- Ngoài ra nếu s0 e là quy tắc của P thì không ảnh hưởng đến kết quả, ta giả thiết s
4.6.Đánh giá lực lượng ngôn ngữ chính quy.
c. Định lý 2.7 Mọi ngôn ngữ trên bảng chữ cái X đều biểu diễn được bởi automat hữu hạn khi và chỉ khi nó biểu diễn được dưới dạng automat hữu hạn không đơn
4.6.Đánh giá lực lượng ngôn ngữ chính quy.
a. Đặt vấn đề. Văn phạm chính quy G sinh ra ngôn ngữ chính quy hoặc cho automat hữu hạn M đoán nhận ngôn ngữ đó, vấn đề là làm thế nào để xác định L(G) hay L(M) là hữu hạn hay vô hạn. Định lý sau trả lời cho câu hỏi trên.
b. Định lý 2.12. Tồn tại thuật toán xác định ngôn ngữ đoán nhận bởi automat hữu hạn là hữu hạn hay vô hạn.
Chứng minh. Ta chứng minh mệnh đề tương đương sau:
Nếu L là ngôn ngữ đoán nhận bởi automat hữu hạn M có n trạng thái thì: 1. L ≠∅ ⇔ L chứa một xâu w thoả w<=n.
2. L vô hạn ⇔ L chứa một xâu w có độ dài l thoả n < l <2n.
Thật vậy với 1/ do L≠∅ nên tồn tại w=w1 w2…wm∈L, giả sử w> n(⇔m>n) thì suy ra quá trình đoán nhận w phải trải qua hơn n+1 chuyển trạng thái, vì M chỉ có n trạng thái nên suy ra trong quá trình đoán nhận có ít nhất một trạng thái xuất hiện 2 lần giả sử rằng qi0=δ(q0, w1 w2…wio ) và qi0=δ(q0, w1 w2…wjo ) khi đó xét xâu w’= w1 w2… wio wjo+1…wm rõ ràng w’∈L và w’< w, lặp lại quá trình trên cho đến khi nhận được điều cần chứng minh.
2. L vô hạn, khi đó L phải chứa xâu có độ dài tuỳ ý w
- Nếu w>2n ta lặp lại cách làm ở 1/ cho đến khi w<2n
- Ngược lại, nếu tồn tại w sao cho w>n theo cách làm ở 1/ nhờ đó ta có thể sinh ra vô số xâu bằng cách thêm vào w số lần tuỳ ý đoạn ký tự bị cắt bỏ wio…wjo+1 để nhận được từ mới, do vậy L vô hạn.