưởng tượng một hạt ở vị trí gốc trong Rm tại n = 0. Tổng (Sn) miêu tả vị trí của hạt ở điểm cuối cùng của n ở bước thứ hai. Vì vậy trong đoạn thời gian [n−1, n], hạt chuyển động (nhảy) từ vị trí (Sn−1) đến (Sn) bằng với (Xn). Điều này có nghĩa là, trong một du động ngẫu nhiên bước nhảy độc lập và có phân phối đồng nhất. Nếu m = 1, vói ví dụ, khi người ta có thể minh họa bằng một hạt trên đường thẳng thực mà bắt đầu ở điểm gôc và kết thúc ở điểm thứ hai, bước nhảy một đơn vị về bên phải hoặc bên trái, với xác suất cho bởi phân phối của (Xk). Nếu m = 2 người ta có thể hình dung như một quá trình đi đến các nơi trong thành phố mà các phố ở dạng vuông góc với nhau tạo thành một hình vuông. Một người bắt đầu ở một góc ( tức là ở chỗ giao nhau giữa hai dãy phố) và đi theo một trong bốn hướng có thể như với phân phối của (Xk). Nếu m = 3 người ta có thể minh họa như một người tập thể hình mà có thể tự do di chuyển theo một trong sáu hướng (trái, phải, tiến về phía trước, lùi về phía sau, lên trên, xuống dưới).Và các xác suất này cho bởi phân phối của (Xk).
Một mô hình khác của du động ngẫu nhiên ( sử dụng trong các hầu hết các trường hợp mà miền xác định là R) là một trò chơi, mà tồn tại một dãy các di chuyển độc lập và cùng phân phối. Tổng (Sn) miêu tả số điểm của người chơi thứ nhất, tức là sau n cách di chuyển với giả thiết rằng, điểm của người thứ hai là −(Sn). Ví dụ, hai người búng đồng tiền, với thắng một trận hoặc không trận được miêu tả lần lượt bởi 1 hoặc −1, cho người chơi đầu tiên. Tuy nhiên một đồng tiền được búng với mặt ngửa và mặt sấp tương ứng với 1 và −1 cho người chơi thứ nhất.
2.1.1 Du động ngẫu nhiên trên đường thẳng thực
Trước tiên ta sẽ xét trường hợp đơn giản, tầm thường của du động ngẫu nhiên trong R1 tức là trường hợp mà hàm phân phối chung của các biến
ngẫu nhiên (Xn) được cho bởi fX(x) = 1/2 nếu x =±1 0 các trường hợp khác
Vị trí này tương ứng với vị trí cân bằng của đồng tiền, với Sn miêu tả số lượng các điểm đầu trừ đi số lượng các điểm cuối của đồng tiền trong n lần búng đầu tiên. Ta chú ý rằng, tất cả các quỹ đạo có độ dài bằng n đều có xác suất giống nhau và bằng 2−n
Đôi khi việc nói về du động như một đa giác phẳng hoặc quỹ đạo trong mặt phẳng mà trục nằm ngang biểu diễn thời gian và trục thẳng đứng miêu tả giá trị của Sn. Cho một dãy {Sn} của tổng riêng, đầu tiên ta xác định đồ thị của các điểm (n, Sn) trên và với k < n ta nối (k, Sk)và (k+ 1, Sk+1) như một đoạn thẳng. Độ dài của đồ thì là khoảng cách từ điểm đầu đến điểm cuối trên đồ thị. Ta có thể xem chỉ dẫn ở hình 2.1.