a) Phương trình - cách vẽ:
Như đã biết trong hình học giải thích: phương trình tham số của một vòng tròn trong hệ toạ độ đề các oxy là:
Nếu chúng ta lập một hệ trục toạ độ - và chú ý đến nhận xét trên thì sẽ thấy
ngay hệ phương trình (3.1) cũng chính là phương trình tham số của một vòng tròn, ta sẽ viết phương trình chính tắc của vòng tròn này bằng cách chuyển thừa số
2
σ σx y trong phương trìnhđầu của (3.1) sang trái rồi bìnhphương cả hai về ta có:
Khai triển vế phải rồi cộng từng vế hệ phương trình (c) tađược:
Vòng tròn thể hiện bởi phương trình (3.2) có tâm nằm trên trục cách gốc toạ độ
một đoạn là c và có bán kính là R. Đó chính là vòng tròn Moứng suất
được qua hệ phương trình (3.1) nếu đã biết vị trí của mặt cắt. Nói khác đi hệ phương
trình (3.1) là cách biểu dẫn giải tích trạng thái ứng suất tại một điểm. Rõ rằng là vòng tròn vẽ theo hệ phương trình (3-8) chính là cách biểu diễn hình học trạng thái ứng suất
của điểm đó. Ta có thể chứng tỏ rằng mỗi điểm trên vòng tròn tương ứng vớimột mặt
cắt nghiêng và toạ độ của điểm đó chính là giá trị của ứng suất trên mặt cắt nghiêng
đó. Để về vòng Mo ta tiến hành như sau:
* Lập hệ trục - trong đó trục chọn song song với phương x. Trục song song với phương y.
* Trên trục đặt một đoạn0E =x và 0F =y
* Dựng các đoạn E0 =xyvà F0' =yxvuông gác với trục. * Nối D và D', đoạn DD' cắt trụcở C.
* Về vòng tròn lâm C bán kính CDđó chính là vòng Moứng suất.
Thật vậy vòng tròn này có các thông số:
b) Công cụ của vòng Mo
Trong phần này ta sẽ dùng vòng Mođể giải quyết bài toán xác định ứng suất trên các mặt cắt xiên có pháp tuyến tạo với trục x một góc , xác định phương chính là ứng
suất chính (hình 35). Trên vòng tròn to xác định một điểm P có toạ độ (y, xy) gọi là
TừP kẻ tia song song với phươngpháp tuyến của mặt cắt xiên. Tia này cắt vòng Mo tại điểm M. Ta sẽ chứng tỏ rằng toạ độ của điểmM chính là và.
Thật vậy, trên hình vẽ ta có:
Tương tự như trên:
Vì phương pháp dùng vòng Mo là phương pháp hình học nên việc tính ứng suất
trên mặt cắt có thể thực hiện bằng cách sử dụng các tương quan hình học phẳng hoặc đo theo tỷ lệ xích.
Như đã nói, mỗi điểm trên vòng Mo tương ứng với mộtmặt cắt ta nó ta sẽ chú ý
Hai điểm A và B có hoành độ (ứng suất pháp) lớn nhất và nhỏ nhất còn tung độ
(ứng suấttiếp), bằng không. Như vậy hai điểm thường thể hiện hai mặt chính cần tìm. Nối các tia PA và PB ta có hai phương chính. Các ứng suấtchính sẽ là:
A =2;B =1 và3 = 0 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- Hai điểmI và J có tung độ lớn nhất và nhỏ nhất, nó thể hiện các mặt cắt có ứng
suất tiếp cực đại và cực tiểu. Rõ rằng là các mặt này nghiêng so với mặt chính một góc
45o.
Phân tố chính vàứng suất chính là duy nhất không phụ thuộc vào cách chọn hệ
trục toạ độ nếu ta xoay hệ trục toạ độ đi một góc 90o tức là chọn trục || y còn trục
|| x thì cực P phải lấy toạ độ là (x,xy)
Ví dụ: Phân tố có ứng suất như hình vẽ. Hãy xác định phương chính ứng suất
chính,ứngsuất tiếp cực đại và cực tiểu nếu biếtx = - 200 MN/m2,y = - 400 MN/m2.
xy = - 200 MN/m2. Bài giải:
Vòng Mo ứng suất vẽ được như hình (36b). Các ứng suất của phân tố âm nên vòng Mo nằm hoàn toànở bên trái trục.
Điểm cực P (y,xy) nằm phía dước trục hoành.
Ứngsuất tại A và B mang dấu âm vì cácđiểm A và B nằm ở phía tráitrục.Ứng suất chính là2và3 vì trị số1 = 0.
Giá trị của ứng suất tiếp chính là bản kính của vòng Mo:
Góc giữa phương chính thứ hai và trục x ký hiệu là2. Trên hình vẽ ta có:
Thấy ngay rằng góc giữa phương chính thứ ba và trục x sẽ là: