2.1.4.1. Số nguyên tố Mersenne
Các số nguyên có dạng Mq = 2q – 1 đƣợc gọi là các số Mersenne, tên của nhà toán học ngƣời Pháp Marin Mersenne. Các số Mersenne là số nguyên tố đƣợc gọi là các số
nguyên tố Mersenne. Bảng dƣới đây liết kê một vài số Mersenne và cho biết số nào là nguyên tố:
Bảng 2.1.4. Liết kê một vài số Mersenne và cho biết số nào là nguyên tố
Từ bảng này, một phỏng đoán đƣợc đƣa ra Mq là số nguyên tố nếu và chỉ nếu q là số nguyên tố, nhƣng q = 11 là một phản ví dụ cho giả thuyết này. Tuy nhiên, có điều đúng là q phải là số nguyên tố để Mq là số nguyên tố. Hai định lý dƣới đây đƣa ra để tìm số nguyên tốt Mersenne. Chúng đƣợc chứng minh bởi Crandrall và Pomerence [24].
Định lý 2.1.4:Nếu Mq = 2q – 1 là số nguyên tố, thì q là số nguyên tố.
Định lý 2.1.5: Mọi số nguyên tố q > 2, mọi phân tích nguyên tố của Mq tương đương với 1 mod q và 1 mod 8.
Có hai định lý cho phép tìm kiếm các số nguyên tố Mersenne hiệu quả hơn các cách tìm thông thƣờng. Chúng ta đƣa ra một vài giới thiệu ngắn ở đây. Chúng ta bắt đầu kiểm tra Mqchỉ với q là số nguyên tố. Sau đó kiểm tra thoả mãn Mq 1 mod r với một vài các giá trị nguyên tố nhỏ của r thoả mãn r1mod q và r = 1 mod 8. Các số vƣợt qua kiểm tra này sẽ là chủ đề nghiên cứu của kiểm tra Lucas-Lehmer, là kiểm tra nguyên tố xác định, nó cần các thừa số của n +1 để xác định n là nguyên tố. Từ biểu thức Mq + 1 = 2q, kiểm thử này dễ dàng áp dụng số nguyên tố Mersenne. (Xem Crandall và Pomerance 2001 [24] để biết thêm về kiểm thử Lucas-Lehmer).
Phần lớn giá trị q không cho kết quả Mq là số nguyên tố. Số nguyên tố Mersenne
lớn đƣợc tìm thấy năm 2006 là 232582657 – 1. Và có 45 số nguyên tố Mersenne đƣợc tìm thấy trong năm 2008, vào ngày 23 tháng 8 năm 2008 tìm thấy số nguyên tố thứ 45 là
243122609 – 1 có số lƣợng không lồ các con số là 12 978 189 con số, đƣợc tìm ra tại đại học California Los Angles (UCLA). [tham khảo tại www.mersenne.org]
2.1.4.2. Số nguyên tố Fermat
Các số Fermat có dạng Fn =
n
2
2 + 1. Fermat đƣa ra dự đoán vào năm 1637 rằng các số dạng này là số nguyên tố, và chỉ ra sự đúng đắn của n từ 0 đến 4. Tuy nhiên, tất cả các số Fermat đƣợc kiểm tra sau đó đều cho kết quả là hợp số. Euler là ngƣời đầu tiên bác bổ dự đoán của Fermat, chứng minh rằng F5 = 25
2 + 1 = 232 + 1 là hợp số. Mặc dù không có thêm số nguyên tố Fermat nào đƣợc tìm thấy, nó vẫn không đƣợc biết nhƣ là Fn là hợp số với tất cả n > 5. Cũng nhƣ với số nguyên tố Mersenne, hai định lý chặt chẽ dƣới đây cho cách tìm các số nguyên tố Fermat. Chúng đƣợc chứng minh bởi Candrall và Pomerance năm 2001 [24]:
Định lý 2.1.6:Nếu p = 2m + 1 là số nguyên tố lẻ, thì m là luỹ thừa của 2.
Định lý đầu tiên nói rằng bất kỳ số nguyên tố nào lớn hơn 2 là luỹ thừa của 2 cộng với 1 thì là số nguyên tố Fermat. Định lý thứ hai, cả Euler, phân tích ra tích các thừa số nguyên tố đều đƣợc kiểm tra khi kiểm thử Fn. Các phƣơng pháp khác nhau đƣợc sử dụng để biểu diễn Fn là hợp số cho n từ 5 đến 32 là phƣơng pháp Trial Division và kiểm thử
Pepin (không trình bày trong luận văn này).