Bây giờ chúng ta nói về việc ứng dụng sự bảo
toàn xung lượng góc cho chuyển động hành tinh, vì tầm quan trọng bản chất của nó và đồng thời vì nó là một cách tốt để phát triển một sự hình dung trực giác của xung lượng góc.
Định luật Kepler về các diện tắch bằng nhau phát biểu rằng diện tắch quét bởi một hành tinh trong một độ dài thời gian nhất định luôn luôn bằng nhau. Xung lượng góc đã không được phát minh ra vào thời kì Kepler, và ông thậm chắ không biết đa số những sự thật vật lắ cơ bản về các lực đang tác dụng. Ông nghĩ định luật này một cách đơn giản là hoàn toàn do kinh nghiệm và bất ngờ để tổng kết dữ liệu của ông, một định luật đã thành công trong việc mô tả và tiên đoán cách thức các hành tinh tăng tốc và giảm tốc trong những quỹ đạo elip của chúng. Tuy nhiên, ngày nay thật chẳng khó khăn gì việc chỉ ra rằng định luật diện tắch bằng nhau gắn liền với phát biểu rằng xung lượng góc của hành tinh giữ nguyên không đổi.
Không có một quy tắc hình học đơn giản nào để tắnh diện tắch của một hình nêm cắt ra khỏi một elip, nhưng nếu chúng ta xét một khoảng thời gian rất ngắn, như thể hiện trên hình i, thì phần hình tô sẫm màu quét bởi hành tinh rất gần một hình tam giác. Chúng ta biết rõ làm thế nào để tắnh diện tắch của tam giác rồi. Nó bằng nửa tắch của cạnh đáy và chiều cao:
i/ Xung lượng góc của hành tinh liên hệ với tốc độ quét diện tắch của nó.
Bài giảng Các định luật bảo toàn | Benjamin Crowell 89
diện tắch 1 2bh
=
Chúng ta muốn liên hệ diện tắch này với xung lượng góc, đại lượng chứa các biến r
và v⊥. Nếu chúng ta xét mặt trời nằm ở trục quay, thì biến r giống như đáy của tam giác, r = b. Dựa vào phần phóng to trên hình, v⊥ có thể liên hệ với h, vì hai tam giác vuông đó đồng dạng:
Vì thế, diện tắch có thể viết lại là
Quãng đường đi bằng |v|∆t, nên biểu thức đơn giản hóa thành diện tắch 1
2rv⊥ t
= ∆
Chúng ta có thể tìm được mối liên hệ sau đây giữa xung lượng góc và tốc độ quét diện tắch
Hệ số 2 phắa trước đơn giản là vấn đề chuyển đổi đơn vị, vì bất kì một đại lượng được bảo toàn nào cũng sẽ là một đại lượng được bảo toàn nếu bạn nhân nó với một hằng số. Thừa số m không có liên quan đến Kepler, ông không biết khối lượng của các hành tinh, và mỗi lần ông chỉ mô tả chuyển động của một hành tinh.
Như vậy, chúng ta thấy định luật diện tắch bằng nhau của Kepler là tương đương với phát biểu rằng xung lượng góc của hành tinh giữ nguyên không đổi. Nhưng hãy chờ tắ, tại sao nó giữ nguyên không đổi chứ? Ờ hành tinh đó chẳng phải là một hệ kắn, vì nó bị tác dụng bởi lực hấp dẫn của mặt trời. Có hai câu trả lời hợp lắ. Thứ nhất, thật ra thì xung lượng góc toàn phần của mặt trời cộng với của hành tinh đó được bảo toàn. Tuy nhiên, mặt trời nặng hơn hàng triệu lần so với hành tinh bình thường, cho nên nó bị gia tốc rất ắt đối với lực hấp dẫn của hành tinh. Vì thế, nói gần đúng thì mặt trời chẳng dịch chuyển gì cả, nên chẳng có xung lượng góc nào được truyền giữa nó và hành tinh đó.
Câu trả lời thứ hai là để làm thay đổi xung lượng góc của hành tinh đòi hỏi không chỉ một lực, mà lực đó phải tác dụng theo một kiểu đặc biệt. Trong mục 5.4 chúng ta sẽ bàn về sự truyền xung lượng góc bởi một lực, nhưng ý tưởng cơ bản ở đây là lực hướng dọc theo trục không làm thay đổi xung lượng góc.
90 ẹ hiepkhachquay dịch | Bài giảng Các định luật bảo toàn Câu hỏi A
Câu hỏi B
☺ A. Giả sử một vật đang chuyển động thẳng ở tốc độ không đổi. Nếu chúng ta chọn một số điểm không nằm trên đường thẳng đó và gọi đó là trục quay, thì diện tắch quét bởi vật đó có ở tốc độ không đổi hay không? Có vấn đề gì không nếu chúng ta chọn một trục khác?
B. Hình bên là ảnh chụp liên tiếp của một quả lắc, chụp bên dưới con lắc treo thẳng đứng. Sợi dây treo màu đen không nhìn thấy trong hình. Quả lắc hơi bị đẩy sang bên khi nó được buông ra, cho nên nó không đong đưa trong một mặt phẳng. Cái chấm sáng đánh dấu chỗ tâm, tức là vị trắ con lắc sẽ ở đó nếu nó treo thẳng đứng về phắa chúng ta. Hỏi xung lượng góc của con lắc có giữ nguyên không đổi nếu chúng ta xem chỗ tâm đó là trục quay? Còn nếu chúng ta chọn một trục khác thì sao?