ndị
Vi 0 G Di, suy ra B ^ C D^ vói mpi 6 > 0, vk C = su]p_ ĂA) < oc.
Bòi vi hàm lèi A là lién tue trén Dj nén suy ra A*(x) > sup {< A,x > -ĂA)} A*(x) > sup {< A,x > -ĂA)}
' " ^ (2.5.4)
> sup < A,x > — sup ĂA) = ^|x| — G.
Do dò vói mpi Qf < oo, tàp mùc {x : A*(x) < Q} là bi chàn. Hàm A* lèi và nùa lién tue duóị Theo phàn (a) cùa Bò de 1.3.2 suy ra Á là hàm lèi và nùa lién tue duóị Theo phàn (a) cùa Bò de 1.3.2 suy ra Á là hàm toc dò tòt.
(b) Chùng minh cùa (2.5.3) làp lai chùng minh cùa phàn (b) cùa Bò de 2.4.1. Già sù ràng vói mòi x G R^ 2.4.1. Già sù ràng vói mòi x G R^
AÌTì)=<r],y> -A*iy) < < r/,x > - A * ( x ) .
Khi dò vói mpi ^ G R^ < 6», x > < Ăr/ + (?) - Ăr;). Trong truòng hdp dàc biét, dàc biét,
Vi bàt dàng thùc này dùng vói mpi ^ G R'^ nén suy ra x = S/AÌT]) = ỵ D P dò y là diem tiép xùc eùa A*, vói siéu phàng tiép xùc 77 G D^. D
Vói mpi tap lèi khòng ròng C, phàn trong tUdng doi cùa C, kì hiéu là ri C, dinh nghla là tàp:
nC:={yeC: x e C ^ y - EÌX - y) e G, \/e > 0}.
BÓ de 2.5.5. (Rockafellar) Néu A : R^ -^ ( - o c , oc] là tran thùc sù,
nùa lién tue duói, là hàm lèị Khi dò ri DA< C F .
D i n h ly 2.5.6. (Dinh ly Gartner-Ellis) Cho già sù 2.5.1 dùng.
(a) Vói moi tap dòng F,
lim s u p - l o g / / n ( F ) < - inf A*(x). (2.5.5)
n-»oo n xeF
(h) Vói moi tap mò G,
lim inf-log/i„(C;) > - inf A*(x) (2.5.6)
n—>oo n xeGnF
ò day E là tap càc diem tièp xùc cùa A* ò dò siéu phàng tiép xùc thuòc ve DA-
(e) Néu A là tran thùc sù, nùa lién tue duóị Khi dò LDP dùng cho hàm toc dò tot A*i-).
Chùng minh. (a) Càn trén dùng cùa (2.5.5) cho càc tàp compact dude
thiét làp gióng nhu trong chùng minh dinh ly Cramer's trong R'^. Ta
chùng minh cho day càc dò do {fin} là ehàt mù. Cho Uj kì hiéu cho vector tpa dò thù j cùa vector trong R'^ vói j = 1, 2,..., d. Vi 0 G D^, vói mpi j > 0, tèn tai T]J > 0 sao cho AirjjUj) < oc và Ai-rfjUj) < oc,
vói mpi i = 1,..., d. Do dò thep bàt dàng thùc Chebyeheffs
/ 4 ( ( - ^ ' -P]) ^ expi-nrjjp + Ani-nrijUj)) . _
J — 1, ... j fl
trong dò fij^, j ^ l,...,d\k càc tpa dò eùa vector ngàu nhién Zn- Do dò.
e h o j = l,...,d,
lim lim s u p - l o g / i ^ ( ( - o c , - p ] ) = - 0 0 ,
f-^n^^^'''^n^''^íni[p.O0)) = - 0 0 .
Khi dò, j i ^ ^lirn sup-log//^^(([-p,pl'^)-) = - o c , tue là {pn} là chat
mù.
(b) Ta thiét làp càn duói dùng cùa (2.5.5). Vói mpi tàp mò, dièu kién
dù de chùng minh ràng vói mpi y e F,
lim lim inf-log/i„(5j,,<5) > -A*(y). (2.5.7)
CÓ dinh y e F vk cho 77 6 /)$ là mot siéu phàng tiép xùc cùa ỵ Khi dò, vói n dù lón, An{nr]) < oc, ta xàc dinh do do Jì^ nhir sau:
-j-^{z) ^ exp[n. <y,z> ~i\n{nr])Y
T a c ó
-\ogfiniBy,s) = -Kiriv)-<r],y>+-log f ê^^'^y-^^djrniz) n n ri J
zeB ỵi
> -Aninr])- < ri,y > -\rì\6 +-logpniBy,s)•
n n
Do dò,
lim lim inf-log finiBy^s) > Hi)- <V.y>+^}^^ lim inf-log JTniBy,5)
5_0n—00 n ó^un—oc [t
> -A*iy) + lim lim inf - log/l;;^(ỉy,j).
~ (5-»0n—oc n
(2.5.8)
Ioga cùa hàm sinh moment lién két vói /i„. Khi dò, vói mpi A G Ì A ; ( n A ) : = i l o g [ | e - < ^ ' ^ > r f ^ ( z ) Ì A ; ( n A ) : = i l o g [ | e - < ^ ' ^ > r f ^ ( z )
= -An(n(A + jf)) - -Aninrf) -^ ĂA).
n Jl