Cho đến lúc này, chúng ta chưa hề thực hiện một phép tắnh thật sự nào của công trong trường hợp lực không phải là không đổi. Câu hỏi làm thế nào xem xét những trường hợp như thế về mặt toán học tương tự như vấn đề làm thế nào khái quát hóa phương trình (quãng đường) = (vận tốc) (thời gian) với trường hợp trong đó vận tốc không phải là hằng số. Ở đó, chúng ta nhận thấy sự khái quát hóa hợp lắ là tìm diện tắch nằm dưới đồ thị của vận tốc theo thời gian. Điều tương tự có thể thực hiện với công:
quy tắc tổng quát cho cách tắnh công
Công thực hiện bởi một lực F bằng diện tắch nằm dưới đường cong của đồ thị F|| theo x. (Một số nhập nhằng xuất hiện trong các trường hợp như lực ma sát)
Các vắ dụ trong phần này là những vắ dụ trong đó lực đang biến thiên, nhưng nó luôn luôn cùng phương với chuyển động, nên F tương tự như F||.
☺ Trong những thắ dụ nào sau đây, sẽ hợp lắ nếu tắnh công bằng Fd, và trong những trường hợp nào bạn phải sử dụng diện tắch nằm dưới đồ thị F-x ?
(a) Một chiếc tàu đánh cá lướt đi với một sự kéo theo tổng hợp phắa sau nó.
(b) Một nam châm nhảy dắnh vào tủ lạnh từ một khoảng cách nào đó.
(c) Lực hấp dẫn của Trái đất thực hiện công lên một con tàu vũ trụ ở ngoài không gian. [xem trang 136]
Một thắ dụ quan trọng và dễ hiểu là tắnh công thực hiện bởi một lò xo tuân theo định luật Hooke,
n/ Lò xo thực hiện công trên chiếc xe (Không giống như quả cầu trong mục 3.1, chiếc xe gắn dắnh vào lò xo)
Bài giảng Các định luật bảo toàn | Benjamin Crowell 41
F ≈ - k (x Ờ x0)
Dấu trừ vì đây là lực tác dụng bởi lò xo, không phải là lực tác dụng lên lò xo để giữ nó ở vị trắ này. Nghĩa là, nếu vị trắ của chiếc xe trong hình n ở bên phải vị trắ cân bằng thì lò xo kéo nó trở sang trái, và ngược lại.
Chúng ta tắnh công thực hiện khi lò xo ban đầu ở vị trắ cân bằng và sau đó làm giảm tốc chiếc xe khi xe chuyển động sang phải. Công thực hiện bởi lò xo trên chiếc xe bằng với trừ diện tắch của hình tam giác tô khối, vì hình tam giác đó nằm dưới trục x. Diện tắch của một hình tam giác bằng một nửa đáy của nó nhân với chiều cao của nó, nên ( )2 0 1 2 W = − k x−x
Đây là phần động năng bị mất bởi chiếc xe khi lò xo làm cho nó chậm lại.
Chẳng khó khăn gì việc tắnh công thực hiện bởi lò xo trong trường hợp này vì đồ thị của F theo x là một đường thẳng, mang lại một diện tắch hình tam giác. Nhưng nếu như đường cong không quá đơn giản về mặt hình học, thì khó có thể tìm được một phương trình đơn giản cho công đã thực hiện, hay một phương trình chỉ có thể nhận được từ giải tắch. Phần tự chọn 3.4 cung cấp một thắ dụ quan trọng về một ứng dụng giải tắch như thế.
o/ Diện tắch của hình tam giác tô khối cho biết công thực hiện bởi lò xokhi chiếc xe chuyển động từ vị trắ cân bằng đến vị trắ x.
42 ẹ hiepkhachquay dịch | Bài giảng Các định luật bảo toàn p/Vắ dụ 4
Vắ dụ 4. Sự sản sinh năng lượng trong Mặt trời
Mặt trời tạo ra năng lượng qua các phản ứng hạt nhân trong đó các hạt nhân va chạm và dắnh vào nhau. Hình trên miêu tả một phản ứng như thế, trong đó một proton độc thân (hạt nhân hydrogen) va chạm với một hạt nhân carbon, gồm 6 proton và 6 neutron. Các neutron và proton hút các neutron và proton khác thông qua lực hạt nhân mạnh, nên khi proton tiến đến hạt nhân carbon, nó được gia tốc. Theo ngôn ngữ năng lượng, chúng ta nói nó mất thế năng hạt nhân và thu động năng. Cùng với nhau, 7 proton và 6 neutron tạo thành một hạt nhân nitrogen. Bên trong hạt nhân mới hợp nhất với nhau, các neutron và proton tiếp tục va chạm, và động năng thừa của proton mới nhanh chóng được chia ra cho tất cả các neutron và proton. Không lâu sau đó, hạt nhân lặng đi bởi sự giải phóng một số năng lượng ở dạng tia gamma, chúng giúp làm nóng Mặt trời.
Đồ thị ở trên biểu diễn lực giữa hạt nhân carbon và proton khi proton trên đường của nó tiến vào, với khoảng cách đo theo đơn vị femto mét (1 fm = 10-15 m). Thật bất ngờ, lực đó hóa ra là vài newton: bằng cỡ độ lớn như các lực mà chúng ta thường gặp trong cuộc sống hàng ngày. Tuy nhiên, hãy lưu ý rằng một lực lớn như thế này tác dụng lên một hạt hạ nguyên tử đơn độc như proton sẽ tạo ra một gia tốc thật sự kinh khủng (vào cỡ 1027 m/s2!).
Bài giảng Các định luật bảo toàn | Benjamin Crowell 43
Tại sao lực có cực đại ở khoảng x = 3 fm, và trở nên nhỏ hơn khi proton thật sự hợp nhất với hạt nhân ? Tại x = 3 fm, proton ở tại rìa của đám proton và neutron. Nó cảm nhận nhiều lực hút từ phắa bên trái, và không có lực nào từ phắa bên phải. Các lực cộng lại cho một giá trị lớn. Tuy nhiên, nếu sau đó proton nằm tại chắnh giữa của hạt nhân, x = 0, thì có các lực hút nó từ tất cả các hướng, và các vec-tơ lực này triệt tiêu nhau.
Bây giờ chúng ta có thể tắnh năng lượng giải phóng trong phản ứng này bằng cách sử dụng diện tắch nằm dưới đồ thị để xác định lượng công cơ học thực hiện hạt nhân carbon lên trên proton. (Để cho đơn giản, chúng ta giả sử rằng proton Ộnhắm thẳngỢ vào tâm của hạt nhân, và chúng ta bỏ qua thực tế là nó phải xô đẩy một số neutron và proton ra khỏi đường đi để tiến vào). Diện tắch dưới đường cong là khoảng 17 ô, và công biểu diễn bởi mỗi một ô là
(1 N) (10-15 m) = 10-15 J nên năng lượng toàn phần giải phóng vào khoảng
(10-15 J/ô) (17 ô) = 1,7 x 10-14 J
Con số này dường như không nhiều lắm, nhưng hãy nhớ rằng đây chỉ là một phản ứng giữa hạt nhân của hai trong số vô vàn nguyên tử trong Mặt trời. Để so sánh, một phản ứng hóa học tiêu biểu giữa các nguyên tử có thể biến đổi cỡ 10-19 J thế năng điện thành nhiệt Ờ năng lượng ắt hơn 100.000 lần!
Một lưu ý sau cùng, bạn có thể nghi vấn tại sao những phản ứng như thế này chỉ xảy ra trong Mặt trời. Nguyên nhân là có một lực đẩy điện giữa các hạt nhân. Khi hai hạt nhân ở đủ gần nhau, các lực điện điển hình vào khoảng nhỏ hơn một triệu lần so với lực hạt nhân, nhưng lực hạt nhân giảm theo khoảng cách nhanh hơn nhiều so với lực điện, nên lực điện là lực áp đảo ở những tầm tác dụng xa. Mặt trời là một khối khắ rất nóng, nên chuyển động ngẫu nhiên của các nguyên tử của nó cực kì nhanh, và một va chạm giữa hai nguyên tử thỉnh thoảng đủ dữ dội để lấn át lực đẩy điện ban đầu này.