3 Ứng dụng
3.3.2 Mô hình quản lý tiến mặt
Giả sử Xn là mô hình quản lý tiền mặt của ngân hàng nào đó tại chu kỳ thứ n.
Giả thiết rằng {Xn} lập thành du động ngẫu nhiên theo nghĩa P(Xn+1 = k±1|Xn = k) = 1/2.
Ngân hàng định ra hai mứcs và S (0 < s < S)để giữ tiền mặt theo cách sau: nếu hết tiền mặt thì bán ngân phiếu để giảm tiền mặt xuống mức s. Hình vẽ sau là ví dụ mô tả {Xn} trong trường hợp s = 2 và S = 5
Ta thấy rằng lượng tiền mặt dao động theo các chu trình bắt đầu từs và kết thúc tại S hoặc 0. ta cần ước lượng độ dài trung bình của chu trình và số tiền tổng cộng trung bình của chu kỳ. Với mục đích đó ta đặt
T = min{n≥ 0|Xn = 0 hoặc Xn =S}, vs = E[T|X0 =s]
Như vậy thì T lầ thời điểm chuyển đổi thứ nhất, tức là thời điểm thứ nhất ngân hàng quyết định mua hoặc bán ngân phiếu,vs là thời gian trung bình của chuyển đổi thứ nhất hoặc độ dài trung bình của chu trình.
Ta biết rằng vs = s(S −s). Bây giờ ta cố định trạng thái bất kỳ k tính đến thời điểm T xuất phát từ X0 = s. Ta có:
Wsk = 2[s
S(S−k)−(s−k)+với(s−k)+ = max{0,(s−k)}
Từ đây ta nhận được lượng trung bình toán bộ tiền mặt đã từng có trong tay ngân hàng đến thời điểm T xuất phát từ X0 = s bằng cách nhân Wsk với hệ số k rồi cộng lại thành
Ws = S−1 X k=1 kWsk = 2[ S−1 X k=1 k(S −k)− s−1 X k=1 k(s−k)] = 2 s S S(S−s)(S + 1 6 − s(s−1)(s+ 1 6 = s 3 S2−s2
Khi đã có kết quả này cho từng chu trình, ta sẽ dùng chúng để ước lượng dáng điệu tương lai của mô hình. Chú ý rằng mỗi chu trìnhbắt đầu từ mức tiền mặt s và các chu trình là độc lập. Giả sử K là giá cố định của mỗi lần chuyển đổi; Ti là độ dài của chu trình thứ i và Ri là giá trách nhiệm giữ tiền trong tay trong khoảng thời gian này (tức là nếu giá trách nhiệm trong mọt ngày là r thì trách nhiệm giữ tiền mặt trong Ti ngày là Ri = rTi). Giá trung bình trên một đơn vị thời gian là
giá trung bình = nK +R1+. . .+Rn T1+. . .+Tn
Chia tử và mẫu cho n rồi cho n → ∞, theo luật số lớn ta có giá trung bình trong tương lai= K +ERi
ETi
Giả sử r là giá trách nhiệm trên một đơn vị thời giân để giữ tiền mặt trong tay ngân hàng. Khi đó, ERi = rWn, còn ETi = vn. Vì các đại lượng này đã tính ở trên nên
giá trung bình trong tương lai = K+ (1/3)rs(S
2 −s2 s(S −s)
Đặt x =s/S. Công thức trên viết dưới dạng hàm của x là giá trung bình trong tương lai = K+ (1/3)rS
3x(1−x2 S2x(1−x)
Để tính giá làm cực tiểu s và S, ta dùng phương pháp đạo hàm. Kết quả là xmin = 1/3, Smin = 3smin = 3 3
r
3K 4r
Đó là giá trị cân bằng tối ưu giữa giá chuyển đổi và giá trách nhiệm để giữ tiền mặt trong tay ngân hàng.