IV – Câu hỏi trắc nghiệm
3. Diện tích hình trụ và thể tích khối trụ
Một hình lăng trụ gọi là nội tiếp một hình trụ nếu hai đáy của hình lăng trụ nội tiếp hai đường tròn đáy của hình trụ. Khi đó, ta còn nói hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ.
Ta có định nghĩa :
Diện tích xung quanh của hình trụ là giới hạn của diện tích xung quanh của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi số
cạnh đáy tăng lên vô hạn.
Thể tích của khối trụ (còn gọi là thể tích của hình trụ) là giới hạn của thể tích của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi
số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
Cho hình trụ có chiều cao h và bán kính R. Giả sử là một hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ (h.45). Gọi S là diện tích xung quanh của hình lăng trụ và V là thể tích của khối lăng trụ .
Hình 45
Ta biết rằng S=p.h, trong đó p là chu vi đáy của lăng trụ , và V=Sđáy.h, trong đó Sđáy là diện tích đáycủa hình lăng trụ
. Ta lại biết rằng khi số cạnh đáy của hình lăng trụ tăng lên vô hạn thì chu vi và diện tích Sđáy lần lượt có giới hạn là chu vi và diện tích của hình tròn đáy của hình trụ .
Vậy ta có :
Diện tích xung quanh của hình trụ bằng chu vi đáy nhân với chiều cao. Thể tích của khối trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.
Ví dụ 2. Cho hình trụ có bán kính R, trục OO’ bằng 2R và mặt cầu (S) có đường kính OO’ (h.46). a) Hãy so sánh diện tích của mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.
b) Hãy so sánh diện tích mặt cầu và diện tích toàn phần của hình trụ (diện tích toàn phần của hình trụ là tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy của nó).
c) Hãy so sánh thể tích của khối trụ và khối cầu (S).
Hình 46
Giải
a) Dễ thấy rằng diện tích của mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ bằng nhau và bằng 4πR2.
b) Diện tích toàn phần của hình trụ bằng 4πR2 +4πR2 = 8πR2.
Vậy diện tích mặt cầu bằng diện tích toàn phần của hình trụ.
c) Thể tích của khối cầu là V(S)= πR3.
Thể tích của khối trụ là VT= πR2.2R=2πR3.
Vậy thể tích của khối cầu bằng thể tích của khối trụ. ¢
Em hãy làm thử!
Cắt mặt xung quanh của hình trụ (tức hình trụ bỏ đi hai đáy) theo một đường sinh rồi trải ra trên một mặt phẳng thì ta được một hình chữ nhật có một cạnh bằng đường sinh l và cạnh kia bằng chu vi đường tròn đáy. Khi đó, diện tích hình chữ nhật bằng diện tích xung quanh của hình trụ (h.47).
Hình 47
Bài đọc thêm
GIAO TUYẾN ELIP CỦA MẶT TRỤ TRÒN XOAY VÀ MẶT PHẲNG
Cho mặt phẳng tròn xoay có trục là ∆ và bán kính R. Xét giao của với một mp(α). Ta biết rằng :
- Nếu (α) vuông góc với ∆ thì giao là một đường tròn có bán kính R.
- Nếu (α) song song với ∆ thì giao có thể là hai đường sinh, một đường sinh hoặc là tập rỗng.
Bây giờ, giả sử (α) là mặt phẳng cắt ∆ nhưng không vuông góc với ∆ (h.48). Ta hãy xem giao của (α) và là hình gì ?
Hình 48
ta có mặt cầuS(O1 ; R) tiếp xúc với mọi đường sinh của mặt trụ và tiếp xúc vớimp(α) tại điểm F1. Hiển nhiên các tiếp điểm của mặt cầu S(O1 ; R) với các đường sinh luôn nằm trên đường tròn ( ’
1) là giao tuyến của mặt trụ với mp(P) vuông góc với ∆ tại O1. Tương tự, ta lấy một mặt cầu khác cũng có bán kính R để vào trong mặt trụ từ phía dưới và đẩy