Định nghĩa số nguyên tố

Định nghĩa 2.1.1: Số nguyên tố là số nguyên lớn hơn 1, không chia hết cho số nguyên dương nào ngoài số 1 và chính nó. Số nguyên lớn hơn 1 không phải là số nguyên tố gọi là hợp số.

Định lý 2.1.1 (Định lý cơ bản của số học): Mọi số nguyên lớn hơn 1 đều phân tích được một cách duy nhất thành tích các số nguyên tố, trong đó các thừa số được viết với thứ tự không giảm.

Chứng minh:

Xét tập F gồm tất cả các số nguyên lớn hơn 1 không biểu diễn đƣợc thành tích một số hữu hạn thừa số nguyên tố. Ta chỉ cần chỉ ra F=. Thật vậy, giả sử F. Khi đó có số nguyên dƣơng nhỏ nhất m thuộc F. Vì mF nên m phải là hợp số. Khi đó có hai số nguyên dƣơng q1, q2 >1 để m = q1q2. Vì q1,q2 < m nên q1,q2 F. Nhƣ vậy ta có phân tích:

q1 = t1t2 ... th và

q2 = u1u2 ... uk

Ở đó các ti, ui, đều là các số nguyên tố. Khi đó:

m = q1q2 = t1t2 ... th u1u2 ... uk .

Điều này mâu thuẫn với giả thiết mF. Nhƣ vậy F phải là tập rỗng. Do đó mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích thành tích của hữu hạn thừa số nguyên tố.

Bây giờ giả sử một số đƣợc phân tích thành hai tích dạng A và B các thừa số nguyên tố. Khi đó A = B. Bằng cách lƣợc bỏ tất cả các thừa số nguyên tố xuất hiện trong cả A và B, ta nhận đƣợc đẳng thức tƣơng đƣơng C=D. Ta cần phải chứng minh C=D=1.

Thật vậy giả sử trái lại C = D 1. Gọi p là thừa số nguyên tố xuất hiện trong C. Khi đó p không thể là thừa số xuất hiện trong biểu thức tích của D. Có nghĩa là D không phải là bội của p, và do đó C cũng không là bội của p (mâu thuẫn!). Vậy C = D = 1. Điều này chứng tỏ rằng sự phân tích ra các thừa số nguyên tố của một số nguyên >1 là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các thừa số.

Định lý 2.1.2:Mọi hợp số n đều có ước nguyên tố nhở hơn n

Chứng minh:

Thật vậy, vì n là một hợp số nên ta có thể viết n = ab, trong đó a và b là các số nguyên với 1<an<b. Rõ ràng ta phải có a hoặc b không vƣớt quá n, giả sử đó là a. Ƣớc nguyên tố của a cũng đồng thời là ƣớc nguyên tố của n.