II – Câu hỏi tự kiểm tra
2. Các trường hợp riêng
Chúng ta hãy xét một số trường hợp riêng của phương trình mặt phẳng và nói rõ trong mỗi trường hợp đó, mặt phẳng có đặc điểm gì .
3
Trong không gian Oxyz, xét mặt phẳng (α) có phương trình :
Ax + By + Cz + D = 0
a) Mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O khi và chỉ khi D = 0.
b) Mặt phẳng (α) song song (hoặc chứa) trục tọa độ Ox khi và chỉ khi A = 0. Hãy phát biểu kết luận tương tự cho trường hợp B = 0 và trường hợp C = 0. c) Mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với mặt phẳng (Oxy) khi và chỉ khi A = B = 0. Hãy phát biểu kết luận tương tự cho trường hợp B = C = 0 và trường hợp C = A = 0. Sau đây ta xét trường hợp mặt phẳng có phương trình
Ax + By + Cz + D = 0 với cac hệ số A, B, C, D đều khác 0.
Khi đó bằng cách đặt , ta đưa phương trình trên về dạnh
Rõ ràng mặt phẳng có phương trình(3) cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm M(a ; 0 ; 0), N(0 ; b ; 0) và P(0 ; 0 ; c). Độ dài đại số của các vectơ trên các trục tọa độ chứa chúng lần lượt là
. Bởi vậy phương trình (3) được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho điểm M = (30 ; 15 ; 6).
a) Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua các hình chiếu của M trên các trục tọa độ. b) Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm O trên mp(α).
Giải
a) Các hình chiếu của M trên các trục tọa độ là các điểm (30 ; 0 ; 0), (0 ; 15 ; 0) và (0 ; 0 ; 6). Phương trình mp(α) đi qua ba điểm đó là
b) Điểm H nằm trên mặt phẳng (α) và cùng phương với vectơ pháp tuyến (1 ; 2 ; 5) của (α), tức là . Bởi vậy, nếu gọi (x, y, z) là tọa độ của H thì
Bằng cách thay các giá trị x, y, z từ ba phương trình cuối vào phương trình đầu, ta được t + 4t + 25t – 30 = 0. Từ đó ta tìm được t = 1 và do đó H = (1 ; 2 ; 5).¢