Định nghĩa 2.1.2: Hàm (n) được định nghĩa là số các số nguyên tố nhỏ hơn hay bằng n.
Ví du, (5)=3 bởi vì 2, 3 và 5 là số nguyên tố. Bảng dƣới đây liệt kê một vài giá trị của :
Bảng 2.1.1. Liệt kê một vài giá trị của (n)
Với n nhỏ dễ dàng tìm đƣơc giá trị của (n) bằng cách đếm số nguyên tố, nhƣng nó là cách biểu diễn đơn giản cho (n) với giá trị n lớn. Nếu có biểu diễn của (n) thì dễ dàng cho việc dự đoán số các số nguyên tố vì (n) sẽ tăng lên với mỗi số nguyên tố. Nhƣng không có biểu diễn chính xác cho (n), nhƣng có các giá trị xấp xỉ gần đúng. Dƣới đây là định lý cho phép tính các giá trị gần đúng (n):
Định lý2.1.3(Định lý số học):
Phát biểu của định lý là (n) có giá trị xấp xỉ bằng n n ln , có nghĩa là khi n, (n) có giá trị gần bằng n n
ln . Một cách hình thức, điều đó có nghĩa tỉ số của hai hàm xẫp xỉ bằng 1 khi n lớn, hoặc:
Bảng dƣới đây so sánh giá trị gần đúng và giá trị chính xác của (n) mà ta biết đƣợc:
Bảng 2.1.2. So sánh giá trị gần đúng và giá trị chính xác của (n)
Bảng dƣới đây so sánh ln n và
) (n n
cho giá trị n lớn. So sánh này tƣơng đƣơng
với so sánh (n) và n n ln bởi vì (n)~ n n ln và ln n ~ ) (n n : Bảng 2.1.3. So sánh ln n và ) (n n , (n) và n n ln
Chúng ta có thể sử dụng Định lý số học (Prime Number Theorem) để ƣớc lƣợng số các số nguyên tố trong một khoảng bằng cách trừ hai giá trị của . Ví dụ để biết trong khoảng 5 tỉ đến 6 tỉ có bao nhiêu số nguyên tố:
(6 x 109) - (5 x 109) 2.66 x 108 – 2.24 x 108 = 4.26 x 108
Vậy 4.26 x 108 số nguyên tố trong khoảng 5 tỉ đến 6 tỉ. Vậy có khoảng 4.3% các số trong khoảng này là số nguyên tố, nhƣ vậy trung bình cứ trong 23 số thì có 1 số là nguyên tố. Điều này rất có ích cho việc xây dựng các ứng dụng tìm số nguyên tố. Ví dụ, một phần mềm mã hoá cần sinh ngẫu nhiên một số nguyên tố trong khoảng 5 tỉ đến 6 tỉ thì trung bình nó cần kiểm tra 23 số ngẫu nhiên trƣớc khi tìm ra một số.
Một cách tổng quát, định lý số học nêu ra rằng để tìm một số nguyên tố trong khoảng n cho trƣớc cần phải kiểm tra khoảng ln n số nguyên chọn ngẫu nhiên. Con số này giảm đi một nửa nếu chỉ chọn ngẫu nhiên các số lẻ trong khoảng n.