a) Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn
- Đường tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là hình gồm các điểm cách đều điểm O một khoảng bằng R
- Tuỳ theo OM = R; OM < R; OM > R mà ta có điểm M nằm trên, nằm bên trong, nằm bên ngoài đường tròn
- Qua ba điểm không thẳng hàng, bao giờ cũng vẽ được một và chỉ một đường tròn
AB C B C H c b a c ' b' h cạnh kề cạ nh đ ối
- Đường tròn có tâm đối xứng, đó là tâm đường tròn. Đường tròn có vô số trục đối xứng, đó là bất kì đường kính nào của nó
b) Đường kính và dây cung của đường tròn. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
- Trong một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính
- Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy
- Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy
- Trong một đường tròn: Hai dây bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm. Trong hai dây không bằng nhau, dây lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn
c) Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
Căn cứ vào số điểm chung 0, 1, 2 của đường thẳng và đường tròn mà ta định nghĩa các vị trí: đường thẳng và đường tròn không giao nhau; tiếp xúc nhau; cắt nhau. ứng với mỗi vị trí trên, khoảng cách d từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính R của đường tròn có các liên hệ: d > R; d = R; d < R. Ta có các định lí
- Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm
- Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn
d) Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau:
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: - Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm e) Đường tròn nội tiếp tam giác, ngoại tiếp tam giác, bàng tiếp tam giác
- Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn. Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong tam giác
- Đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác, còn tam giác gọi là nội tiếp đường tròn. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của các đường trung trực tam giác
- Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh kia là đường tròn bàng tiếp tam giác. Tâm của mỗi đường tròn bàng tiếp tam giác là giao điểm của hai đường phân giác của hai góc ngoài tam giác hoặc giao điểm của tia phân giác của một góc trong và một trong hai đường phân giác của góc ngoài không kề với nó
f) Vị trí tương đối của hai đường tròn
Căn cứ vào số điểm chung 0, 1, 2 của hai đường tròn mà ta định nghĩa các vị trí: Hai đường tròn không giao nhau, tiếp xúc nhau, cắt nhau
Do tính chất đối xứng của đường tròn, nếu hai đường tròn cắt nhau thì giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì giao điểm nằm trên đường nối tâm
+ Góc ở tâm: Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm. Số đo cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo cung nhỏ. Số đo của nửa đường tròn bằng 1800.
+ Góc nội tiếp: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa dây cung của đường tròn đó. Cung bên trong của góc gọi là cung bị chắn. Trong một đường tròn số đo của góc nội tiếp bằng nữa số đo cung bị chắn
+ Góc tạo bởi giữa tiếp tuyến và dây cung: Cho đường tròn (O), A là tiếp điểm, xAy là tiếp tuyến của (O) tại A, AB là một dây cung. Góc tạo bởi tia Ax (hoặc tia Ay) với dây AB được gọi là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nữa số đo cung bị chắn
+ Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn: Mỗi góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung: một cung nằm bên trong góc và cung kia nằm bên trong góc đối đỉnh của cung đó. Số đo có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn
+ Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn: Số đo góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu hai cung bị chắn
Chú ý: Trong một đường tròn
- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau - Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau - Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
- Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 900 có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và ngược lại góc vuông nội tiếp thì chắn nửa đường tròn.
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
h) Độ dài đường tròn - Độ dài cung tròn.
- Độ dài đường tròn bán kính R: C = 2R = d - Độ dài cung tròn n0 bán kính R : l Rn
180
I) Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn - Diện tích hình tròn: S = R2
- Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n0:
2R n lR R n lR S 360 2 3. Các dạng toán cơ bản
Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau.
Cách chứng minh: - Chứng minh hai góc cùng bằng góc thứ ba
- Chứng minh hai góc bằng với hai góc bằng nhau khác
- Hai góc bằng tổng hoặc hiệu của hai góc theo thứ tự đôi một bằng nhau
- Hai góc cùng phụ (hoặc cùng bù) với góc thứ ba
- Hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có các cạnh đôi một song song hoặc vuông góc
- Hai góc so le trong, so le ngoài hoặc đồng vị - Hai góc ở vị trí đối đỉnh
- Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc đồng dạng
- Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau.
Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Cách chứng minh: - Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thứ ba - Hai cạnh của một tam giác cân hoặc tam giác đều - Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau
- Hai cạnh đối của hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vuông)
- Hai cạnh bên của hình thang cân
- Hai dây trương ứng hai cung bằng nhau trong một đường tròn hoặc hai đường bằng nhau. Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song
Cách chứng minh: - Chứng minh hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba
- Chứng minh hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba
- Chứng minh chúng cùng tạo với một cát tuyến hai góc bằng nhau: ở vị trí so le trong; ở vị trí so le ngoài; ở vị trí đồng vị. - Là hai dây chắn giữa chúng hai cung bằng nhau trong một đường tròn
- Chúng là hai cạnh đối của một hình bình hành, chữ nhật, hình vuông, ...
Dạng 4: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Cách chứng minh: - Chúng cùng song song với hai đường thẳng vuông góc khác.
- Chứng minh chúng là chân đường cao trong một tam giác. - Đường kính đi qua trung điểm của dây và dây không đi qua tâm.
- Chúng là phân giác của hai góc kề bù nhau. - Tính chất 2 đường chéo hình thoi, hình vuông Dạng 5: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy.
Cách chứng minh: - Dựa vào tổng hai góc kề bù có tổng bằng 1800
- Dựa vào hai góc đối đỉnh
- Dựa vào hai đường thẳng đi qua một điểm cùng song song với đường thẳng khác
- Dựa vào hai góc bằng nhau có 1 cạnh trùng nhau
- Chứng minh chúng là ba đường cao, ba trung tuyến, ba trung trực, ba phân giác trong (hoặc một phân giác trong và phân giác ngoài của hai góc kia)
- Vận dụng định lí đảo của định lí Talet. Dạng 6: Chứng minh hai tam giác bằng nhau
* Hai tam giác thường: - Trường hợp góc - cạnh - góc (g-c-g) - Trường hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c) - Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c)
* Hai tam giác vuông: - Có một cạnh và một góc nhọn bằng nhau
- Có cạnh huyền bằng nhau và một cạnh góc vuông bằng nhau - Cạnh góc vuông đôi một bằng nhau
Dạng 7: Chứng minh hai tam giác đồng dạng
* Hai tam giác thường: - Có hai góc bằng nhau đôi một (g-g)
- Có một góc bằng nhau xen giữa hai cạnh tương ứng tỷ lệ (c-g- c)
- Có ba cạnh tương ứng tỷ lệ (c-c-c) * Hai tam giác vuông: - Có một góc nhọn bằng nhau
- Có hai cạnh góc vuông tương ứng tỷ lệ
- Có cạnh huyền và một cạnh góc vuông tương ứng tỷ lệ Dạng 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp
Cách chứng minh: - Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc .
- Dựa vào phương tích của đường tròn
II. Các bài toán hình học không gian
1. Hình lăng trụ: Hình lăng trụ là hình đa diện có hai mặt song song gọi là đáy và các cạnh không thuộc hai đáy song song với nhau. Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều
Sxq = p. l (p là chu vi thiết diện thẳng, l là độ dài cạnh bên) Lăng trụ đứng: Sxq = p. h (p là chu vi đáy, h là chiều cao)
V = B. h (B là diện tích đáy, h là chiều cao)
Hình hộp chữ nhật: Stp = 2(ab + bc + ca) (a, b, c là các kích thước của hình hộp chữ nhật)
V = a. b. c
Các đường chéo hình hộp chữ nhật d = 2 2 2
a b c
Hình lập phương: V = a3 (a là cạnh)
2. Hình chóp: Hình chóp là hình đa diện có một mặt là đa giác, các mặt khác là tam giác có chung đỉnh. Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các mặt bên bằng nhau. Hình chóp cụt là phần hình chóp nằm giữa đáy và thiết diện song song với đáy. Hình chóp cụt từ hình chóp đều gọi là hình chóp cụt đều
Hình chóp đều: Sxq = 1
2. n .a. d (n là số cạnh đáy; a là độ dài cạnh đáy; d là độ dài trung đoạn)
Stp = Sxq + B (B là diện tích đáy) V = 1
3. B . h
Hình chóp cụt đều: Sxq = 1n.a n.a ' .d
2 (n là số cạnh đáy; a, a’ cạnh đáy; d trung đoạn chiều cao mặt bên)
V = V1 + V2 (V1 thể tích hình chóp cụt; V2 thể tích hình chóp trên) V = 1.h B B' B.B'
3 (B, B’ là diện tích đáy, h là chiều cao)
3. Hình trụ: Hình trụ là hình sinh ra bới hình chữ nhật quay xung quanh một cạnh của nó - Diện tích xung quanh: Sxq = 2. R. h (R là bán kính đáy; h là chiều cao)
- Diện tích toàn phần: Stp = 2. R. h + 2. R2
- Thể tích hình trụ: V = S. h = . R2. h (S là diện tích đáy)
4. Hình nón: Hình nón là hình sinh ra bởi tam giác vuông quay xung quanh một cạnh góc vuông của nó. Hình nón cụt là phần hình nón giữa đáy và một thiết diện vuông góc với trục
Hình nón: - Diện tích xung quanh: Sxq = . R. l (R là bán kính đáy; l là đường sinh)
- Diện tích toàn phần: Stp = . R. l + . R2
- Thể tích: V = 1 2
.R .h
3 (h là chiều cao)
Hình nón cụt: - Diện tích xung quanh: Sxq = (R1 + R2). l (R1; R2 là bán kính hai đáy; l là đường sinh) - Diện tích toàn phần: Stp = (R1 + R2). l + (R12 + R22) - Thể tích: V = 2 2 1 2 1 2 1 .h.(R R R R ) 3 (h là chiều cao)
5. Hình cầu: - Diện tích mặt cầu: S = 4. R2 (R là bán kính) - Thể tích hình cầu: V = 4 3
.R3 3