8.4.1. Mở đầu
Hình 1a. Hình 1b
Hệ thống đƣờng giao thông ở Maine đƣợc biểu thị bằng đồ thị đơn trên hình 1a. Cách duy nhất để những con đƣờng có thể đi lại đƣợc vào mùa đông là phải cào tuyết thƣờng xuyên. Chính quyền địa phƣơng muốn cào tuyết một số ít nhất các con đƣờng sao cho luôn luôn có đƣờng đi giữa hai thành phố bất kỳ. Hình 1b biểu thị một tập hợp các con đƣờng nhƣ vậy. Ta nhận thấy đồ thị con biểu diễn các con đƣờng này là một cây, vì nó liên thông và chứa sáu đỉnh, năm cạnh.
Lời giải bài toán trên là một đồ thị con có một số tối thiểu các cạnh và chứa tất cả các đỉnh của đồ thị ban đầu. Đồ thị nhƣ thế phải là một cây.
Định nghĩa 1. Cho G là một đơn đồ thị. Một cây đƣợc gọi là cây khung của G nếu nó là
Một đơn đồ thị có cây khung sẽ là một đồ thị liên thông vì có đƣờng đi trong cây khung chứa hai đỉnh bất kỳ. Điều ngƣợc lại cũng đúng, tức là mọi đồ thị liên thông đều có cây khung. Cây khung của đồ thị không phải là duy nhất. Một đồ thị có thể có nhiều cây khung.
Định lý 1. Một đơn đồ thị là liên thông nếu và chỉ nếu nó có cây khung.
Chứng minh. Trƣớc tiên giả sử đồ thị G có cây khung T. T chứa tất cả các đỉnh của G. Hơn nữa có đƣờng đi trong T giữa hai đỉnh bất kỳ. Vì T là đồ thị con của G nên có đƣờng đi trong G giữa hai đỉnh bất kỳ của nó. Do đó G là liên thông.
Bây giờ chúng ta giả sử G là liên thông. Nếu G không phải là cây thì nó có chu trình đơn. Xóa đi một cạnh trong các chu trình đơn này. Đồ thị nhận đƣợc chứa một số cạnh ít hơn nhƣng vẫn còn chứa tất cả các đỉnh của G và vẫn liên thông. Nếu đồ thị con này không phải là cây thì nó chứa chu trình đơn. Cũng giống nhƣ trên, ta xóa đi một cạnh của chu trình đơn. Lặp lại quá trình này cho đến khi không còn chu trình đơn. Điều này có thể vì chỉ có hữu hạn cạnh trong đồ thị. Đồ thị con cuối cùng sau khi xóa đi các cạnh của các chu trình là cây khung. Vì nó chứa tất cả các đỉnh của đồ thị và liên thông.