H e qua 2.2.6. Vói m - m{n),
l i m s u p - l o g P ( L ; ^ G F ) = - l i m i n f j inf I ( ^ - ^ L I ] \ (2.2.12)
va
lim inf i log P ( L ^ G F ) = - lim s u p j inf 7 ( 7 - , L ^ ) ) . (2.2.13)
n-00 n n^oG l7ern£„ \ m J) '
B ò d e 2.2.7. Chopne (0,1),/z„ và7„ G Mi (E) sao cho Pn-^ p e (0,1)
va fin ^^ fJ' khi n —>• 00.
(a) Néu ^n^l va /(7n|/?n, Mn) < OO vói moi n dù lón. Khi dò
l i m / ( 7 n | / ? n , M n ) = J(l\P,ll)-
n—•oc
(^6^ A/'en I{'y\p,fi) < cx), /:/iz cfd idn tai mot day {7^} 5ao cho 7^ G /^n;
7n ^ 7 ^^
l i m / ( 7 n | / ? n , / ^ n ) = / ( 7 | / 5 , / i ) .
n—>oo
Chùng minh. Vi /(7n|/?n5/^n) < oc vói mpi n dù lón. Khi dò l^nidi) > PnlnM
vói mpi a, G Ẹ Theo (2.2.7)
I{ln\Pn.lin) = ^H(fin) - H(^n) " ^ ^ ( ^ T ^ )
1
Pn
và /(7„|/?n,/in) -> / ( 7 | / ? , M ) vi //(•) là lién tue trén A/i(E) va {3n] bi
chàn bòi 0 và 1.
(b) Truóc hét xét 7 G A/i(E) ma
mm{fi{ai)-Pi{a,))>Q. (2.2.14) Theo phàn (b) cùa Bò de 1.2.2, ton tai 7n e Cn sao cho ->„ - - khi n -^ 00. Do dò, bàt dàng thùc (2.2.14) bao hàm ràng vói n dù lón
/(7n|/?n, fJ'n) < OO VÓI mpi n dù lón và theo phàn (a) già su ràng Ê = E,
nhung già sù (2.2.14) khòng dùng. Khi dò, vi /? < 1 và /(7|/3,/x) < oo!
khi dò ton tai 7^ ^ 7 sao cho (2.2.14) dùng vói mpi k. Theo dièu già sù truóc, tèn tai {7n,fc}^=i sao cho vói mpi k, jn,k G Cn, jn,k -* 7 và
\ìmI{^n,k\Pn,lin) = Ihk\P,li).
T t ' O O
Theo tiéu chuàn Cantor, tèn tai 7^ G Cn sao cho 7^ ^ 7 và lim I{jn\Pn,kin) = Hm I{'yk\P,fi) = HlìP.li).
n—>00 /c—•OO
0 day dàng thùc cuoi cùng dùng vói phàn (a) cùa bo dẹ Cuoi cùng,
tham chi néu Ê ^ E, no vàn dùng. Già sù ràng Ê C Ê, vi
/(7|/?,/i) < 00.
Do do theo lì luan triróc day vói Ê thay vi E, tèn tai 7^ € Cn sao cho Ê^ C Ê, 7n —*• 7 và /(7n|/?n, /^n) < OC vói moi n dù lón. Theo phàn
(a) suy ra dièu phài chùng minh. D
D i n h ly 2.2.8. Già sù LY, hòi tu dén fi và • /3 G ( 0 , 1 ) khi ri —• o c .
m
Khi do, dò do thuc nghiem ngàu nhièn L^ thòa man LDP vói hàm toc dò tot I{j\P,fi). Cu the, vói moi tàp F cùa vector xàc suàt trong A/i(E) C
- inf IhW.fi) < lim i n f - l o g P ( L ; ^ € T)
^£1^0 n — 0 0 n
< l i m s u p i l o g P ( L ^ G F ) (2.2.15)
n—•OO n
< - i n f / ( 7 | / ? , / i ) .
Chùng minh. Theo phàn (a) eùa Bò de 2.2.7, I{-f\P,fi) dóng thòi là nùa lién tue duói vói P G (0,1) vói /i và 7. Vi nò là hàm khòng àm và đn hinh xàc suàt là mot tap compact, I{-\P,n) là hàm toc dò tòt.
Ta chùng minh càn trén dùng cùa (2.2.15), tu (2.2.12) ràng vói mpi day vò han {n^} ton tai mot day {7it} C F sao cho
ò day cój;hé /* = oọ Day {7;^} eó mot diém giói han 7' trong tàp