- Ngoài ra nếu s0 e là quy tắc của P thì không ảnh hưởng đến kết quả, ta giả thiết s
b.Định lý 3.2 Cho văn phạm phi ngữ cảnh G=(N,T, s, P) Khi đó
L(G)\{e} được sinh ra bởi văn phạm phi ngữ cảnh G’=(N’, T’, s, P’) không chứa các ký hiệu thừa và không chứa e-quy tắc.
- Nếu A e ∈ P thì A gọi là ký hiệu triệt tiêu.
- Nếu B α ∈ P mà α gồm các ký hiệu triệt tiêu thì B là ký hiệu triệt tiêu.
- Nếu B αB ∈ P mà B là ký hiệu triệt tiêu trong lần xét trước thì B lại không bị coi là ký hiệu triệt tiêu.
Lặp lại quá trình trên cho tới khi trong N không còn tìm được các ký hiệu triệt tiêu mới.
- Loại bỏ tất cả các ký hiệu triệt tiêu trong N ta được tập mới gọi là N’. Tập P’ được xác định nh sau:
- Nếu A X1 X2…Xn∈P thì ta đưa vào P’ quy tắc dạng A α1α2…αn , trong đó A∈N’ :
+ Nếu Xi là ký hiệu không triệt tiêu thì đặt αi=Xi
+ Nếu Xi là ký hiệu triệt tiêu thì đặt αi=e
+ Nếu mọi Xi là ký hiệu triệt tiêu thì thay αi=e với i=1..n. thì A không còn thuộc N’ nên trường hợp này không xẩy ra.
Ta chỉ cần chứng minh L(G)\{e}⊆L(G’).
Rõ ràng e∉L(G’) và w∈L(G)\{e} có nghĩa là tồn tại s * w mà mỗi một dẫn xuất thành phần chỉ được sinh ra bởi các ký tự không triệt tiêu và điều này có nghĩa là các quy tắc dẫn xuất đó nằm trong P’ và do đó w∈L(G’).
Ví dụ. Cho văn phạm phi ngữ cảnh G=(N, T, s, P) trong đó T={a,b}; N={s,A,B} P={s AB; A aA; A e; B bB; B e. Loại bỏ các e-quy tắc.
Ta thấy e ∈ L(G), theo định lý thì loại A e; B e vì A, B là ký tự triệt tiêu. s AB, từ A aA suy ra A a và B bB suy ra B b.
Do đó P’={s AB; A a; B b;s A; s B} Rõ ràng văn phạm G’ không có e-quy tắc.
2.3. Quy tắc đơn.
a. Định nghĩa. Cho văn phạm phi ngữ cảnh G=(N, T, s, P), nếu có quy tắc dang AB ∈ P; A, B∈N thì ta nói đó là quy tắc đơn của G. Ta thấy rằng quy tắc đơn chỉ có B ∈ P; A, B∈N thì ta nói đó là quy tắc đơn của G. Ta thấy rằng quy tắc đơn chỉ có tác dụng kéo dài thời gian sinh ra ngôn ngữ vì vậy ta tìm cách rút loại quy tắc dạng
này khi có thể mà không ảnh hưởng tới ngôn ngữ được sinh ra bởi văn phạm đã cho. Định lý sau đây cho ta câu trả lời đó.
b. Định lý 3.3. Mọi văn phạm phi ngữ cảnh G=(N, T, s, P) không chứa xâu rỗng đềucó thể sinh ra từ một văn phạm phi ngữ cảnh không có ký hiệu thừa, không có e-quy có thể sinh ra từ một văn phạm phi ngữ cảnh không có ký hiệu thừa, không có e-quy tắc, không có quy tắc đơn.
Chứng minh. Theo các định lý trên không giảm tổng quát ta coi văn phạm phi ngữ cảnh G=(N, T, s, P) sao cho e∉L(G) trong N không có ký hiệu thừa và P không có e- quy tắc. Ta xây dựng văn phạm phi ngữ cảnh G’=(N’, T’, s, P’) không có quy tắc đơn như sau:
- N’:=N.
- Đưa tất cả các quy tắc không đơn của P vào P’.
- Nếu A B ∈ P, với A, B ∈ N’, khi đó chắc chắn tồn tại dẫn xuất:
s * αAβ αBβ * αwβ, với α, β∈ (N’ ∪T)*, w ∈ T* do N’ gồm các ký hiệu không thừa.
-Ta thay quy tắc A B và đưa vào P’ các quy tắc s αAβ, A w Khi đó 2 quy tắc trên không đơn và chức năng sinh ngôn ngữ giống nh A B, do đó L(G)=L(G’).
d. Ví dụ. Cho văn phạm phi ngữ cảnh G=(N, T, s, P) trong đó T={a}, N={s,A,B} P={s s+A, s A, A A * B, A B, B a}
Ta xây dựng văn phạm mới với P’={s s+A, A A * B, B a, s A*B,A a, s a } không còn quy tắc đơn và G≈G’.