Một số dạng hàm kộo theo cụ thể

Cho T là t - chuẩn, S là t - đối chuẩn, n là phộp phủ định mạnh

1.4.2.1. S - Implication

* Định nghĩa 1.25: Hàm IS(x, y) xỏc định trờn [0, 1]2

bằng biểu thức:

IS(x, y) = S(n(x), y)

Rừ ràng ẩn ý sau định nghĩa này là cụng thức từ logic cổ điển (PQ)  (PQ)

Với bất kỳ t - đối chuẩn S và phộp phủ định mạnh n nào, IS đƣợc định nghĩa nhƣ trờn là một phộp kộo theo.

* Chứng minh: (Ta kiểm chứng IS từng tiờn đề của định nghĩa 1.23).

a) Tiờn đề I6: Cho x  z. Vỡ IS(x, y) = S(n(x), y). Ta chỉ xột trƣờng hợp x  z, khi ấy n(x)  n(z). Do t - đối chuẩn khụng giảm theo hai biến

IS(x, y) = S(n(x), y)  S(n(z), y) = IS(z, y).

b) Tiờn đề I7: Cho y  t, khi đú IS(x, y) = S(n(x), y)  S(n(x), t) = IS(x, t), với x

c) Tiờn đề I8: IS(0, x) = S(n(0), x) = S(1, x)  max(1, x) =1, vậy IS(0, x) =1,

với x

d) Tiờn đề I9: IS(x, 1) = S(n(x), 1)  max(n(x), 1) =1, vậy IS(x, 1) =1, với x. e) Tiờn đề I10: IS(1, 0) = S(n(1), 0) = S(0, 0) = 0, vậy IS(1, 0) = 0,

IS là một phộp kộo theo của logic mờ thoả món định nghĩa 1.23.

1.4.2.2. R - Implication

* Định nghĩa 1.27: Cho T là một t - chuẩn, hàm IT(x, y) xỏc định trờn [0, 1]2 bằng biểu thức:

IT(x, y) = supu:T(x, u)  y  * Định lý 1.28:

Với bất kỳ t - chuẩn T nào, IT đƣợc định nghĩa nhƣ trờn là một phộp kộo theo.

* Chứng minh: (ta kiểm chứng IT từng tiờn đề của định nghĩa 1.23)

a) Tiờn đề I6: Cho x  z. Vỡ IT(x, y) = sup{u: T(x, u)  y}. Do t - chuẩn T khụng giảm theo hai biến, nờn T(x, u)  T(z, u) và do vậy:

{u: T(z, u)  y}{u: T(x, u)  y}.

sup{u: T(z, u)  y}  sup{u: T(x, u)  y}.

Hay IT(z, y)  IT(x, y), với mọi y. Đú chớnh là điều kiện I6.

{u: T(x, u)  y}{u: T(x, u)  t}.

sup{u: T(x, u)  y}  sup{u: T(x, u)  t}.

Hay IT(x, y)  IT(x, t), với mọi x. Đú chớnh là điều kiện I7.

c) Tiờn đề I8: T(0, x) = x với bất kỳ u nào ta cú 0  u  1. Do vậy T(0, u)  x, suy ra sup{u: T(0, u)  x} = 1, với x. Hay IT(0, x) = 1. Đú chớnh là điều kiện I8.

d) Tiờn đề I9: IT(x, 1) = 1 là hiển nhiờn với x.

e) Tiờn đề I10: Do IT(1, 0) = sup{u: T(1, u)  0}, điều này dẫn tới T(1, u) = 0. Sử dụng tớnh chất T(1, u) = u của t - chuẩn, chỉ cú u = 0 thoả món đẳng thức, tức là T(1, 0) = 0. Vậy I10 thoả món.

Vậy IT là một phộp kộo theo của logic mờ thoả món định nghĩa 1.23.

Nhƣ đó nhận xột từ đầu, cú rất nhiều con đƣờng muốn xỏc định phộp kộo theo. Phộp kộo theo sau đõy, núi chung khụng thoả món tiờn đề 1, nhƣng đƣợc nhiều tỏc giả sử dụng, ý chớnh của phộp kộo theo này bắt nguồn từ biểu diễn phộp P  Q theo lý thuyết tập hợp.

Nếu P, Q biểu diễn dƣới dạng tập hợp trong cựng một khụng gian nền thỡ (P  Q) = (P  (P  Q)).

Sử dụng T là t - chuẩn, S là t - đối chuẩn, n là phộp phủ định, thỡ cú thể nghĩ tới dạng: I(x, y) = S (T(x, y), n(x))

Lập luận tƣơng tự khi cho P và Q trờn cỏc khụng gian nền khỏc nhau cũng cú thể dẫn tới cựng dạng hàm I(x, y) này.

1.4.2.3. QL - Implication

Nhƣ đó nhận xột từ đầu, cú rất nhiều con đƣờng muốn xỏc định phộp kộo theo. Phộp kộo theo sau đõy núi chung khụng thỏa món tiờn đề thứ nhất nhƣng đƣợc nhiều tỏc giả sử dụng, ý chớnh của phộp kộo theo này bắt nguồn từ biểu diễn phộp P Q theo lớ thuyết tập hợp.

Nếu P, Q là cỏc mệnh đề trong logic cổ điển hay ta biểu diễn dƣới dạng tập hợp trong cựng một khụng gian nền thỡ (PQ) = (P(PQ).

Sử dụng T là t - chuẩn, S là t - đối chuẩn, n là phộp phủ định, thỡ cú thể nghĩ tới dạng: I(x, y)=S(T(x, y), n(x))

* Định nghĩa 1.29: Cho (T, S, n) là một bộ ba De Morgan với n là phộp phủ định mạnh, phộp kộo theo thứ ba IQL(x, y) (từ Logic lƣợng tử - Quantum Logic) xỏc định trờn [0, 1]2

bằng biểu thức:

IQL(x, y)=S(T(x, y), n(x)),  0 x y, 1.

* Vớ dụ: Chọn T(x, y)= xy, S(x, y) = x+y-xy, ta đƣợc:

IQL(x, y) = S(xy, (1-x)) = xy+(1-x)-xy(1-x). Từ đú IQL(x, y) = 1-x+x2y. Ta cú hỡnh vẽ sau: Hỡnh 1.18: Đồ thị IQL= 1-x+x2y Chọn n(x)-1-n, T x y , maxx y 1,0; S x y , minx y , 1 cú:                 , max 1, 0 , 1 min max 1, 0 1 ,1 min max , 1 , 1 QL I x y S x y x x y x y x           

Do y1 nờn luụn cú: max( ,1- ) 1y x  . Khi đú ta đƣợc

 ,  max , 1  QL I x y  y x . Hỡnh vẽ nhƣ sau: 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 y x z Hỡnh 1.19: Đồ thị IQL= max(y,1-x)

Chọn T(x, y)=Z(x, y), S(x, y)=Z’(x, y). Xột lần lƣợt cỏc trƣờng hợp: + Nếu max( , ) 1x y  thỡ ta cú T(x, y) = Z(x, y) = 0, khi đú:

         , , , ’ 0,1 max(0,1 ) 1 QL I x y S T x y n x Z x x x        do min(0, 1-x)=0)

+ Nếu x = 1, ta cú T(x, y) = Z(1, y) = min(1, y) = y, khi đú

IQL(x, y) = S(T(x, y), n(x)) = Z’(y, 1-1) = Z’(y, 0) = y

+ Nếu y =1; x < 1 ta cú: T(x, y) = Z(x, 1) = min(x, 1) = x, khi đú

IQL(x, y) = S(T(x, y), n(x)) = Z’(1, 1-x) = Z’(y, 0) = y= 1 (vỡ x <1 nờn min(1, 1-x) =1-x >0) Túm lại ta cú: 1 ( , ) 1 1 1 nếu nếu khác đi QL y x I x y y x         1.4.2.4. A-implication

Cú nhiều toỏn tử kộo theo mờ đó đƣợc đƣa ra. Hầu hết chỳng đều thuộc vào một trong hai loại: cỏc phộp toỏn kộo theo đƣợc dựa trờn biểu diễn rừ của phộp kộo theo A  B dƣới dạng &,  , (Vớ dụ: S- kộo theo đƣợc biểu diễn bằng cụng thức B  A), và R - kộo theo dựa trờn một biểu diễn ẩn của kộo theo AB. Tuy nhiờn một vài toỏn tử kộo theo mờ (nhƣ ba) khụng đƣợc biểu diễn một cỏch tự nhiờn dƣới dạng này. Để miờu tả thao tỏc này, ta đƣa ra một lớp mới (lớp thứ ba) của toỏn tử kộo theo gọi là A-implication cú mối liờn quan với &,  , đƣợc miờu tả bởi một tiờn đề của Elsevier.

Xột toỏn tử kộo theo f( , )a b bavà f(0, 0)1 xuất hiện đối với toỏn tử & đơn giản nhất ( f&( , )a b a b. ) nếu thờm vào S- và R- kộo theo. Ta đƣa ra một loại mới của toỏn tử kộo theo mà ta gọi là A- kộo theo bởi chỳng đƣợc xỏc định duy nhất bằng một số tiờn đề phự hợp. Ta mụ tả tiờn đề này nhƣ sau:

f: [0, 1]ì[0, 1]  [0, 1] và f: [0, 1]  [0, 1].

+) (I0): Với mỗi a, b  {0, 1}, phộp  đƣợc phự hợp với phộp kộo theo cổ điển. Vớ dụ: ab =1 trừ khi a =1, b = 0, trong cỏc trƣờng hợp khỏc thỡ a b = 0

* Định nghĩa 1.30: Ta núi hàm f: [0, 1]ì[0, 1] [0, 1] thỏa món tiờn đề (I0) nếu

f (0, 0) = f (0, 1) = f (1, 1) = 1 và f (1, 0) =0.

+) (I1): a  (b&c)  (ab) & (ac)

* Định nghĩa 1.31: Ta núi rằng hàm f: [0, 1]x[0, 1] →[0, 1] thỏa món tiờn đề (I1)

nếu f(a,f&(b,c)) f&(f(a,b),f(a,c))với mọi a, b và c

*Kết quả:

Cho f&(a,b)=a.b; f(a)=1 f&( , )a b a b. ; f( ) 1a  a.Ta giả sử rằng một ( , )

f a b là liờn tục tại mọi điểm của (a, b), cú thể trừ điểm (0, 0) và điểm (1, 1).

Khi đú:

Nếu f thỏa món (I0) và (I1) thỡ hàm f cú dạng sau:

f(a,b)= bp(a) ; a,b(0,1)

* Chứng minh:

Trƣớc tiờn chỳng ta nhỡn những gỡ ta kết luận từ (I0) và (I1). Với mọi a(0, 1), ta biểu thị f (a, b) bằng fa(b). Khi đú, theo (I1) thỡ hàm fa thỏa món tớnh chất

fa(b.c) = fa(b) fa(c). Vỡ f liờn tục, hàm fa cũng liờn tục do đú kết quả của cỏc hàm này là:

Hoặc fa(b)= 0

Hoặc fa(b) = bp(a) với p phụ thuộc vào a.

Chỳng ta chỉ ra rằng trƣờng hợp fa(b) =f (a, b) = 0 với mọi a, b (0, 1) là khụng thể xảy ra.

Thật vậy, trong trƣờng hợp này từ giả thiết tớnh liờn tục của hàm f ta nhận đƣợc f (0, 1)=

0

lim ( ,1 )

s f  

  =lim 0 = 0. Trỏi với (I0)

Từ b < 1 và f(a, b)  1 ta kết luận rằng p(a)  0. Do f liờn tục, hàm p(a)

cũng liờn tục.

Vậy, một hàm f thỏa món (I0) và (I1) thỡ nú cú dạng f (a, b) = bp(a) với mọi a, b  (0, 1).