3.5.1 Phương án giáo viên sử dụng Cabri Geometry
Ở công đoạn chuẩn bị, GV cần lựa chọn một số thông tin từ bài soạn như: hình vẽ, khái niệm, tính chất, câu hỏi,... để thiết kế thành các môdul trong trang làm việc của Cabri Geometry theo một kịch bản dự tính trước.
Trong giờ lên lớp, bên cạnh việc cung cấp cho học sinh (HS) những hình vẽ sinh động, trực quan GV sẽ khai thác Cabri Geometry để tạo ra các tình huống có dụng ý sư phạm. Việc sử dụng Cabri Geometry thường diễn ra theo các bước sau:
Bước 1: Tiếp cận vấn đề: GV đưa ra hình vẽ của Cabri Geometry ở dạng tĩnh để HS xác định rõ những yếu tố ban đầu.
Bước 2: Khám phá tri thức: Trước hết GV cho thay đổi một vài yếu tố của hình vẽ, HS quan sát sự thay đổi của các đối tượng và mối quan hệ giữa chúng đểđưa ra các nhận xét, dựđoán. Tiếp theo GV sử dụng các chức năng kiểm tra của Cabri Geometry để kiểm thử các dựđoán mà HS đưa ra. Từ kết quả xử lý của Cabri Geometry mà HS loại bỏ hoặc tìm cách chứng minh.
Bước 3: Minh hoạ kết quả. GV sử dụng Cabri Geometry minh hoạ các kết quả một cách sinh động và có thểđưa ra ướng phát triển, mở rộng bài toán.
Ví dụ 3.19: Tìm hiểu ảnh của một đường tròn qua phép tịnh tiến.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
-Vẽ véc tơ và →u đường tròn (O, R). -Lấy điểm M ∈ (O, R). -Xác định M’, O' là ảnh của M, O qua phép tịnh tiến theo véc tơ u -Đặt thuộc tính để lại vết cho điểm M’ và cho thay đổi vị trí điểm M (hình 3.44). Quan sát và rút ra các nhận xét: - MM'=u; OO'=u; MM’ = OO’; OM=O’M’ Kết luận:
-Ảnh của (O,R) qua phép tịnh tiến là (O’, R).
-Vậy phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Hoàn toàn tương tự ta có thể minh hoạ các tính chất của các phép biến hình khác một cách sinh động bởi Cabri Geometry.
Ví dụ 3.20: “Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O, R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng trực tâm tam giác ABC nằm trên một đường tròn cốđịnh”.
Hình 3.44
• Bước 1: Tiếp cận vấn đề
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
- Vẽ hình -Xác định yếu tố cốđịnh: Đường tròn (O, R), Hai điểm B, C -Xác định yếu tố thay đổi: Hai điểm A, H.
• Bước 2: Khám phá tri thức
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
-Cho điểm C thay đổi vị trí.
? Hãy phát hiện các vị trí đặc biệt của BC.
Phát hiện trường hợp khi tam giác ABC vuông tại A thì BC là đường kính nên trực tâm H của tam giác ABC chính là A. Vậy H nằm trên đường tròn (O, R) cốđịnh.
-Cho điểm A thay đổi vị trí.
? Hãy phát hiện các vị trí đặc biệt của tam giác ABC.
-Dựng điểm B’, nối B’ với các điểm A, C.
? Hãy quan sát và chỉ ra các yếu tố đặc biệt của hình vẽ.
-Cho điểm A thay đổi vị trí.
? Hãy quan sát và cho biết mối quan hệ giữa AH,B'C
Phát hiện tam giác ABC vuông tại C. Khi đó vị trí điểm A chính là điểm B’ (HS cũng có thể chỉ ra trường hợp tam giác ABC vuông tại B).
Phát hiện:
-BB’ là đường kính của (O, R).
-AH = B’C, AHCB’ là hình bình hành Nhận định:
-Khi A thay đổi luôn có AH =B'C
? Hãy chỉ ra phép tịnh tiến biến điểm A thành điểm H.
-Vì B'Ccố định và khi A thay đổi luôn có
C B
C
B' biến điểm A thành điểm H.
Kết luận: trực tâm H luôn nằm trên đường tròn cố định là ảnh của đường tròn (O, R) qua phép tịnh tiến theo véc tơ B'C.
Hình 3.45
Bước 3: Minh hoạ kết quả
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
-Để lại vết cho H.
-Cho điểm A chuyển động.
Quan sát quỹ tích điểm H (hình 3.45).
Hoàn toàn tương tự, GV có thể sử dụng Cabri Geometry giúp HS sử dụng phép đối xứng trục hay phép đối xứng tâm để giải quyết bài tập này.
3. 5.2. Phương án học sinh sử dụng Cabri Geometry
Phần mềm Cabri Geometry cho phép tạo dựng một môi trường làm việc có tính thân thiện cao. HS tương tác với Cabri Geometry để khám phá, dựđoán rồi lại “hỏi lại” Cabri Geometry để kiểm tra, củng cố hay bác bỏ dựđoán của mình theo quy trình sau:
Quan sát, đo đạc, cho thay đổi hình vẽ
Dựđoán Kiểm tra dựđoán S Đ Vẽ hình Tìm cách chứng minh Ví dụ 3.21: Nghiên cứu tính chất của phép vị tự.
Bước 1: Tiếp cận vấn đề Hình 3.46 -Sử dụng chức năng Point để xác định điểm O và các điểm M, N, P -Sử dụng chức năng Numerical Editđể xác định tỷ số k. -Sử dụng chức năng Dilation để xác định ảnh của các điểm M, N, P qua phép vị tự tâm O tỷ số k. Bước 2: Khám phá tính chất phép vị tự (hình 3.46). Tương tác với hình vẽ Kết quả - So sánh M'N' và MN? - So sánh độ dài M’N’ với MN? - Cho tỷ số k > 1 - Cho tỷ số k < 1 - Cho tỷ số k = 1 - Cho tỷ số k = -1 ... - M'N' = kMN - M’N’ =|k|MN - M và M’ cùng phía với điểm O - M và M’ ở hai phía so với điểm O - M và M’ trùng nhau - M và M’ đối xứng nhau qua điểm O ...
Hoàn toàn tương tự , qua quá trình tương tác với Cabri Geometry HS sẽ khám phá được các tính chất khác của phép vị tự như biến góc thành góc bằng nó, biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỷ sốđồng dạng là |k|...
Ví dụ 3.22: “Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Gọi C là điểm đối xứng với A qua B và PQ là đường kính thay đổi của (O) khác đường kính AB. Đường thẳng CQ cắt PA và PB lần lượt tại M, N”[1].
a). Chứng minh rằng Q là trung điểm của CM, N là trung điểm của CQ.
Cho PQ thay đổi vị trí, sau một vài trường hợp, HS nhận thấy “hình như” BQ//PM! Sử dụng Cabri Geometry để kiểm tra, kết quả HS nhận được thông báo:”khi PQ thay đổi thì BQ luôn luôn song song với BM” (hình 3.47). Vì B là trung
điểm của AC nên BQ là đường trung bình của tam giác CAM hay Q là trung điểm của CM. Đến đây HS đi chứng minh BQ là đường trung bình của tam giác CAM.
Hoàn toàn tương tự, HS sẽ tìm cách chứng minh BN là đường trung bình của tam giác CAQ nên N là trung điểm của CQ.
b). Tìm quỹ tích các điểm M, N khi đường kính PQ thay đổi.
Xuất phát từ việc chứng minh được Q là trung điểm của CM nên khi đường kính PQ thay đổi, ta luôn có:CM =2CQ. Như vậy phép vị tự V tâm C, tỷ số k=2 biến điểm Q thành điểm M. Suy ra khi đường kính PQ thay đổi, Q chạy trên đường tròn (O) thì quỹ tích M là ảnh của đường tròn (O) qua phép vị tự V, tức là đường tròn (O’) mà
CO CO'=2 .
Sử dụng Cabri Geometry cho PQ thay đổi và quan sát vết của điểm M, ta nhận được hình ảnh quỹ tích M.
Việc tìm quỹ tích điểm N hoàn toàn tương tự.
Ví dụ 3.23: “Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định còn đỉnh A chạy trên một đường tròn (O, R) cố định không có điểm chung với đường thẳng BC. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC”.
Sau khi HS phát hiện được phép vị tự tâm I, tỷ số
3 1 =
k biến điểm A thành điểm G. Vì A chạy trên đường tròn (O, R) nên quỹ tích G là ảnh của đường tròn (O, R) qua phép vị tự nói trên. GV đặt vấn đề: Trong trường hợp đường tròn (O, R) có điểm chung với đường thẳng BC thì quỹ tích điểm G như thế nào?
Nếu sử dụng phương pháp truyền thống HS cần phải vẽ rất nhiều trường hợp mới có thể đưa ra dự đoán của mình (và đôi khi thời gian không cho phép). Nếu ta sử dụng Cabri Geometry thì công việc trở nên đơn giản. HS chỉ việc thay đổi vị trí của đường thẳng BC và cho điểm A di chuyển trên đường tròn (O, R) để phát hiện ra trường hợp suy biến:
Hình 3.48
- Ba điểm A, B, C thẳng hàng,
- Điểm A trùng với B hoặc C
HS cũng có thể sử dụng thêm các chức năng đo đạc, kiểm tra của Cabri Geometry để đi đến xác định quỹ tích điểm G (hình 3.48).
Ví dụ 3.24: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). D là một điểm chuyển động trên cung BC không chứa đỉnh A. Nối A với D. Hạ CH vuông góc với AD. Minh
hoạ quỹ tích của điểm H.
Sử dụng Cabri ta vẽ hình, sau đó cho điểm D di chuyển, ta phát hiện được ít nhất có 3 điểm cố định thuộc quỹ tích:
- Điểm E (chân đường cao hạ từ đỉnh C đến cạnh AB tương ứng với trường hợp khi D chạy đến trùng với B).
- Điểm C (tương ứng với trường hợp D trùng với C).
- Điểm F (chân đường cao hạ từ đỉnh A đến cạnh BC, ứng với trường hợp AD trùng với đường cao hạ từ A đến BC).
Như vậy, ta dựđoán quỹ tích là cung chứa góc.
Dùng chức năng để lại vết sẽđược hình ảnh quỹ tích điểm H.
Ví dụ 3.25: Cho hình thoi ABCD có cạnh AB cốđịnh. Minh hoạ quỹ tích giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi đó.
Bước 1: Sử dụng chuột cho hình thoi ABCD thay đổi.
- Hình thoi ABCD trở thành hình vuông ABC1D1 => Xác định điểm O1 thuộc quỹ tích. - Hình thoi ABCD trở thành hình vuông ABC2D2 => Xác định điểm O2 thuộc quỹ tích. - Hình thoi ABCD có điểm C tiến trùng với điểm B => Điểm O trùng với điểm B.
Như vậy, bằng trực quan cũng như bằng kiếm tra ta thấy rõ 3 điểm không thẳng hàng, vậy quỹ tích có khả năng là một đường tròn đi qua B.
Vì vai trò điểm A và B như nhau nên khi cho điểm D tiến trùng với điểm A, ta phát hiện được điểm A cũng thuộc quỹ tích. Ta dựđoán quỹ tích điểm O là đường tròn nhận AB là đường kính.
Bước 2: Vẽ một trường hợp bất kỳ, ta kiểm tra điểm O có thuộc đường tròn nhận AB là đường kính hay không. Kết quả cho thấy “Điểm này nằm trên đối tượng”.
Ví dụ 3.26: Trong một đường tròn (O), AB là một đường kính cố định, M là một điểm chạy trên đường tròn. Nối MA, MB và trên tia
đối của tia MA ta lấy điểm I sao cho MI = 2MB. Tìm tập hợp các điểm I nói trên.
Với Cabri ta cho vị trí điểm M thay đổi, qua ba vị trí cụ thể ta có ngay dự đoán: quỹ tích điểm I không thể là thẳng, như vậy có khả năng quỹ tích điểm I là một cung chứa góc. Từđây gợi ý cho ta đi tìm yếu tố góc không đổi.
Điều đặc biệt ở bài này là: Nếu sử dụng tính luôn tự đồng dạng của tam giác MBI thì chỉ dừng ở việc đưa ra kết luận góc
∠AIB không đổi. Vậy quỹ tích là cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng AB. Tuy nhiên, với Cabri ta có được kết luận tương đối thú vị. Quỹ tích điểm I là nửa đường tròn đường kính BIo. Trong đó Io nằm trên tiếp tuyến với đường tròn tại điểm A sao cho AIo = 2AB.
Ta mở rộng bài toán theo hai hướng sau:
+ AB không phải là đường kính mà chỉ là một dây cung của (O). + MI = k.MB (với k là số thực dương cho trước).
Kết quả cũng rất thú vị. Quỹ tích là một phần của cung chứa góc đi qua A, B.
Chương 4
SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE TRONG DẠY HỌC TOÁN