7.7.1. Mở đầu
Chúng ta nghiên cứu bài toán nối ba ngôi nhà với ba trung tâm thiết bị sinh hoạt riêng rẽ là khí đốt, nƣớc và điện nhƣ hình sau
Có thể nối các ngôi nhà này với các trung tâm thiết bị sao cho không có đƣờng nối nào cắt nhau? bài toán này có thể đƣợc mô hình bằng đồ thị phân đôi đầy đủ K3,3 . Câu hỏi trên có thể diễn đạt nhƣ sau:
Có thể vẽ K3,3 trên một mặt phẳng sao cho không có hai cạnh cắt nhau?
Trong mục này chúng ta sẽ nghiên cứu bài toán: có thể vẽ một đồ thị trên một mặt phẳng không có các cạnh nào cắt nhau (trừ tại các đầu mút của chúng) không?
Thƣờng có nhiều cách biểu diễn đồ thị. Khi nào có thể tìm đƣợc ít nhất một cách biểu diễn đồ thị không có cạnh cắt nhau?
Định nghĩa 1. Một đồ thị đƣợc gọi là đồ thị phẳng nếu nó có thể vẽ đƣợc trên một mặt phẳng
mà không có các cạnh nào cắt nhau (ở một đỉnh không phải là điểm mút của các cạnh). Hình vẽ nhƣ thế đƣợc gọi là một biểu diễn phẳng của đồ thị.
Một đồ thị có thể là phẳng ngay cả khi nó thƣờng đƣợc vẽ với những cạnh cắt nhau.
Thí dụ đồ thị đầy đủ K4 có thể vẽ lại để không có đƣờng cắt nhau. Đồ thị khối 3 chiều Q3 có thể vẽ lại nhƣ sau
Nhà 1 Nhà 2 Nhà 3
Chúng ta có thể chỉ ra một đồ thị phẳng bằng cách chỉ ra một cách biểu diễn phẳng của nó. Chỉ ra một đồ thị không phẳng sẽ khó khăn hơn nhiều.
Ví dụ 3. K3,3 nhƣ trên hình vẽ có phải là một đồ thị phẳng không?
Đồ thị K3,3 a) b)
Giải. Ta sẽ chứng minh rằng đồ thị K3,3 là không phẳng. Mọi ý định vẽ K3,3 trong một mặt phẳng không có cạnh cắt nhau đều thất bại. Giả sử ngƣợc lại, K3,3 có một biểu diễn phẳng nào đó. Ta thấy rằng chu trình C = {v1, v4, v2, v5, v1} là một đƣờng cong kín chia mặt phẳng thành 2 phần R1 và R2 nhƣ hình vẽ. Đỉnh v3 nằm trong R1 hoặc R2. Khi v3 nằm trong R2 thì các cạnh (v3,v4) và (v3,v5) chia R2 thành 2 miền con R21 và R22 nhƣ hình b). Tiếp theo rõ ràng không có cách nào đặt đỉnh v6 mà không có cạnh cắt nhau. Nếu v6R1 thì cạnh (v6,v3) sẽ cắt chu trình C. Nếu v6 nằm trong R2 thì có 2 khả năng xảy ra: nếu v6 R21 thì cạnh (v6,v2) cắt đƣờng (v4, v3, v5), còn nếu v6 R22 thì cạnh (v6,v1) cắt đƣờng (v4, v3, v5). Tƣơng tự ta có thể chứng minh rằng không thể vẽ đƣợc đồ thị phẳng nếu v3R1. Vậy không tồn tại biểu diễn phẳng của đồ thị K3,3.
Ví dụ trên đây chính là bài toán nhà - thiết bị sinh hoạt. Ba ngôi nhà và các trung tâm thiết bị sinh hoạt không thể nối với nhau mà không có đƣờng cắt nhau. Ta có thể chứng minh rằng K5 cũng là đồ thị không phẳng.
7.7.2. Công thức Euler
Biểu diễn phẳng của một đồ thị chia mặt phẳng thành các miền, kể cả miền vô hạn. Ví dụ biểu diễn phẳng của đồ thị Q3 ở hình dƣới chia mặt phẳng thành 6 miền. Euler đã chứng minh rằng tất cả các biểu diễn phẳng của một đồ thị
đều chia mặt phẳng thành cùng một số miền nhƣ nhau. Để làm điều này, ông ta đã tìm mối quan hệ giữa số miền, số cạnh và số đỉnh của một đồ thị phẳng.
Định lý 1. Công thức Euler. Cho G là một đồ thị đơn phẳng liên thông với e cạnh và v
đỉnh. Gọi r là số miền trong biểu diễn phẳng của G. Khi đó r = e - v +2
Chứng minh. Giả sử ta đã có một biểu diễn phẳng của đồ thị G. Ta sẽ chứng minh định lý bằng cách xây dựng một dãy các đồ thị con G1, G2,...Ge = G bằng cách mỗi bƣớc góp thêm một cạnh vào đồ thị ở bƣớc trƣớc. Điều này làm đƣợc bằng phƣơng pháp đệ quy nhƣ sau: Lấy tùy ý một cạnh của G để đƣợc G1.
v1 v6 v5 v4 v3 v2 v1 v5 v4 v2 v1 v5 v4 v2 v3 R2 R1 R1 R21 R22 R
49 Giả sử ta đã có Gn-1, ta tạo ra Gn bằng cách
thêm một cạnh tùy ý liên thuộc với một đỉnh của Gn-1 và thêm một đỉnh khác liên thuộc với cạnh mới đó, nếu nó chƣa có trong Gn-1. Điều này làm đƣợc vì G là liên thông. Sau e bƣớc, ta nhận đƣợc đồ thị Ge chính là đồ thị G.
Gọi rn, en và vn tƣơng ứng là số miền, số cạnh, số đỉnh của đồ thị phẳng Gn.
Ta sẽ chứng minh rằng rn = en - vn +2 (8.11) và khi n = e thì ta đƣợc công thức Euler. Ta sẽ chứng minh điều này bằng quy nạp.
Ta thấy với G1 thì r =1, tức là chỉ có
một miền duy nhất. Đồ thị G1 có một cạnh và 2 đỉnh.
Ta có e - v +2 = 1 -2 + 2 = 1 = r. Vậy với trƣờng hợp cơ sở công thức (8.11) đúng.
Bây giờ giả sử rằng với n công thức (8.11) đúng. Gọi {an+1, bn+1} là cạnh gộp vào Gn để đƣợc Gn+1. Có hai khả năng xẩy ra:
Cả hai đỉnh an+1 và bn+1 đều đã thuộc Gn. Khi đó chúng phải ở trên biên của miền chung R nhƣ ở hình bên, vì nếu không thì cạnh {an+1,bn+1} sẽ cắt một cạnh nào đó ngƣợc với giả thiết đồ thị phẳng. Cạnh mới này chia miền R thành
2 miền con. Do đó rn+1 = rn +1, en+1 = en +1 và vn+1 = vn . Do vậy ta có công thức rn+1 = en+1 - vn+1 +2.
Trƣờng hợp thứ hai, một trong hai đỉnh của cạnh mới chƣa thuộc Gn. Giả sử an+1 Gn còn bn+1 thì không. Thêm cạnh này không sinh ra miền mới nào, vì bn+1 phải ở trong
miền có an+1 ở trên biên của nó. Do đó rn+1 = rn. Nhƣng en+1 = en +1, vn+1 = vn + 1. Mỗi vế của công thức không đổi
Ví dụ 4. Giả sử đồ thị liên thông G có 20 đỉnh, mỗi đỉnh đều có bậc bằng 3. Biểu diễn đồ
thị này chia mặt phẳng thành bao nhiêu miền?
Giải. Tổng số đỉnh là 20, mỗi đỉnh đều có bậc 3 do đó tổng số đỉnh là 3.20 = 60. Theo
địnhlý bắt tay thì số cạnh bẳng một nửa số đỉnh, do đó số cạnh e = 60:2 = 30. Theo công thức Euler, ta có số các miền là: r = e - v + 2 = 30 - 20 + 2 = 12.
Công thức Euler có thể dùng để tạo lập một số bất đẳng thức đối với các đồ thị phẳng. Hệ quả sau cho ta một bất đẳng thức nhƣ vậy:
Hệ quả 1. Nếu G là một đơn đồ thị phẳng liên thông với e cạnh, v đỉnh trong đó v3, khi đó
e 3v - 6 (8.12) Chứng minh bổ đề 1 dựa trên khái niệm bậc
R an+ 1 bn+1 R an+ 1 bn+1 R
của miền. Đó là số cạnh trên biên của miền đó.
Nếu khi ta xuất phát từ một đỉnh trên đƣờng biên vẽ theo đƣờng biên cho đến khi trở về
điểm xuất phát mà không nhấc bút lên thì cạnh Đồ thị G đƣợc vẽ hai lần sẽ đƣợc tính 2 đơn vị vào bậc
của miền. Thí dụ ở hình bên miền R có bậc bằng 8. Miền R trong đồ thị H có bậc là 4.
Đồ thị H
Với cách định nghĩa bậc của miền nhƣ trên, ta thấy rằng mỗi cạnh đều góp 2 đơn vị cho bậc của miền: nếu nó ở trên biên chung của hai miền R1 và R2 thì góp 1 đơn vị cho deg(R1) và 1 đơn vị cho deg(R2); còn nếu nó ở trên biên của một miền R nhƣ ở đồ thị G thì nó góp 2 đơn vị cho miền này.Vậy
2e =
R R)
deg( (8.13)
Bây giờ chúng ta chứng minh hệ quả 1. Một đơn đồ thị phẳng liên thông với số đỉnh v3 khi vẽ trên một mặt phẳng sẽ chia mặt phẳng thành r miền. Bậc của mỗi miền ít nhất bằng 3. (Vì ta chỉ xét đồ thị đơn nên không có cạnh bội để tạo ra miền bậc 2, và không có khuyên để tạo ra miền bậc 1). Đặc biệt, bậc của miền vô hạn ít nhất bằng 3 vì có ít nhất 3 đỉnh trong đồ thị. Vậy tổng số bậc của các miền ít nhất là bằng 3 lần số miền
R R) deg( 3r (8.14) Kết hợp (8.3) và (8.4) ta có 2e = R R) deg( 3r Suy ra 3 2e r . Vì r = e - v +2 nên e - v +2 3 2e
Từ đây suy ra e 3v - 6 là điều cần chứng minh.
Ví dụ 5. Dùng hệ quả 1 chứng minh rằng K5 là không phẳng.
Giải. Đồ thị K5 có 5 đỉnh và 10 cạnh. e = 10, 3v - 6 = 9. Vậy bất đẳng thức
e 3v - 6 không thỏa mãn. Do đó K5 K5 không phải là đồ thị phẳng.
51 Nhƣ đã chỉ ra, đồ thị K3,3 là không phẳng.
Đồ thị này có 6 đỉnh và 9 cạnh. e =10, v = 6. Ta có 3v - 6 = 12, tức là
e 3v - 6. Nghĩa là điều kiện (8.12) chỉ là điều kiện cần để một đồ thị có số đỉnh lớn hơn hoặc bằng 3 là phẳng, chứ không phải là điều kiện đủ. (8.12) thỏa mãn nhƣng đồ thị không phải là phẳng.
Tuy nhiên dùng hệ quả sau có thể chứng minh rằng K3,3 là không phẳng.
Hệ quả 2. Nếu một đơn đồ thị phẳng liên thông có e cạnh, v đỉnh trong đó v3, và không có chu trình độ dài 3 thì e 2v - 4.
Việc chứng minh hệ quả 2 tƣơng tự nhƣ chứng minh hệ quả 1, trừ một điều là trong trƣờng hợp này do không có chu trình độ dài 3, nên bậc của một miền ít nhất phải là 4.
Ví dụ 6. Dùng hệ quả 2 chỉ ra rằng đồ thị K3,3 là không phẳng.
Giải. Vì K3,3 không có chu trình độ dài 3 (vì đây là đồ thị phân đôi). e = 10, 2v - 4 = 8. Nhƣ vậy bất đẳng thức e 2v -4 không đúng, do đó K3,3 không phải là đồ thị phẳng.
7.7.3. Định lý Kuratowski
Chúng ta đã thấy K3,3 là không phẳng. Rõ ràng, một đồ thị là không phẳng nếu nó chứa một trong hai (hoặc cả hai) đồ thị này nhƣ là đồ thị con. Một điều khá lý thú là điều ngƣợc lại cũng đúng theo nghĩa nào đó: tất cả các đồ thị không phẳng cần phải chứa đồ thị con nhận đƣợc từ K3,3 hoặc K5 bằng một số phép toán nào đó.
Định nghĩa 1.
Nếu một đồ thị là phẳng, mọi đồ thị nhận đƣợc từ đồ thị này bằng cách thay cạnh {u,v} bằng hai cạnh mới {u,w} và {w,v}, cũng là phẳng.
Phép thay thế một cạnh bằng 2 cạnh nhƣ trên đây đƣợc gọi là phép biến đổi sơ cấp.
Định nghĩa 2.
Các đồ thị G1 = (V1,E1) và G2 = (V2,E2) đƣợc gọi là đồng phôi nếu chúng có thể nhận đƣợc từ cùng một đồ thị bằng một dãy các phép biến đổi sơ cấp.
v1 v6 v5 v4 v3 v2 u v w
Ví dụ.
G1 G2 G3
Ba đồ thị G1, G2 và G3 là đồng phôi vì đồ thị G2 và đồ thị G3 có thể nhận đƣợc từ đồ thị G1 bằng phép phân chia sơ cấp.
Nhà toán học Ba lan, Kuratowski, đã thiết lập định lý sau đây vào năm 1930. Định lý này biểu thị đặc điểm của các đồ thị phẳng nhờ khái niệm đồ thị đồng phôi.
Định lý 2. Đồ thị G là không phẳng nếu và chỉ nếu nó chứa một đồ thị con đồng phôi với
K3,3 hoặc K5.
Rõ ràng đồ thị chứa đồ thị con đồng phôi với K3,3 hoặc K5 là không phẳng. Tuy nhiên chứng minh điều ngƣợc lại, tức là mọi đồ thị không phẳng đều chứa một đồ thị con đồng phôi với K3,3 hoặc K5 là rất phức tạp và chúng ta sẽ không trình bày ở đây.
7.8. TÔ MÀU ĐỒ THỊ
7.8.1. Mở đầu
Những bài toán liên quan đến tô màu bản đồ đã dẫn đến rất nhiều kết quả trong lý thuyết đồ thị. Khi một bản đồ đƣợc tô màu, hai miền có chung biên giới đƣợc tô bằng hai màu khác nhau. Cách đơn giản nhất là tô mỗi miền một màu. Tuy nhiên khi số miền khá lớn thì không có đủ số màu để tô, hoặc ta phải dùng các màu rất gần nhau, khó phân biệt. Một bài toán đƣợc đặt ra là : xác định số màu tối thiểu cần có để tô một bản đồ sao cho các miền kề nhau không cùng một màu. Ví dụ với bản đồ bên trái dƣới đây bốn màu là đủ, nhƣng 3 màu không đủ. Trong bản đồ bên phải 3 màu là đủ, nhƣng hai màu không đủ.
Bản đồ A Bản đồ B
Một bản đồ trên mặt phẳng có thể biểu diễn bằng một đồ thị. Để lập sự tƣơng ứng đó, mỗi miền của bản đồ đƣợc biểu diễn bằng một đỉnh. Các cạnh nối hai đỉnh, nếu các miền đƣợc biểu diễn bằng hai đỉnh này có biên giới chung nhau. Hai miền chung nhau chỉ một điểm
E G E F D C B A D C B A
53 không đƣợc coi là kề nhau. Đồ thị nhận đƣợc bằng cách nhƣ vậy đƣợc gọi là đồ thị đối ngẫu của bản đồ đang xét. Rõ ràng mọi bản đồ trên mặt phẳng đều có đồ thị đối ngẫu phẳng. Các đồ thị sau là đồ thị đối ngẫu với các bản đồ A,B
Bài toán tô màu các miền của bản đồ là tƣơng đƣơng với bài toán tô màu các đỉnh của đồ thị đối ngẫu sao cho không có hai đỉnh liền kề nhau có cùng một màu.
Định nghĩa 1. Tô màu một đơn đồ thị là sự gán màu cho các đỉnh của nó sao cho không có
hai đỉnh liền kề nào đƣợc gán cùng một màu.
Một đồ thị có thể tô màu bằng cách gán cho mỗi đỉnh các màu khác nhau. Tuy vậy có thể thấy rằng với hầu hết các đồ thị, ta có thể tô màu chúng với số màu ít hơn số đỉnh. Vậy số màu ít nhất cần thiết là bao nhiêu?
Định nghĩa 2. Số màu của một đồ thị là số tối thiểu các màu cần thiết để tô màu đồ thị này.
Chúng ta thấy rằg câu hỏi về số màu lớn nhất của các đồ thị phẳng chính là câu hỏi về số cực đại các màu cần thiết để tô các bản đồ phẳng sao cho không có hai miền kề nhau nào đƣợc gán cùng một màu. Bài toán này đã đƣợc nghiên cứu hơn 100 năm nay. Câu trả lời chính là một trong các định lý nổi tiếng nhất của toán học.
Định lý 1. Định lý Bốn màu. Số màu của đồ thị phẳng là không lớn hơn 4.
Địnhlý Bốn màu đầu tiên đƣợc đƣa ra nhƣ một phỏng đoán vào năm 1850. Và cuối cùng đã đƣợc hai nhà toán học Mỹ là Kenneth Appel và Wolfgang Haken chứng minh năm 1976. Trƣớc năm 1976 đã có nhiều chứng minh sai, mà thông thƣờng rất khó tìm thấy chỗ sai, đã đƣợc công bố. Hơn thế nữa đã có nhiều cố gắng vô ích để tìm phản ví dụ bằng cách cố vẽ bản đồ cần hơn bốn màu để tô nó.
Có lẽ một chứng minh sai nổi tiếng nhất trong toán học là chứng minh sai bài toán bốn màu đƣợc công bố năm 1879 bới luật sƣ, nhà toán học nghiệp dƣ Luân đôn tên là Alfred Kempe. Các nhà toán học chấp nhận cách chứng minh của ông ta cho tới năm 1890, khi Percy Heawood phát hiện ra sai lầm trong chứng minh của Kempe. Tuy nhiên cách lập luận của Kempe lại chính là cơ sở cho chứng minh của Appel và Haken. Chứng minh của họ dựa trên sự phân tích một cách cẩn thận nhờ máy tính. Họ đã chỉ ra rằng nếu bài toán bốn màu sai thì sẽ dẫn tới một phản ví dụ thuộc một trong gần 2000 loại khác nhau và đã chỉ ra là không có loại nào dẫn đến phản ví dụ cả. Trong chứng minh của mình họ đã dùng hơn 1000 giờ máy (tức là máy tính chạy liên tục trong hơn 40 ngày) Cách chứng minh này đã gây ra nhiều cuộc tranh cãi vì máy tính đã đóng vai trò quan trọng biết bao. Chẳng hạn, liệu có thể có sai lầm trong chƣơng trình và điều đó dẫn đến kết quả sai không? Lý luận của họ có thực sự là chứng minh không, nếu nó phụ thuộc vào thông tin ra từ một máy tính không tin cậy?
Bài toán bốn màu chỉ đƣợc áp dụng cho đồ thị phẳng. Các đồ thị không phẳng có thể có số màu lớn tùy ý nhƣ sẽ đƣợc chỉ ra trong ví dụ 2.