Mụ hỡnh Logistic là mụ hỡnh hồi quy cú biến phụ thuộc là biến giả do nghiờn cứu kinh tế lượng người ta nhận thấy rằng trong đời sống hiện nay cú rất nhiều hiện tượng, quỏ trỡnh mà khi thiết lập mụ hỡnh kinh tế lương, biến phụ thuộc khú cú thể lượng húa được nờn cần phải dựng đến biến giả để mụ tả.
1.1. Mụ hỡnh Logistic - Phương phỏp Goldberger
Trong mụ hỡnh này, cỏc pi được xỏc định bằng:
pi = = = (1.1)
Trong mụ hỡnh trờn, pi khụng phải là hàm tuyến tớnh của cỏc biến độc lập. Phương trỡnh (1.1) được gọi là hàm phõn bố Logistic. Trong hàm này, khi X, β nhận cỏc giỏ trị từ -∞ đến +∞ thỡ p nhận giỏ trị từ 0 đến 1. pi phi tuyến với cả X và cỏc tham số β. Điều này cú nghĩa là ta khụng thể ỏp dụng trực tiếp phương phỏp bỡnh phương nhỏ nhất (Ordinary Least Square - OLS) để ước lượng. Người ta dựng phương phỏp ước lượng hợp lý tối đa để ước lượng β.
Vỡ Y chỉ nhận một trong hai giỏ trị 0 và 1, Y cú phõn bố nhị thức, nờn hàm hợp lý với mẫu kớch thước n dạng sau đõy:
L =
L = =
Đặt t* = , t* là vectơ hai chiều (số hệ số hồi quy). Ta cần tỡm ước lượng hợp lý tối đa của β, ta cú:
Ln(L) = β’ t* -
= S(β) = - + t* = 0 (1.2)
S( ) = - + t*
Phương trỡnh trờn phi tuyến đối với β, người ta sử dụng phương phỏp Newton Raphson để giải hệ phương trỡnh này.
I( ) = E(- ) = E( )
=
=
I(β) được gọi là ma trận thụng tin. Nếu như là nghiệm của S( ), khai triển Taylor tại β, ta cú:
S( ) = + ( - β)
- β = - S(β) = S(β)
Ta cú quỏ trỡnh lặp như sau:
Bắt đầu với giỏ trị ban đầu nào đú của β, chẳng hạn , ta tớnh được S( ) và I( ), sau đú tỡm β mới bằng cụng thức sau đõy:
= + S( )
Quỏ trỡnh lặp trờn sẽ được thực hiện cho đến khi hội tụ. Do I(β) là dạng toàn phương xỏc định dương, nờn quỏ trỡnh trờn sẽ cho ước lượng hợp lý cực đại. Tương ứng với , ta cú + là ma trận hiệp phương sai của . Chỳng ta sử dụng ma trận này để kiểm định giả thiết và thực hiện cỏc suy đoỏn thống kờ khỏc.
Sau khi ước lượng được , ta cú thể tớnh được ước lượng xỏc suất = P(Y=1/ )
=
Kết hợp với (1.3) ta cú: =
Phương trỡnh này dựng để kiểm nghiệm lại cỏc
Như vậy trong mụ hỡnh Logit chỳng ta khụng nghiờn cứu ảnh hưởng trực tiếp của biến độc lập Xk đối với Y mà xem xột ảnh hưởng của Xk đến xỏc suất để Y nhận giỏ trị bằng 1 hay kỳ vọng của Y.
Ảnh hưởng của Xk đến pi được tớnh như sau:
k X pi ∂ ∂ = = pi(1-pi)βk
1.2. Mụ hỡnh Logistic - Phương phỏp Berkson (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Phương phỏp này xỏc định pi = = bằng cỏch tuyến tớnh húa
= =
Ln( ) = Zi = β1 + β2Xi (1.3) Đặt Li = Ln( ) + ui = β1 + β2Xi + ui (1.4)
L khụng chỉ tuyến tớnh đối với biến số mà cũn tuyến tớnh đối với tham số. Do chưa biết pi nờn chỳng ta sẽ sử dụng ước lượng của pi. Giả sử rằng mẫu cú Ni giỏ trị Xi, trong Ni quan sỏt này chỉ cú ni giỏ trị mà Yi = 1, khi đú ước lượng điểm của pi là = . Chỳng ta dựng để ước lượng mụ hỡnh
= Ln( ) =
Phõn bố của Y là A(p), với Ni quan sỏt ta cú kỳ vọng Nipi, phương sai Nipi(1- pi). Do đú theo định lý giới hạn trung tõm, khi Ni khỏ lớn thỡ ui sẽ tiệm cận chuẩn N(0,1/(Nipi(1-pi))). Như vậy (1.4) cú phương sai của sai số thay đổi và với mỗi Xi
ước lượng của phương sai này: = . Từ đõy ta rỳt ra cỏc bước sau đõy:
Bước 1: Với mỗi Xi ta tớnh = , = Ln( ), và = Ni (1- )
Bước 2: Thực hiện biến đổi biến số và dựng OLS để ước lượng mụ hỡnh sau:
= + Xi + ui
Li* = β1 + β2 Xi* + vi