Cách 1: Dựng và tính độ dài đường vuông góc chung.
Cách 2: Dựng mặt phẳng (P) chứa ∆1và song song với ∆2. Khi đó, khoảng cách giữa ∆1 và
2
∆ bằng khoảng cách từ ∆2 đến mặt phẳng (P) và bằng khoảng cách từ A∈ ∆2đến mặt phẳng (P).
Ví dụ 1. (Đề thi tuyển sinh ĐH khối A – 2006)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.
Lời giải:
Ta có BC // MN ⇒ MN // (A’BC)
⇒ d(MN,A’C) = d(MN,(A’BC)) = d(M,(A’BC)) (1) Ta có AI ⊥ A'B ( AB' ∩ A'B = I)
Từ đó AI ⊥ (A'BC). Vì thế nếu kẻ MH // AI (H A'B) ∈ thì MH ⊥(A'BC) và d(M,(A'BC)) = MH = AI = 1 2 2 4 a (2) Từ (1), (2) suy ra d(MN,A'C) = 2 4
Ví dụ 2. Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh a = 6 2 cm. Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD.
Lời giải:
Gọi M và N tương ứng là các trung điểm của AB và CD. Do ABCD là tứ diện đều, nên ta có CM ⊥ AB và DM ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (MCD) ⇒ AN ⊥ MN
Lý luận tương tự ta có: CD ⊥ (ANB) ⇒ CD ⊥ MN. Vậy MN là đường vuông góc chung của AB và CD. Ta có: MC = MD = 6 2. 3 3 6 2 = . Vậy 2 2 2 2 2 (3 6) (3 2) 36 6 MN =MC −CN = − = ⇒MN = cm Bài tập tự luyện
Bài 1. (ĐH khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi E là
điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng MN, AC theo a.
Đáp số: d(MN, AC) 2 4
a
=
Bài 2. (ĐH khối B năm 2002) Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D.
Đáp số: ( 1 , 1 ) 6 6
a d A B B D =
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có SA = 3a, SA ⊥ (ABCD) .Giả sử AB = AC = 2a,
· 120 .0
ABC= Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Đáp số: d(A,(SBC)) = 3 2
a
Bài 4. (ĐH khối A năm 2004) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 5
, đường chéo AC = 4, SO = 2 2 và SO ⊥ (ABCD), với O là giao điểm của AC và BD. Gọi M là trung điểm cạnh SC. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
Đáp số: d(SA, BM) = 2 6 3 N M D C B A
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
vuông góc với đáy và SA = 2a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
Đáp số: a 2
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = h và SA vuông góc với
mặt phẳng (ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SC và AB.