- Ngoài ra nếu s0 e là quy tắc của P thì không ảnh hưởng đến kết quả, ta giả thiết s
4.3.Automat hữu hạn lưỡng cực.
c. Định lý 2.7 Mọi ngôn ngữ trên bảng chữ cái X đều biểu diễn được bởi automat hữu hạn khi và chỉ khi nó biểu diễn được dưới dạng automat hữu hạn không đơn
4.3.Automat hữu hạn lưỡng cực.
a. Định nghĩa. Cho Cho M= (X, S, q0, δ, F) ta gọi là automat lưỡng cực nếu:- F chỉ có một phần tử F={qr} qr≠q0 - F chỉ có một phần tử F={qr} qr≠q0
- ∀q∈S, mọi x∈X, q0∉δ(q,x) - Với mọi x ∈X, δ(qr,x)=∅.
Trong đó q0 và qr là trạng thái đầu và trạng thái kết thúc.
Từ định nghĩa suy ra rằng đồ thị biểu diễn automat lưỡng cực là một đồ thị lưỡng cực, trong đó q0 là cực vào không có cung vào nó, còn qr là cực ra và không có cung đi ra từ nó.
b b
Bộ môn khoa học máy tính - HVKTQS 38
q 0 q 1 q q q 1 q 1 q q
a b b a b b
b b
Hình 1 là automat không đơn định và không lưỡng cực. Còn hình sau là đơn định và lưỡng cực.
c. Định lý 2.8. Mọi ngôn ngữ trên X biểu diễn được bởi automat hữu hạn không đơn định khi và chỉ khi nó biểu diễn được bởi automat lưỡng cực.
Chứng minh. Giả sử E biểu diễn được bởi automat không đơn định M= (X, S, q0, δ, F) ta xây dựng automat lưỡng cực M’= (X, S’, q0, δ’, {q’f}) sau:
- S’:= S ∪{q’0, q’f}
- δ’(q,x)= δ(q,x) nếu δ(q,x) ∩F=∅, với q ∈ S, x ∈ X
- δ’(q,x)= δ(q,x) ∪{qf’} nếu δ(q,x) ∩F≠∅, với q ∈ S, x ∈ X - Với mọi x ∈X, δ’(qo’,x)= δ(qo,x)
- Với mọi x ∈X, δ’(q’f,x)=∅. Với cài đặt trên suy ra:
- M’ là automat lưỡng cực. Ta cần chứng minh w ∈T(M)⇔w ∈T(M’). Ta có các biểu thức tương đương sau:
w ∈T(M)⇔δ’(qo,w) ∩F≠∅⇔ qf∈δ’(qo,w) ⇔ w ∈T(M’) Ta chứng minh: w ∈T(M)⇔δ’(qo,w) ∩F≠∅.
Thật vậy, với w ∈T(M)⇔ δ(qo,w) ⊆ F suy ra δ(qo,w)∩F≠∅ nên δ’(qo,w)= δ(qo,x)
∪{qf} suy ra δ’(qo,w) ∩F≠∅.
Ngược lại, nếu δ’(qo,w) ∩F≠∅ thì δ’(qo,w) ∩F = {δ(qo,x) ∪{q’f}}∩F≠∅ mà q’f∉F nên δ(qo,w) ∩F≠∅.
Nếu δ’(qo,w) ∩F≠∅
mà δ’(qo,w)= δ(qo,w) nếu δ(qo,w) ∩F=∅ ( ⇒δ’(qo,w) ∩F=∅ ) δ(qo,w) ∪{q’f} nếu δ(qo,w) ∩F≠∅
nên δ’(qo,w)= δ(qo,w) ∪{q’f}, nghĩa là q’f∈δ’(qo,w) ⇔ w ∈T(M’).