Phương pháp Nicolson – Ross – Weir [27] thường được sử dụng để tính toán các tham số (chiết suất, trở kháng, độ điện thẩm và độ từ thẩm) của một vật liệu dưới dạng phức thông qua dữ liệu phản xạ và truyền qua đo được. Năm 2004, trên cơ sở đó, nhóm của Chen [6] đã đề xuất một phương pháp tốt hơn để tính được các tham số hiệu dụng áp dụng cho vật liệu MM. Trước khi đi vào chi tiết phương pháp tính toán, một vài điểm quan trọng cần phải được lưu tâm
Thứ nhất, các tham số có dạng phức nhằm phản ánh bản chất tổn hao vốn có của môi trường. Trong quá trình tính toán, ta phải đảm bảo rằng các tham số này sẽ không vi phạm bất kỳ định luật vật lý nào. Trên thực tế, việc sử dụng các điều kiện vật lý sẽ cho phép ta giới hạn kết quả về 1 nghiệm duy nhất.
Thứ hai, các tham số này phụ thuộc theo tần số và có thể nhận giá trị rất lớn khi gần vị trí cộng hưởng. Đặc điểm này của vật liệu MM sẽ khiến cho việc xác định chỉ số nhánh (giá trị cho biết số lượng các bước sóng truyền bên trong 1 bản vật liệu) trở nên phức tạp hơn.
Dựa vào các nhận định trên, trước tiên ta sẽ viết biểu thức của các tham số tán xạ
Sphụ thuộc vào chiết suấtnvà trở khángzcủa môi trường.
S11= R01(1−e2ink0d)
1−R201e2ink0d (2.1)
S21 = (1−R201)eink0d
1−R201e2ink0d (2.2)
trong đóR01= (z−1)/(z+1). Ta có thể tính ngược lại và thu được các phương trình sau z=± s (1+S11)2−S221 (1−S11)2−S221 (2.3) eink0d =X±ip1−X2 (2.4)
ở đó X = (1−S112 +S221)/(2S21). Áp dụng ý nghĩa vật lý của môi trường thu động, dấu của các phương trình (2.3) và (2.4) được xác định bởi các điều kiện:
z0≥0 (2.5)
n00≥0 (2.6)
với dấu0,00 là ký hiệu tương ứng với phần thực và phần ảo. Tuy nhiên, sự phức tạp lại nằm ở chỉ số nhánh trong công thức chiết suất thu được từ phương trình (2.4):
n= 1 k0d ln(eink0d)00+2mπ −ihln(eink0d)i0 (2.7) ở đómlà chỉ số nhánh và có giá trị nguyên. Dưới đây ta sẽ chỉ ra một số vấn đề của các phương trình trên và cách giải quyết các vấn đề đó.
1. Chiết suất nvà trở khángzcó thể được xác định nhờ phương trình (2.3), (2.4) với các điều kiện (2.5), (2.6). Tuy nhiên, cách tính toán này có 1 nhược điểm. Cả mô phỏng và đo đạc thực nghiệm đều có thể cho ra các thông số tán xạ có sai số và sẽ dẫn đến các sai số của n vàz. Các giá trị sai số này tuy nhỏ nhưng sẽ gây ra sự đổi dấu tại những vị trí mà các tham số có giá trị xấp xỉ 0. Vấn đề này có thể được xử lý bằng cách đưa vào giá trị ngưỡng cho các điều kiện (2.5) và (2.6). Cụ thể, khi giá trị tuyệt đối củaz0 lớn hơn giá trị ngưỡng, điều kiện (2.5) có thể được áp dụng. Với các trường hợp còn lại, dấu của trở kháng sẽ tương ứng với giá trị của chiết suất có phần ảo không âm. Điều kiện này tương đương với|eink0d| ≤1với
eink0d = S21
1−S11zz−+11 (2.8)
2. Việc xác định chỉ số nhánh m của vật liệu MM tương đối phức tạp. Thông thường, bằng cách chọn mẫu ngắn, ta có thể đảm bảo rằng mẫu nhỏ hơn 1 bước sóng và do đó có thể mặc định chọnm=0là nghiệm. Kỹ thuật này được áp dụng phù hợp cho các điện môi thông thường mà ở đó các tham số có giá trị rất nhỏ trong vùng tần số đang xét và sự biến đổi của chúng theo tần số cũng là rất nhỏ. Tuy nhiên, trong trường hợp của MM, các tham số có thể nhận các giá trị rất lớn tại các vùng tần số thấp ứng với mô hình Drude hoặc tại lân cận vị trí cộng hưởng ứng với mô hình Lorentz. Vì thế, việc chọn mẫu có độ dày nhỏ sẽ không thể đảm bảo được nó sẽ nhỏ hơn 1 bước sóng.
với tần số ban đầu là xác định. Phần ảo của độ từ thẩm và độ điện thẩm được biểu diễn như sau
µ00=n0z00+n00z0 (2.9)
ε00= (n00z0−n0z00)/|z|2 (2.10) Điều kiện môi trường thụ động dẫn đến
|n0z00| ≤n00z0 (2.11)
Tại các tần số thấp,n00 thường gần với 0 và do đón00z0 là nhỏ. Vì giá trị củaz00 có thể không nhỏ nên n0 sẽ phải nhỏ và giá trị m có thể được xác định dựa trên điều kiện (2.11). Nghiệm thu được có thể là duy nhất hoặc nhiều nghiệm. Với trường hợp sau, các nghiệm này sẽ được kiểm tra để đảm bảo rằng điều kiện (2.11) cũng phải được thỏa mãn ở tất cả các tần số tiếp theo. Quá trình này thường sẽ cho ta nghiệm duy nhất thỏa mãn.
Bước thứ hai là xác định nhánh chính xác ứng với tất cả các tần số tiếp theo. Điều này có thể được thực hiện bằng cách lợi dụng tính liên tục của độ điện thẩm và độ từ thẩm, đồng thời bổ sung thêm mô hình lặp dựa trên các tham số đã xác định được tại tần số đầu tiên. Cụ thể, ta sẽ tiến hành khai triển Taylor
ein(f1)k0(f1)d 'ein(f0)k0(f0)d(1+∆+1
2∆
2) (2.12)
ở đó ∆=in(f1)k0(f1)d−in(f0)k0(f0)d,k0 là số sóng trong chân không, f0 là tần số ban đầu mà các tham số đã được xác định, f1 là tần số kế tiếp. Vì vế trái đã được xác định từ (2.8), phương trình (2.12) là phương trình bậc 2 ứng với biếnn(f1)và do đó sẽ có 2 nghiệm. Nghiệm được chọn bằng cách so sánh phần ảo của chúng với giá trị
n00(f1)thu được từ công thức (2.7). Nghiệm nào gần nhất sẽ được chọn và ký hiệu là
n0. Chỉ số nhánh mtrong (2.7) được xác định sao cho n0(f1)gần vớin00 nhất.
3. Các tham số thường rất nhạy với nhiễu. Sự nhạy cảm này chủ yếu xảy ra ở hai trường hợp, khi giá trị truyền qua gần với 0 hoặc 1. Ở trường hợp đầu, |S21| gần với 0 sẽ gây ra sự biến đổi lớn trong giá trị của chiết suất (các vạch thẳng đứng quan sát được trong phổ giá trị). Vấn đề này có thể tránh được bằng cách giải giá trị củaztrước. Trường hợp sau lại ngược lại, giá trị củanlà ổn định và giá trị củazlà không ổn định.
Do đó, ta sẽ tính giá trị củantrước trong trường hợp này.
4. Vấn đề cuối cùng là ta phải xác định chính xác vị trí các biên của môi trường hiệu dụng. Vấn đề này có thể giải quyết dựa trên điều kiện môi trường đồng nhất có nghĩa là các tham số hiệu dụng thu được phải không đổi ứng với các bản vật liệu có độ dày khác nhau. Phương pháp được các tác giả đưa ra là giải bài toán cực tiểu hóa sai khác giữa các trở kháng ứng với độ dày khác nhau. Các biên nào thỏa mãn điều kiện này sẽ là biên của môi trường hiệu dụng. Nhìn chung thuật toán này là khá phức tạp. Cuối cùng, các tác giả cũng đã chỉ ra rằng trong trường hợp cấu trúc là đối xứng, các biên hiệu dụng sẽ trùng với các biên của ô cơ sở của vật liệu MM.
KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN
Trong chương này, luận văn sẽ trình bày các kết quả đã đạt được. Mục 3.1 là kết quả xây dựng chương trình tính toán các tham số điện từ hiệu dụng. Mục 3.2 nghiên cứu siêu vật liệu có độ từ thẩm âm hoạt động ở vùng tần số THz. Siêu vật liệu có dải tần hoạt động rộng và siêu vật liệu có khả năng tùy biến được trình bày lần lượt ở mục 3.3 và 3.4.