3.4.1. Vẽđồ thi hàm số y=f(x)
Trong dạy học hàm số thì một trong những nội dung quan trọng là vẽđồ thị hàm số. Tuy nhiên để HS thật sự hình dung thấy đồ thị của hàm số y=f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x; y) trên mặt phẳng toạđộ thì là một công việc không đễ dàng vì khi đó HS phải hoàn thành một khối lượng tính toán rất lớn. Để khắc
phục khó khăn này, theo chúng tôi có thể sử dụng các phần mềm động như Cabri Geometry, Geometr's Sketchpad… theo các bước sau:
- Xác định hệ trục toạđộ Oxy.
- Lấy một điểm X(x;0) bất kỳ thuộc miền xác định của hàm số. - Tính giá trị y =f(x).
- Dựng điểm M (x; f(x)).
- Cho điểm X(x;0) thay đổi trong miền xác định của hàm số và quan sát, nghiên cứu quy luật biến đổi của điểm M(x; f(x)).
- Để dựng tiếp tuyến tại một điểm cốđịnh MO thuộc đồ thị hàm số ta lấy thêm một điểm M bất kỳ thuộc đồ thị hàm số và tiếp tuyến chính là vị trí giới hạn của cát tuyến MOM khi điểm M di chuyển dần tới điểm MO
• Ví dụ 3.7: Vẽđồ thị hàm sốy= ax3+bx2+cx+d (a, b, c, d bất kỳ) - Chọn chức năng Show Axes: để cho hiện hệ trục toạđộ Oxy. - Chọn công cụ Numerical Edit: lần lượt nhập các giá trị a, b, c, d. - Chọn chức năng Point on Object: lấy điểm X (x; 0) bất kỳ trên Ox.
- Chọn chức năng Equation and Coordinates: chỉ vào điểm X để hiện toạ độ của điểm X ra màn hình.
- Chọn cộng cụ Calculate: nhập biểu thức tính giá trị ax3+bx2+cx+d, trong đó x là hoành độđiểm X.
- Chọn chức năng Measurement Transfer: lần lượt bấm chọn giá trị vừa tính được sau đó chỉ vào trục tung Oy. Ta xác định được điểm Y thuộc Oy.
- Chọn công cụ Perpendicular Line: lần lượt dựng các đường vuông góc với trục Ox tại điểm X, vuông góc với Oy tại điểm Y.
Hình 3.30
- Chọn chức năng Intersection Points: xác giao điểm M của hai đường thẳng vuông góc vừa dựng. M sẽ là điểm có toạđộ (x, f(x)).
- Chọn chức năng Trace On/Off : gán thuộc tính để lại vết cho điểm M
- Cho điểm X thay đổi khi đó vết để lại của tập hợp các điểm M sẽ cho ta hình ảnh đồ thị của
hàm số y=f(x) (hình 3.30).
• Ví dụ 3.8: Minh hoạ hình ảnh tiếp tuyến của đồ thị tại điểm Mo(x,f(x)). Chẳng hạn với hàm số y= ax3+bx2+cx+d (ví dụ 3.7)
- Chọn chức năng Locus: lần lượt chỉ vào điểm M và điểm X để Cabri Geometryđưa ra đồ thị của hàm số.
- Chọn chức năng Point on Object: lấy Mo, M bất kỳ thuộc đồ thị. - Chọn chức năng Line: dựng đường thẳng đi qua hai điểm Mo, M.
-Cho điểm M tiến gần tới điểm Mo để HS quan sát một cách trực quan gần đúng tiếp tuyến với đồ thị tại điểm MO.
-Cho điểm MO di chuyển đến các vị trí đặc biệt để HS nhận xét về vị trí của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại các điểm này (hình 3.31).
• Ví dụ 3.9: Dự đoán số nghiệm thực của phương trình y = m. Chẳng hạn với hàm số y= ax3+bx2+cx+d (ví dụ 3.7)
Lấy một điểm P(0; m) bất kỳ trên trục Oy và dựng một đường thẳng d đi qua điểm P song song với trục hoành Ox.
Cho điểm P di chuyển trên Oy. Qua quan sát số giao điểm của d với đồ thị của hàm số HS sẽ phát hiện được mối quan hệ giữa m với số nghiệm của phương trình y=m (hình 3.31).
Hình 3.31
3.4.2. Minh hoạđiểm cốđịnh của một họđường.
Bài toán: Trong mặt phẳng Oxy cho (Cm) là đồ thị của hàm số y=f(x,m). Hãy tìm điểm cốđịnh của họđường (Cm)
Cơ sở lý thuyết:
Với mỗi một giá trị của tham số m cho trước, ta có một đồ thị (Cm) tương ứng. Với 2 giá trị khác nhau của m, ta có 2 đồ thị (Cm). Ta có thể xem tập hợp các đường (Cm) khác nhau là những vị trí của đồ thị (Cm) khi m thay đổi nghĩa là (Cm) di động trong mp Oxy khi m thay đổi.
Có 2 khả năng
- Hoặc là mọi điểm của (Cm) đều di động
Những điểm đứng yên khi m thay đổi gọi là những điểm cố định của họ đường (Cm). Đó là những điểm mà mọi đường (Cm) đều đi qua, nghĩa là những điểm mà (Cm) luôn luôn đi qua với mọi giá trị của m
Phương pháp giải:
Giả sử A(xo, yo) là một điểm cốđịnh của (Cm): y=(f(x, m) <=> yo = f(xo, m) với ∀ m (1)
Điều này có nghĩa là (1) là một phương trình vô định theo tham số m. Mặt khác phương trình bậc nhất αm + β = 0 (hoặc bậc 2: αm2 + βm + γ = 0 ) đối với m vô định khi và chỉ khi αm + β = 0 với ∀ m (hoặc αm2 + βm + γ = 0 với ∀ m) <=> 0 (*) hoặc (*). 0 α = ⎧ ⎨β = ⎩ 0 0 0 α = ⎧ ⎪β = ⎨ ⎪ γ = ⎩ Giải hệ (*), tìm điểm cốđịnh của (Cm). Phương pháp khai thác phần mềm Phương án 1: Dựđoán điểm cốđịnh
Với một hàm số y=f(x,m) bất kỳ, ta có thể đặt câu hỏi: Liệu họ đường (Cm) có
điểm cốđịnh không?
Để dự đoán, GV có thể tổ chức cho HS sử dụng PMHH Geometry Cabri theo hướng sau:
Bước 1: Xác định biểu thức hàm số y=f(x,m) với ba giá trị khác nhau của m. Bước 2: Gọi Geometry Cabri ra làm việc và nhập các biểu thức trên.
Bước 3: Lần lượt vẽđồ thị tương ứng với các trường hợp trên.
Từ hình ảnh trực quan, HS có thểđưa ra dựđoán của mình: Nếu cả 3 đồ thịđều đi qua một điểm thì có thểđây là điểm cốđịnh của họ đường (Cm), trái lại họđường (Cm) không có điểm cốđịnh.
• Ví dụ 3.10: Xét xem đồ thị sau đây có điểm cốđịnh hay không?
2 2 mx 2(m 1)x 3m m y x 1 + + + − = +
Ta tổ chức cho HS tham gia các hoạt động sau: Hoạt động 1: Sử dụng Geometry Cabri
HS lần lượt vẽ 3 đồ thị tương ứng với các giá trị khác nhau của m. 1 2x y x 1 = + tương ứng với m = 0
2 2 x 4x 10 y x 1 + + = + tương ứng với m = 1 2 3 x 4 y x 1 − + = + tương ứng với m = -1
- Chọn chức năng Show Axes: để cho hiện hệ trục toạđộ Oxy.
- Chọn chức năng Expression (nhập biểu thức), sau đó lần lượt bấm 3 vào màn hình làm việc, khi xuất hiện hộp chữ nhật ta nhập biểu thức của hàm số.
- Chọn chức năng Apply an Expression (xác lập đồ thị của một hàm số) rồi lần lượt bấm chọ biểu thức hàm số, sau đó bấm vào trục toạn độ, ta được hình ảnh đồ thị của hàm số. Hoạt động 2: Dựđoán kết quả. - Từ hình ảnh trực quan, HS nhận thấy đồ thị đã cho không có điểm cốđịnh (hình 3.32). Hoạt động 3: Làm sáng tỏ vấn đề. - Điều nhận xét trực quan là chính xác vì giả sử đồ thị có điểm cốđịnh (xo, yo) với xo ≠ -1 thì dẫn tới phương trình: Hình 3.32 3m2 +(xo2+ 2xo-1)m +2xo-yo(xo+1)=0 với ∀ m. Điều này không thể xảy ra vì hệ số của sốhạng có bậc cao nhất (theo tham số m) (3m2) là hằng số khác không.
• Ví dụ 3.11: Cho (Cm) là đồ thị của hàm số: y=x3 - mx2 -(2m2-7m+7)x+2(m-1)(2m-3) Tìm điểm cốđịnh của (Cm).
Ta tổ chức cho HS tham gia các hoạt động sau: Hoạt động 1: Sử dụng Geometry Cabri
HS lần lượt vẽ 3 đồ thị tương ứng với các giá trị khác nhau của m. y1= x3 - 7x+6 tương ứng với giá trị m = 0;
y2 = x3 - x2 -2x tương ứng với giá trị m = 1;
- Chọn chức năng Show Axes: để cho hiện hệ trục toạđộ Oxy.
- Chọn chức năng Expression (nhập biểu thức), sau đó lần lượt bấm 3 vào màn hình làm việc, khi xuất hiện hộp chữ nhật ta nhập biểu thức của hàm số.
Hình 3.33
- Chọn chức năng Apply an Expression (xác lập đồ thị của một hàm số) rồi lần lượt bấm chọ biểu thức hàm số, sau đó bấm vào trục toạn độ, ta được hình ảnh đồ thị của hàm số (hình 3.33). Hoạt động 2: Xác định điểm cốđịnh Từ hình ảnh trực quan cho thấy, (Cm) có thể có một điểm cốđịnh!. Ta sẽ làm sáng tỏ vấn đề này: Hàm sốđã cho có thể viết dưới dạng: 2(-x+2)m2-(x2-7x+10)m+x3-7x+6-y=0 Nếu đồ thị hàm số có điểm cốđịnh thì toạđộ (x, y) của điểm cốđịnh là nghiệm của hệ: 2 3 x 2 0 x 7x 10 0 x 7x 6 y 0 − + = ⎧ ⎪ − + = ⎨ ⎪ − + − = ⎩ <=> <=> 3 x 2 x 2 x 5 y x 7x 6 = ⎧ ⎪ = ∨ = ⎨ ⎪ = − + ⎩ x 2 y 0 = ⎧ ⎨ = ⎩ Hoạt động 3: Minh hoạ kết quả:
- Chọn chức năng Intersection Points rồi bấm vào hai trong số 3 đồ thị vừa dựng để xác định giao điểm của chúng.
- Chọn chức năng Equation and Coordinates rồi bấm vào giao điểm vừa xác định. Kết quả Geometry Cabri cho biết toạ độ giao điểm là (2; 0), hoàn toàn trùng với kết quả trên.
• Ví dụ 3.12: Tìm điểm cốđịnh của đồ thị y=x3-2m2x2+3mx+2m2-3m+1
Không ít HS đã tìm ra 2 điểm cốđịnh: (1; 2), (-1; 0) bằng cách đưa ra lời giải sau: - Hàm sốđã cho có thể viết dưới dạng 2(1-x2)m2 - 3(1-x)m+x3+1-y=0
- Nếu đồ thị hàm số đã cho có điểm cố định thì toạ độ (x; y) của điểm cố định phải là nghiệm của hệ:
2 3 1 x 0 1 x 0 x 1 y 0 ⎧ − = ⎪ − = ⎨ ⎪ + − = ⎩ <=> 3 x 1 x 1 y x 1 = ± ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ = + ⎩
- Phương trình thứ nhất của hệ có 2 nghiệm là x1 = 1, x2 =-1 thay vào ta được toạ độ 2 điểm cốđịnh là (1; 2) và (-1; 0)
Trước khi chỉ ra sai lầm của lời giải là ở chỗ: phương trình thứ 2 của hệ chỉ có một nghiệm x=1 do đó nghiệm chung của hai phương trình đầu là x=1 nên khi thay x=1 vào phương trình thứ 3 của hệ ta có y=2, GV tổ chức cho HS sử dụng Geometry Cabri như sau:
HS lần lượt vẽ 3 đồ thị tương ứng với các giá trị khác nhau của m.
y1= x3 +1 tương ứng với giá trị m = 0; y2 = x3 - 2x2 -3x tương ứng với giá trị m = 1;
- Chọn chức năng Show Axes: để cho hiện hệ trục toạ độ Oxy.
- Chọn chức năng Expression (nhập biểu thức), sau đó lần lượt bấm 3 vào màn hình làm việc, khi xuất hiện hộp chữ nhật ta nhập biểu thức của hàm số. - Chọn chức năng Apply an Expression (xác lập đồ thị của một hàm số) rồi lần lượt bấm chọ biểu thức hàm số, sau đó bấm vào trục toạn độ, ta được hình ảnh đồ thị của hàm số (hình 3.34). Hình 3.34 Từng hình ảnh trực quan, HS "cảm thấy" kết quả có 2 điểm cốđịnh "hình như" là chính xác, tuy nhiên có thể tính toán "nhầm". Hình 3.35 GV tiếp tục cho HS dụng thêm đồ thị của hàm số thứ 3: y3 = x3 -2x2 - 3x+6 tương ứng với giá trị m= -1.
Hình ảnh thu được (hình 3.35) cho thấy: đồ thi đã cho chỉ có một điểm cốđịnh là: (1; 2). • Ví dụ 3.13: Xét bài tập: "Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số ( 1) 2 m x m y x m 2 + + + =
định bất chấp m (ngoại trừ một vài giá trị của m mà ta sẽ tìm ra)"
Sau khi HS đã giải quyết xong bài toán, chỉ ra hai điểm cốđịnh với mọi giá trị của m ngoại trừ 2 giá trị của m = -2, m=2, ta có thể sử dụng phần mềm Cabri Geometry để minh hoạ kết quả như sau.
• Bước 1: Dựng đồ thị của hàm số với một giá trị m tuỳ ý
- Chọn chức năng Point on Object: X (x; 0), M(m; 0) bất kỳ trên trục Ox
- Chọn chức năng Equation and Coordinates: cho hiện toạđộ của hai điểm X, M ra màn hình.
- Chọn cộng cụ Calculate: tính giá trị của hàm số trong đó x là hoành độđiểm X, m là hoành độ của điểm M.
- Chọn chức năng Measurement Transfer: lần lượt bấm chọn giá trị vừa tính được sau đó chỉ vào trục tung Oy. Ta xác định được điểm Y thuộc Oy. - Chọn công cụ Perpendicular Line: lần lượt dựng các đường vuông góc với trục Ox tại điểm X, vuông góc với Oy tại điểm Y.
- Chọn chức năng Intersection Points: xác giao điểm N của hai đường thẳng vuông góc vừa dựng. N sẽ là điểm có toạđộ (x, f(x)).
Hình 3.36
- Chọn chức năng Locus: lần lượt chỉ vào điểm N và điểm X để Cabri Geometryđưa ra đồ thị của hàm số.
• Bước 2: Minh hoạ hình ảnh của điểm cốđịnh
- Chọn chức năng Trace On/Off : gán thuộc tính để lại vết cho đường cong
- Cho điểm M thay đổi khi đó vết để lại của họđường cong tương ứng với các giá trị của m sẽ cho ta hình ảnh đồ thị của hàm số y=f(x) (hình 3.36). Hình ảnh cho thấy rõ ràng đồ thị của hàm sốđã cho luôn đi qua hai điểm cốđịnh (0; 1) và (-4; -3).
Đường thẳng cần tìm có phương trình y=x+1.
GV có thể khai thác Geometry Cabri để minh hoạ kết quả bài tập trên như sau: Chọn
- chức năng Show Axes: để cho hiện hệ trục toạđộ Oxy. Chọn
- chức năng Point on Object: X (x; 0), M(m; 0) bất kỳ trên trục Ox
Equation and Coordinates: cho hiện toạđộ
- Chọn chức năng của hai điểm X, M ra
màn hình.
- Chọn cộng cụ C
của điểm M. g
alculate: tính giá trị của hàm số trong đó x là hoành độđiểm X, m là hoành độ
- Chọn chức năn Measurement Transfer: lần lượt bấm chọn giá trị vừa tính được sau đó chỉ vào trục tung Oy. Ta xác định được điểm Y thuộc Oy.
P
g
- Chọn công cụ erpendicular Line: lần lượt dựng các đường vuông góc với trục Ox tại điểm X, vuông góc với Oy tại điểm Y.
- Chọn chức năn Intersection Points: xác giao điểm N của hai đường thẳng vuông góc vừa dựng. N sẽ là điểm có toạđộ (x, f(x)).
- Chọn chức năng Locus: lần lượt chỉ vào điểm N và điểm X để Cabri Geometry đưa ra đồ thị của hàm số.
- Trace On/Off r bồi ấm vào đồ thi để xác định thuộc tính để lại vết cho đồ thị.
- Trở về chếđộ con trỏ ( Pointer) sau rên trục bol (P): y=x2 - 4x+3 tại 2 sau: - Chọn chức năng Hình 3.37 đó bấm, giữ di chuyển điểm m t
hoành. Kết quả trực quan cho ta thấy rõ (Pm) luôn tiếp xúc với đường thẳng y=x- 1 (hình 3.37) Ví dụ 3.15:Đường thẳng (D) qua gốc toạ độ O cắt para điểm phân biệt A và B. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB. GV có thể minh hoạ kết quả cho HS như
- Chọn chức năng Expression (nhập biểu thức), khi xuất hiện hộp chữ nhật ta nhập biểu
n Expression (xác lập đồ thị của một hàm số) rồi lần lượt bấm thức của hàm số x2 - 4x+3
- Chọn chức năng Apply a
chọ biểu thức hàm số, sau đó bấm vào trục toạđộ, ta được hình ảnh đồ thị của hàm số. - Chọn chức năng Line dựng một đường thẳng bất kỳđi qua gốc toạđộ
Intersection Points: Xác định giao của (P) và (D). đặt tên cho 2 - Chọn chức năng giao điểm là A, B. - Chọn công cụ Midpoint: m Xác định trung điể I của A, B. - Chọn công cụ Trace On/Off:Để lại vết ch iể I - Cho đường thẳng (D) thay đ
o đ m ổi
3.4.3. Minh hoạ phương pháp tìm cực trị của biểu thức P(x; y) = ax + by trên một miền
ự như phần mềm Sketchpad, phần mềm Cabri Geometry được sử dụng rất rộng r
dụ 3.16: Người ta dựđịnh dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 140 kg chất A Hình 3.38 vị trí, ta thu được hình ảnh trực quan của quỹ tích điểm I (hình 3.38). đa giác lồi Tương t
ãi trong dạy học hình học phẳng. Với Cabri Geometry ta dễ dàng tạo ra các đối tượng hình học và nghiên cứu chúng trong các trạng thái động. Với Cabri Geometry, ta