Các cây có gốc có thể dùng để mô hình các bài toán trong đó có một dãy các quyết định dẫn đến lời giải. Chẳng hạn, cây tìm kiếm nhị phân có thể dùng để định vị các phần tử dựa trên một loạt các so sánh, trong đó mỗi so sánh cho ta biết ta có định vị đƣợc phần tử đó hay chƣa, hoặc ta sẽ đi theo cây con trái hoặc cây con phải. Cây có gốc trong đó mỗi đỉnh trong ứng với một quyết định và mỗi cây con tại các đỉnh này ứng với mỗi một kết cục có thể của quyết định đƣợc gọi là cây quyết định. Những lời giải có thể của bài toán tƣơng ứng với các đƣờng đi tới các lá của cây có gốc này. Ví dụ sau sẽ minh họa một ứng dụng của cây quyết định.
Ví dụ 1. Có 4 đồng xu trong đó có 1 đồng xu giả nhẹ hơn đồng xu thật. Xác định số lần cân
(thăng bằng) cần thiết để xác định đồng xu giả.
Giải. Rõ ràng ta chỉ cần hai lần cân để xác định đồng xu giả vì khi ta đặt bốn đồng xu lên bàn
cân thì chỉ có thể xảy ra hai kết cục: đồng số 1,2 nhẹ hơn hoặc nặng hơn đồng số 3, 4. Thực hiện quyết định cân lại giống nhƣ trên cho hai đồng xu nhẹ hơn ta xác định đƣợc đồng xu nào là giả. Hình 7.3 dƣới đây sẽ mô tả cây quyết định giải quyết bài toán.
1 2 3 4
1 2 3 4
63
Ví dụ 2. Giả sử có 7 đồng xu, tất cả có trọng lƣợng nhƣ nhau, và một đồng xu giả có trọng
lƣợng nhỏ hơn các đồng khác. Nếu dùng một chiếc cân có 2 đĩa cân thì phải cần bao nhiêu lần cân để xác định đồng xu nào trong 8 đồng xu là đồng xu giả? Hãy đề xuất một thuật toán tìm đồng xu giả.
Giải. Có 3 khả năng có thể xảy ra cho một lần cân: Hai đĩa có trọng lƣợng bằng nhau, bên trái nặng hơn hoặc bên phải nặng hơn. Do đó cây quyết định cho một dãy các lần cân là cây tam phân. Có ít nhất 8 lá trong cây quyết định vì có 8 kết cục có thể (vì mỗi một trong 8 đồng xu có thể là đồng xu giả) và mỗi kết cục có thể cần phải đƣợc biểu diễn bằng ít nhất một lá. Số lần cân nhiều nhất để xác định đồng xu giả là chiều cao của cây quyết định. Từ hệ quả 1 trong tiết 9.1 ta suy ra chiều cao của cây quyết định là log38 = 2. Vì thế cần ít nhất là 2 lần cân. Lần cân đầu tiên đặt 3 đồng xu lên mỗi đĩa cân.